การเปลี่ยนแปลงทางสถิติในสองรูปแบบที่มีคุณสมบัติตามสูตร 1

ฉันเพิ่งอ่านบทความ BBC นี้เกี่ยวกับรูปแบบที่เหมาะสมในสูตร 1

ผู้จัดงานต้องการทำให้การคาดการณ์มีคุณสมบัติน้อยลงเช่นเพื่อเพิ่มความแปรปรวนทางสถิติในผลลัพธ์ การรวบรวมรายละเอียดที่ไม่เกี่ยวข้องในตอนนี้ผู้ขับขี่ได้รับการจัดอันดับจากรอบที่ดีที่สุดจากสองรอบ

นายฌองท็อดท์หัวหน้า F1 คนหนึ่งเสนอว่าการจัดอันดับผู้ขับขี่โดยเฉลี่ยสองรอบจะเพิ่มความแปรปรวนทางสถิติเนื่องจากไดรเวอร์อาจมีความผิดพลาดเป็นสองเท่า แหล่งข้อมูลอื่นแย้งว่าค่าเฉลี่ยใด ๆ ย่อมลดความผันแปรทางสถิติ

เราสามารถพูดได้ว่าใครถูกภายใต้สมมติฐานที่สมเหตุสมผล? ฉันคิดว่ามันเดือดลงกับความแปรปรวนแบบสัมพัทธ์ของ$\text{mean}(x,y)$เทียบกับโดยที่และเป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นตัวแทนของสองรอบตัก?x $\text{min}(x,y)$$x$$y$

ฉันคิดว่ามันขึ้นอยู่กับการกระจายของรอบเวลา

ปล่อย เป็นอิสระกระจายตัวเหมือนกัน$X,Y$

1. ถ้าจากนั้นVar$P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$$Var(\frac{X+Y}{2}) = \frac{1}{8} < Var( \min(X,Y)) = \frac{3}{16}.$
2. อย่างไรก็ตามหากจากนั้น V a r $P(X=0) = 0.9, P(X=100)=0.1$$Var(\frac{X+Y}{2}) = 450 > Var( \min(X,Y)) = 99.$

สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อโต้แย้งที่กล่าวถึงในคำถามเกี่ยวกับการทำผิดพลาด (เช่นการใช้เวลานานเป็นพิเศษกับความน่าจะเป็นเล็กน้อย) ดังนั้นเราจะต้องรู้การกระจายเวลารอบในการตัดสินใจ

โดยไม่สูญเสียความเป็นปรกติสมมติว่าและ varaibles ทั้งสองนั้นมาจากการแจกแจงแบบเดียวกันโดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเฉพาะ$y \leq x$

ปรับปรุงเมื่อ { x }โดย$\{y,x\}$$\{x\}$

กรณีที่ 1 หมายถึง: ,$\frac{y-x}{2}$

กรณีที่ 2 นาที: x$y-x$

ดังนั้นค่าเฉลี่ยมีผลต่อการปรับปรุงครึ่งหนึ่ง (ซึ่งถูกขับเคลื่อนด้วยความแปรปรวน) มากกว่าการทำขั้นต่ำ (สำหรับการทดลอง 2 ครั้ง) นั่นคือค่าเฉลี่ยลดความแปรปรวน

นี่คือหลักฐานการ Var [Mean] ของฉัน

สำหรับตัวแปรสุ่ม 2 ตัว x, y มีความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

ดังนั้น

$$2\,Mean(x,y) = Min(x,y) + Max(x,y)$$ ถ้าเราคิดว่าการกระจายนั้นสมมาตรรอบค่าเฉลี่ยแล้ว V a r [ M ฉันn ( x , y ) ] = V a r [ M a x ( x , y ) ] จากนั้น $$4\,Var[Mean] = Var[Min]+Var[Max]+2\,Cov[Min,Max]$$ $$Var[Min(x,y)]=Var[Max(x,y)]$$ และ C o v [ M i n , M a x ] < = s q r t ( V a r [ M i n ] V a r [ M a x ] ) = V a r [ M i n ] ดังนั้น $$4\,Var[Mean] = 2\,Var[Min] + 2\,Cov[Min,Max]$$ $$Cov[Min,Max]<=sqrt(Var[Min]Var[Max])=Var[Min]$$ นอกจากนี้ยังเห็นได้ง่ายจากแหล่งที่มาว่าเพื่อย้อนกลับความไม่เท่าเทียมกันนี้คุณต้องมีการแจกแจงที่มีการตัดปลายคมชัดมากของการกระจายด้านลบ ความหมาย. ตัวอย่างเช่นสำหรับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลค่าเฉลี่ยมีความแปรปรวนขนาดใหญ่กว่าค่านาที $$Var[Mean]<=Var[Min]$$

เป็นคำถามที่ดีขอบคุณ! ฉันเห็นด้วยกับ @sandris ว่าการแจกแจงรอบเวลามีความสำคัญ แต่อยากจะเน้นว่าประเด็นเชิงสาเหตุของคำถามต้องได้รับการแก้ไข ฉันเดาว่า F1 ต้องการหลีกเลี่ยงสถานการณ์ที่น่าเบื่อที่ทีมหรือคนขับคนเดียวกันครอบครองกีฬาปีแล้วปีเล่าและพวกเขาหวังเป็นอย่างยิ่งว่าจะนำเสนอความตื่นเต้นของความเป็นไปได้จริงที่ผู้ขับรถใหม่ 'ร้อน' สามารถทำได้ ทันใดนั้นเกิดขึ้นในกีฬา

