พลังของการทดลองชิมชาเลดี้

ในการทดสอบที่มีชื่อเสียงของฟิชเชอร์สิ่งที่สังเกตได้คือจำนวนถ้วยเดาที่ถูกต้อง$k$ มีถ้วยสองแบบ $A$ และ $B$. โดยปกติแล้วมันเป็นเรื่องที่น่าสนใจในการคำนวณภูมิภาคที่สำคัญเพื่อปฏิเสธสมมติฐานว่าง (ผู้หญิงคาดเดาแบบสุ่ม) ตามขนาดของการทดสอบ$\alpha$. สิ่งนี้ทำได้อย่างง่ายดายโดยใช้การแจกแจงแบบไฮเพอร์เมตริกซ์ ในทำนองเดียวกันฉันสามารถคำนวณขนาดของการทดสอบที่กำหนดในพื้นที่วิกฤติ

คำถามที่แตกต่างคือ: วิธีการคำนวณพลังของการทดสอบให้ตั้งสมมติฐานทางเลือก? สมมติว่าผู้หญิงสามารถเดาได้อย่างถูกต้องด้วยความน่าจะเป็นในถ้วยเดียว$p=90\%$ ($P(\text{guess} A|\text{true} A)=P(\text{guess } B|\text{true } B)=0.9$) พลังของการทดสอบคืออะไรสมมติว่าจำนวนถ้วยเท่ากับ$N=8$ และจำนวนหนึ่งถ้วยทั้งหมด $n=N/2=4$? (น่าเสียดาย) ผู้หญิงรู้$n$.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: การกระจายตัวของคืออะไร $k=$(จำนวนถ้วยที่ถูกต้องภายใต้สมมติฐานทางเลือก) ถ้าผู้หญิงรู้ว่ามี $n$ ถ้วยเดียวหรือไม่

ภายใต้ทางเลือกผู้หญิงไม่ได้คาดเดาแบบสุ่ม แต่ "ไม่คาดเดาแบบสุ่ม" ครอบคลุมถึงอนันต์ของสถานการณ์ที่แตกต่างกัน เธออาจจะคาดเดาได้อย่างสมบูรณ์แบบเสมอหรือเธออาจทำได้ดีกว่าการคาดเดาแบบสุ่มเพียงเล็กน้อยเท่านั้นและในกรณีทั่วไปไม่มีแม้แต่ "สเกล" ตัวแปรเดียวที่ไม่สุ่มเพื่อทำงานพร้อม (ดังนั้นเราจึงไม่มีพลัง โค้งยกเว้นว่าเรา จำกัด ประเภทของการตอบแบบไม่สุ่มที่เธออาจให้)

ดังนั้นเพื่อคำนวณพลังงานเราจะต้องเจาะจงมากเกี่ยวกับวิธีการที่ไม่สุ่ม (และวิธีการที่ไม่สุ่มในแบบนั้น)

ตัวอย่างเช่นเราสามารถสมมติได้ว่าเธอได้รับความรู้สึกถึงรสชาติของนมแต่ละถ้วยที่เพิ่มเข้ามาเป็นอันดับแรก - ดัชนี "milk-firstiness" ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มของ $(-\infty,\infty)$ ที่มีค่าเฉลี่ย (สูงกว่า) ที่แตกต่างกันเมื่อเพิ่มนมก่อน - เช่นเราอาจสมมติว่ามันพูดปกติหรือมีโลโก้โดยมีค่าเฉลี่ย $\mu_0$ และความแปรปรวน $\sigma^2=1/\omega^2$ ($\omega^2$ เป็นที่รู้จักกันในชื่อ "ความแม่นยำ") เมื่อมีการเติมนมครั้งสุดท้ายและค่าเฉลี่ย $\mu_1$ และความแปรปรวน $\sigma^2$ เมื่อเพิ่มนมก่อน (จริง ๆ แล้วข้อสันนิษฐานที่เรียบง่าย แต่เข้มงวดกว่านั้นอาจจะกำหนดให้พูดว่า $\mu_1=-\mu_0=1$เพื่อให้ตอนนี้ทุกอย่างเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียวความแม่นยำ) ดังนั้นสำหรับค่าที่กำหนดใด ๆ ของพารามิเตอร์เหล่านั้นเราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่เธอได้รับ 8 ถ้วยที่ถูกต้องทั้งหมด (นั่นคือค่าที่น้อยที่สุด "ค่านิยมจากนมครั้งแรก" สี่ประการที่เธอมีประสบการณ์เกี่ยวข้องกับสี่ถ้วยนมวินาที) หากการคำนวณที่แน่นอนนั้นยากเกินไปสำหรับเราเราสามารถจำลองความแม่นยำที่ต้องการได้ [ในกรณีที่สันนิษฐานว่าไม่ใช่การสุ่มตัวอย่างเป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรเพียงตัวเดียวเราจะมี power-curve - ค่าสำหรับการใช้พลังงานสำหรับแต่ละค่าของพารามิเตอร์]

