การกระจายของระยะทาง Mahalanobis ระดับสังเกต

ถ้าฉันมีตัวอย่าง iid ปกติหลายตัวแปรและกำหนด (ซึ่งเป็นชนิดของระยะทาง Mahalanobis [กำลังสอง] จากจุดตัวอย่างไปยังเวกเตอร์โดยใช้เมทริกซ์สำหรับการถ่วงน้ำหนัก) อะไรคือการกระจายตัวของ (ระยะทาง Mahalanobis sample meanโดยใช้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมตัวอย่าง )? $X_1, \ldots, X_n \sim N_p(\mu,\Sigma)$

d_{i}^{2} (b, A) = (X_{i} - b)^{'} A^{- 1} (X_{i} - b)

$d_i^2(b,A) = (X_i - b)' A^{-1} (X_i - b)$

a

$a$

A

$A$

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

\bar{X}

$\bar X$

S

$S$

ฉันกำลังดูกระดาษที่อ้างว่าเป็นแต่สิ่งนี้ผิดอย่างชัดเจน: การน่าจะได้รับสำหรับโดยใช้ประชากรเฉลี่ย (ไม่ทราบ) และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม เมื่อ analogues ตัวอย่างเสียบอยู่หนึ่งควรจะได้รับ Hotellingแจกจ่ายหรือลดขนาดการจัดจำหน่ายหรือสิ่งที่ต้องการ แต่ไม่ได้\ฉันไม่พบผลลัพธ์ที่แน่นอนทั้งในMuirhead (2005)หรือในAnderson (2003)หรือในMardia Kent และ Bibby (1979, 2003) $\chi^2_p$ $\chi^2_p$ $d_i^2(\mu,\Sigma)$ $T^{\ 2}$ $F(\cdot)$ $\chi^2_p$ . เห็นได้ชัดว่าคนเหล่านี้ไม่ได้ใส่ใจกับการวินิจฉัยที่ผิดปกติเนื่องจากการแจกแจงแบบหลายตัวแปรปกตินั้นสมบูรณ์แบบและสามารถรับได้ง่ายทุกครั้งที่รวบรวมข้อมูลหลายตัวแปร: - /

สิ่งต่าง ๆ อาจซับซ้อนกว่านั้น ผลการกระจายของ Hotellingขึ้นอยู่กับการสมมติความเป็นอิสระระหว่างส่วนเวกเตอร์และส่วนเมทริกซ์ ความเป็นอิสระดังกล่าวมีไว้สำหรับและแต่มันไม่ได้ถือครองไว้สำหรับและอีกต่อไป $T^{\ 2}$ $\bar X$ $S$ $X_i$ $S$

multivariate-analysis outliers

— StasK
แหล่งที่มา

ในคำจำกัดความของคุณยังคงมองว่าเป็นตัวแปรสุ่มหรือคุณกำลังมองว่ามันเป็นเวกเตอร์คงที่หรือไม่? รวมถึงตัวห้อยบ่งบอกถึงตัวหลัง แต่ก็ดูแปลกไปหน่อย

d_{i}^{2}

$d_i^2$

X_{i}

$X_i$

— whuber

ทราบเพียงเล็กน้อยด้านนอกข้อมือ แต่สังเกตว่าเป็นอุปกรณ์เสริมที่เกี่ยวกับและเท่ากับค่าคงที่คงที่ ( ควรเป็นหรือคล้ายกันฉันคิดว่า) เกือบแน่นอน

X_{i} - \bar{X}

$X_i - \bar{X}$

μ

$\mu$

\sum_{i} d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$\sum_i d_i^2(\bar{X},S)$

n - p

$n-p$

— พระคาร์ดินัล

@whuber - อาจจะเน้นว่ามันคำนวณโดยใช้การสังเกตจากตัวอย่างไม่ใช่การสังเกตใหม่

— jbowman

@ โฮเบอร์ประมาณตามแนวของสิ่งที่ jbowman พูด - เพื่อระบุว่านี่เป็นสถิติระดับการสังเกต (ตรงข้ามกับสถิติระดับตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยตัวอย่าง)