นั่นคือฉันเดาว่ามีความหวังที่จะทำลายการจัดอันดับทีม / ไดรเวอร์ที่เสถียรมากเกินไป (พิจารณาการเปรียบเทียบกับการเพิ่มอุณหภูมิในการอบแบบจำลอง ) คำถามก็จะกลายเป็นว่าอะไรคือปัจจัยเชิงสาเหตุในที่ทำงานและวิธีการที่พวกเขากระจายไปทั่วประชากรของผู้ขับขี่ / ทีมเพื่อสร้างความได้เปรียบอย่างต่อเนื่องสำหรับผู้ครอบครองตลาดปัจจุบัน (พิจารณาคำถามที่คล้ายคลึงกันในการจัดเก็บภาษีมรดกสูงเพื่อ 'ยกระดับสนามเด็กเล่น' ในสังคมโดยรวม)

$n$

สมมติว่าความล้มเหลวของเครื่องยนต์นั้นเป็นเหตุการณ์ที่ไม่สามารถควบคุมได้ซึ่งมีความน่าจะเป็นเหมือนกันในทุกทีมและการจัดอันดับปัจจุบันสะท้อนการไล่ระดับสีอย่างถูกต้องในคุณภาพของผู้ขับขี่ / ทีมในหลาย ๆ ปัจจัย ในกรณีนี้ความโชคร้ายของความล้มเหลวของเครื่องยนต์สัญญาว่าจะเป็น 'ปัจจัยการปรับระดับ' ที่โดดเดี่ยวที่ F1 สามารถใช้ประโยชน์เพื่อให้เกิดโอกาสที่เท่าเทียมกันมากขึ้น - อย่างน้อยที่สุดก็ต้องไม่มีการจัดอันดับอย่างหนัก ในกรณีนี้นโยบายที่ลงโทษความล้มเหลวของเครื่องยนต์อย่างรุนแรง (ซึ่งเป็นปัจจัยเดียวในสถานการณ์นี้ที่ไม่ได้ใช้งานได้ค่อนข้างดีสำหรับผู้ครอบครองตลาด) สัญญาว่าจะส่งเสริมความไม่แน่นอนในการจัดอันดับ ในกรณีนี้นโยบายที่ดีที่สุดที่กล่าวถึงข้างต้นจะเป็นนโยบายที่ผิดพลาดอย่างแน่นอน

โดยทั่วไปฉันเห็นด้วยกับคำตอบอื่น ๆ ที่ค่าเฉลี่ยของการวิ่งสองครั้งจะมีความแปรปรวนต่ำกว่า แต่ฉันเชื่อว่าพวกเขากำลังทิ้งประเด็นสำคัญที่อยู่ภายใต้ปัญหา มีหลายสิ่งที่เกี่ยวข้องกับวิธีที่ผู้ขับขี่มีปฏิกิริยาต่อกฎและกลยุทธ์ของพวกเขาในการคัดเลือก

ตัวอย่างเช่นเมื่อมีรอบคัดเลือกเพียงรอบเดียวผู้ขับขี่จะต้องระมัดระวังมากขึ้นและคาดการณ์ได้มากขึ้นและน่าเบื่อมากขึ้น แนวคิดที่มีสองรอบคือการอนุญาตให้ผู้ขับขี่ใช้โอกาสในการลอง "Lap Lap ที่สมบูรณ์แบบ" ซึ่งมีอีกอันสำหรับการวิ่งแบบอนุรักษ์นิยม การวิ่งมากขึ้นจะใช้เวลามากซึ่งอาจเป็นเรื่องน่าเบื่อ การตั้งค่าปัจจุบันอาจเป็น "จุดที่น่าสนใจ" เพื่อให้ได้รับการดำเนินการมากที่สุดในกรอบเวลาที่สั้นที่สุด

โปรดทราบด้วยวิธีการหาค่าเฉลี่ยผู้ขับขี่จำเป็นต้องหาเวลารอบที่ทำได้ซ้ำได้เร็วที่สุด ด้วยวิธีการขั้นต่ำผู้ขับขี่จำเป็นต้องขับรถให้เร็วที่สุดเท่าที่จะทำได้เพียงรอบเดียวอาจจะผลักไปไกลกว่าที่พวกเขาจะใช้วิธีการเฉลี่ย

การสนทนานี้ใกล้เคียงกับทฤษฎีเกมมากขึ้น คำถามของคุณอาจได้คำตอบที่ดีกว่าเมื่อวางกรอบในแสงนั้น จากนั้นหนึ่งสามารถเสนอเทคนิคอื่น ๆ เช่นตัวเลือกสำหรับคนขับที่จะลดเวลารอบแรกในความโปรดปรานของการวิ่งครั้งที่สองและอาจเป็นเวลาที่เร็วขึ้นหรือช้าลง เป็นต้น

โปรดทราบว่าในปีนี้มีการพยายามเปลี่ยนการคัดเลือกเพื่อผลักดันคนขับให้เข้าสู่รอบอนุรักษ์หนึ่งครั้ง https://en.wikipedia.org/wiki/2016_Formula_One_season#Qualifying ผลลัพธ์ถูกมองว่าเป็นภัยพิบัติและถูกยกเลิกอย่างรวดเร็ว