นั่นเป็นรูปแบบหนึ่งที่เฉพาะเจาะจงสำหรับวิธีที่เธออาจทำงาน "ดีกว่าการสุ่ม" ซึ่งเราอาจระบุพารามิเตอร์และรับค่ากำลังงาน

แน่นอนเราสามารถสมมติรูปแบบอื่น ๆ ของการไม่สุ่มได้มากกว่านี้

การกระจายของจำนวนที่ถูกต้องของการเดาภายใต้สมมติฐานทางเลือกดังต่อไปนี้การกระจาย hypergeometric ที่ไม่ได้อยู่ตรงกลางซึ่งเป็นพารามิเตอร์ในแง่ของอัตราส่วนอัตราต่อรองนั่นคืออัตราเดิมพันที่ผู้หญิงจะเดาว่า "ชาก่อน" สูงขึ้นเท่าใด ความเป็นจริงชาถูกเพิ่มเข้ามาก่อนเป็นอย่างมากเมื่อเทียบกับเมื่อในความเป็นจริงนมถูกเพิ่มก่อน (หรือวิธีอื่น ๆ ) หากอัตราส่วนอัตราต่อรองเป็น 1 เราจะได้การแจกแจงไฮเพอร์ยีเมตริกกลาง

มาดูกันว่ามันใช้งานได้ไหม ฉันจะใช้ R เพื่อจุดประสงค์ภาพประกอบโดยใช้MCMCpackแพคเกจซึ่งมีฟังก์ชั่นdnoncenhypergeom()สำหรับคำนวณความหนาแน่นของการแจกแจงไฮเพอร์เมตริก (ไม่ใช่กลาง) แต่ก็มีข้อโต้แย้งxสำหรับจำนวนที่ถูกต้องของการคาดเดา (ข้อควรระวัง: นี่คือหมายเลขที่ถูกต้องของการคาดเดาภายใต้หนึ่งของทั้งสองเงื่อนไขเช่นเมื่อชาถูกเพิ่มเข้ามาจริงๆแรก) ข้อโต้แย้งn1, n2และm1สามในสี่ของอัตรากำไรขั้นต้นและpsiสำหรับ อัตราส่วนอัตราต่อรองที่แท้จริง ลองคำนวณความหนาแน่นxเท่ากับ 0 ถึง 4 (ด้วยระยะขอบทั้งหมดเท่ากับ 4) เมื่ออัตราส่วนอัตราต่อรองที่แท้จริงคือ 1:

install.packages("MCMCpack")
library(MCMCpack)
sapply(0:4, function(x) dnoncenhypergeom(x, n1=4, n2=4, m1=4, psi=1))

อัตราผลตอบแทนนี้:

[1] 0.01428571 0.22857143 0.51428571 0.22857143 0.01428571

ดังนั้นจึงมีโอกาส 1.43% ที่ผู้หญิงจะทำการเดาได้ถูกต้อง 8 ครั้ง (นั่นคือเธอเดาได้ทั้งหมด 4 ถ้วยอย่างถูกต้องเมื่อเติมชาก่อนและด้วยเหตุนี้เธอจึงเดาได้ทั้งหมด 4 ถ้วยอย่างถูกต้องเมื่อใส่นมก่อน) ภายใต้สมมติฐานว่าง นี่คือจำนวนหลักฐานที่ฟิชเชอร์พิจารณาแล้วว่าเพียงพอที่จะปฏิเสธสมมติฐานว่าง

ความน่าจะเป็นที่ระบุในคำถามสามารถใช้คำนวณอัตราต่อรองได้คือ $(.90/(1-.90)) / (.10/(1-.10)) = 81$ (เช่น $\text{odds}(\text{guess}A|\text{true}A) / \text{odds}(\text{guess}A|\text{true}B)$) ตอนนี้โอกาสที่ผู้หญิงจะเดาได้ทั้งหมด 8 ถ้วยอย่างถูกต้อง (เช่นเธอจะเดาได้ทั้งหมด 4 ถ้วยอย่างถูกต้องที่มีการเพิ่มชาก่อนและด้วยเหตุนี้ 4 ถ้วยอย่างถูกต้องที่มีการเพิ่มนมก่อน)

dnoncenhypergeom(4, n1=4, n2=4, m1=4, psi=81)

อัตราผลตอบแทนนี้:

[1] 0.8312221

ดังนั้นพลังงานจึงอยู่ที่ประมาณ 83%