มีสูตรสำหรับการคำนวณค่ามัธยฐานหรือไม่?

10

มีสูตรเฉลี่ยที่เทียบเท่าหรือไม่:

m e a n = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$

สำหรับค่ามัธยฐาน?

median definition

— เครก
แหล่งที่มา

16

หากคุณกำหนดให้เป็นรุ่นที่เรียงลำดับของข้อมูลดั้งเดิมของคุณดังนั้นค่ามัธยฐานจะถูกกำหนดเป็น: $O_1, O_2, \ldots, O_N$ $X_1, X_2, \ldots, X_N$

M e d i a n ({O_{1}, O_{2}, \dots, O_{N}}) = {\begin{cases} O_{(N + 1) / 2} & i f N i s o d d \\ (O_{N / 2} + O_{N / 2 + 1}) / 2 & o t h e r w i s e \end{cases}

$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

โดยไม่ต้องสั่งซื้อข้อมูลของคุณคุณสามารถใช้คำจำกัดความของค่ามัธยฐานเรขาคณิตเพื่อกำหนดค่ามัธยฐานในมิติเดียว:

M e d i a n ({X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}}) = \arg min_{y} \sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - y |

$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$

โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องกำหนดค่ามัธยฐานเฉพาะเมื่อมีจำนวนคะแนนเท่ากัน เช่นหมายเลขใด ๆเพิ่มประสิทธิภาพวัตถุประสงค์กับ\} $y\in[3, 4]$ $X = \{2, 3, 4, 5\}$

— josliber
แหล่งที่มา

3

แบบฟอร์มสำหรับแม้ไม่ใช่คำตอบเดียว - เป็นเพียงแบบแผนที่ใช้ ค่าใด ๆ ระหว่างถึงอาจเรียกได้ว่าเป็น "ค่ามัธยฐาน" อย่างสมเหตุสมผล

N

$N$

O_{N / 2}

$O_{N/2}$

O_{N / 2 + 1}

$O_{N/2+1}$

— ความน่าจะเป็นเชิง

1

@probabilityislogic แน่นอน ฉันได้เพิ่มคำนิยามค่ามัธยฐานเรขาคณิตซึ่งไม่จำเป็นต้องไม่ซ้ำกันสำหรับแม้

N

$N$

— josliber

10

อีกทางเลือกหนึ่งในการแสดงความหมายคือการประมาณ "กำลังสองน้อยที่สุด":

\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - m)^{2}

$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$

การเลือกเป็นค่าเฉลี่ยจะให้ค่าที่น้อยที่สุดของผลรวมของข้อผิดพลาดกำลังสอง $m$

ตอนนี้ค่ามัธยฐานสามารถแสดงเป็น "ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์อย่างน้อยที่สุด" ได้:

\sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - m |

$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$

การเลือกให้เป็นค่ามัธยฐานให้ค่าที่น้อยที่สุดของผลรวมของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ $m$

— probabilityislogic
แหล่งที่มา

0

ค่ามัธยฐานคือค่าที่สอดคล้องกับครึ่งควอไทล์นั่นคือครึ่งหนึ่งของค่าจะสูงกว่าครึ่งหนึ่งอยู่ต่ำกว่า (ให้อภัยฉันเพราะไม่สนใจเคสที่มีความเสมอภาคหรือเมื่อเซตเป็น ... ) เช่นนี้เนื่องจากเป็นที่รู้จักในรูปแบบ pdfของชุดข้อมูลจากนั้นการแจกแจงสะสมจะถูกประเมินอย่างง่ายดาย การสังเกตฟังก์ชั่นนี้จากนั้น $p_X$ $X_1 \cdot X_n$ $P_X$

m e d i a n = P_{X}^{- 1} (\frac{1}{2})

$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$

ยกตัวอย่างกรณีของมุมในวิธีนี้ที่ใช้ในกระดาษตรวจสอบนี้สำหรับการทำให้เท่าเทียมกันฮิสโตแกรม แผงด้านซ้ายล่างจะแสดง pdfของมุมในชุดของภาพธรรมชาติ คือการแจกแจงสะสมและค่ามัธยฐานเป็นค่าของสอดคล้องกับค่านั่นคือประมาณในกรณีนั้น $p(\theta)$ $P(\theta)$ $\theta$ $1/2$ $0$

— meduz
แหล่งที่มา