— StasK

การกระจายของเป็นเบต้า,แต่ฉันยังคงมองหาการกระจายของS) การแจกแจงของนั้นไม่ได้เป็นอิสระ

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

n / (n - 1)^{2} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (p / 2, (n - p - 1) / 2)

$n/(n-1)^2 d_i^2(\bar X,S) \sim B(p/2, (n-p-1)/2)$

d_{i}^{2} (μ, S)

$d^2_i(\mu, S)$

d_{i}^{2}

$d^2_i$

คำตอบ:

ตรวจสอบแบบจำลองส่วนผสมของเสียนโดยใช้ประโยชน์จากระยะทาง Mahalanobis ( ลิงค์อื่น ) ดูหน้า 13, คอลัมน์ที่สอง ผู้เขียนยังได้รับหลักฐานบางอย่างเช่นกันสำหรับการเผยแพร่ การกระจายถูกปรับสเกลเบต้า โปรดแจ้งให้เราทราบหากสิ่งนี้ไม่ได้ผลสำหรับคุณ มิฉะนั้นฉันสามารถตรวจสอบคำใบ้ใด ๆ ในหนังสือ SS Wilks ในวันพรุ่งนี้

— vinux
แหล่งที่มา

คำตอบที่ให้ไว้ในกระดาษคือ:{2}) ขอบคุณ!

\frac{n}{(n - 1)^{2}} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (\frac{p}{2}, \frac{n - p - 1}{2})

$\frac{n}{(n-1)^2} d_i^2(\bar X, S) \sim B(\frac{p}{2}, \frac{n-p-1}{2} )$

— StasK

มีการแจกแจงที่เกี่ยวข้อง 3 รายการ เท่าที่สังเกตถ้าพารามิเตอร์ของประชากรที่แท้จริงถูกนำมาใช้การกระจายอยู่ในไคสแควร์กับ pนี่เป็นการแจกแจงแบบซีมโทติคด้วยพารามิเตอร์โดยประมาณและขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่ $df=p$

อีกคำตอบให้การกระจายที่ถูกต้องสำหรับสถานการณ์ที่พบบ่อยที่สุดโดยมีพารามิเตอร์ที่ประมาณไว้เมื่อการสังเกตตัวเองเป็นส่วนหนึ่งของชุดการประมาณ: อย่างไรก็ตามหากการสังเกตเป็นอิสระจากการประมาณค่าพารามิเตอร์การแจกแจงจะเป็นสัดส่วนกับการแจกแจงแบบ F- ของฟิชเชอร์:

\frac{n (d^{2})}{(n - 1)^{2}} ~ B อี เสื้อ a (\frac{พี}{2}, \frac{(n - พี - 1)}{2}) .

$\frac{n(d^2)}{(n-1)^2} \sim Beta\left(\frac{p}{2}, \frac{(n-p-1)}{2}\right).$

x_{i}

$x_i$

(\frac{n d^{2} (n - พี)}{(พี (n - 1) (n + 1)}) ~ F (พี, n - พี)

$\left(\frac{nd^2(n-p)}{(p(n-1)(n+1)}\right) \sim F(p, n-p)$

— โจซัลลิแวน
แหล่งที่มา

ยินดีต้อนรับสู่เว็บไซต์ @JoeSullivan ฉันใช้เสรีภาพในการใช้เพื่อให้สมการของคุณอ่านง่ายขึ้น โปรดตรวจสอบให้แน่ใจว่าพวกเขายังพูดในสิ่งที่คุณต้องการ

L A T E X

$\LaTeX$

— gung - Reinstate Monica

คุณสามารถให้การอ้างอิงสำหรับสูตร F ได้หรือไม่

— อายไลเนอร์

การอ้างอิงที่เกี่ยวข้องหนึ่งหัวข้อ 3 ใน Hardin, Johanna และ David M. Rocke 2548 "การกระจายของระยะทางที่แข็งแกร่ง" วารสารการคำนวณและสถิติเชิงกราฟ 14 (4): 928–46 ดอย: 10.1198 / 106186005X77685

— Josef