ความสัมพันธ์ระหว่างปัวส์ซองกับการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง

72

เวลาที่รอสำหรับการแจกแจงปัวซองคือการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลพร้อมพารามิเตอร์แลมบ์ดา แต่ฉันไม่เข้าใจ ปัวซองเป็นตัวอย่างจำนวนของการมาถึงต่อหน่วยเวลา สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียลอย่างไร ช่วยบอกว่าความน่าจะเป็นของการมาถึง k ในหน่วยของเวลาคือ P (k) (แบบจำลองโดยปัวซอง) และความน่าจะเป็นที่ k + 1 คือ P (k + 1), แบบจำลองการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

distributions poisson-distribution exponential

— user862
แหล่งที่มา

3

การกระจายปัวซงไม่ได้มีเวลารอ สิ่งเหล่านี้เป็นคุณสมบัติของกระบวนการปัวซอง

— Glen_b

ดูที่นี่คำอธิบายที่ดีขึ้นเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างการแจกแจงสองแบบนี้

— Belter

73

ฉันจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้เพื่อให้สอดคล้องกับ wiki มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ (ในกรณีที่คุณต้องการย้อนกลับไปมาระหว่างคำตอบและคำจำกัดความของ wiki สำหรับปัวซองและเอกซ์โปเนน เชียล)

$N_t$ : จำนวนการมาถึงในช่วงเวลา $t$

$X_t$ : เวลาที่ใช้ในการมาถึงเพิ่มอีกครั้งหนึ่งโดยสมมติว่ามีคนมาที่เวลา $t$

ตามคำนิยามเงื่อนไขต่อไปนี้เทียบเท่า:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

กิจกรรมทางด้านซ้ายจับเหตุการณ์ที่ไม่มีใครมาถึงในช่วงเวลาซึ่งแสดงว่าจำนวนการมาถึงของเราในเวลาเท่ากับการนับในเวลาซึ่งเป็น เหตุการณ์ทางด้านขวา $[t,t+x]$ $t+x$ $t$

โดยกฎเสริมเรายังมี:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

ด้วยการใช้ความเท่าเทียมกันของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เราอธิบายไว้ข้างต้นเราสามารถเขียนข้อความด้านบนใหม่เป็น:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

แต่,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

การใช้ปัวซอง pmf ด้านบนโดยที่คือจำนวนการเข้าชมโดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลาและจำนวนหน่วยเวลาจำนวนทำให้ง่ายขึ้นเพื่อ: $\lambda$ $x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

กล่าวคือ

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

แทนที่ด้วย eqn ดั้งเดิมของเราเรามี:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

ด้านบนคือ cdf ของ pdf แบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

— มอด
แหล่งที่มา

7

ตกลงนี้ทำให้ชัดเจน รูปแบบไฟล์เอ็กซโปเนนเชียลสามารถใช้ในการสร้างแบบจำลองเวลารอระหว่างการเข้าชมแบบปัวซงสองครั้งในขณะที่แบบปัวซองแบบจำลองความน่าจะเป็นของจำนวนครั้ง ปัวซองนั้นไม่ต่อเนื่องในขณะที่การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล มันน่าสนใจที่จะเห็นตัวอย่างชีวิตจริงที่ทั้งสองเข้ามาเล่นในเวลาเดียวกัน

— user862

1

ฮะ? เป็นช่วงเวลาในเวลาหรือระยะเวลาของเวลาหรือไม่

t

$t$

— CodyBugstein

2

โปรดทราบว่าการแจกแจงปัวซงไม่ได้หมายถึงไฟล์ PDF แบบเอ็กซ์โปเนนเชียลโดยอัตโนมัติสำหรับเวลารอระหว่างเหตุการณ์ นี่เป็นเพียงการอธิบายสถานการณ์ที่คุณรู้ว่ากระบวนการปัวซองอยู่ในที่ทำงาน แต่คุณต้องพิสูจน์การมีอยู่ของการแจกแจงแบบปัวซองและการมีอยู่ของไฟล์เอกซ์โพเนนเชียลเพื่อแสดงว่ากระบวนการปัวซองนั้นเป็นแบบจำลองที่เหมาะสม!

— Jan Rothkegel

@CodyBugstein ทั้งคู่: พวกมันสามารถใช้แทนกันได้ในบริบทนี้ การมาถึงเป็นอิสระจากกันซึ่งหมายความว่าไม่สำคัญว่าการชดเชยเวลาเป็นอย่างไร ระยะเวลาตั้งแต่เวลา0จนถึงเวลาtเทียบเท่ากับช่วงเวลาใด ๆ tของความยาว

— Chiel ten Brinke

@ user862: มันคล้ายกับความสัมพันธ์ระหว่างความถี่และความยาวคลื่น ความยาวคลื่นอีกต่อไป; ความถี่ที่ต่ำกว่าคล้ายกับ: เวลารออีกต่อไป; ขาเข้าที่คาดหวังต่ำ

— DWIN

38

สำหรับกระบวนการปัวซงการเข้าชมจะเกิดขึ้นโดยการสุ่มโดยไม่ขึ้นกับอดีต แต่ด้วยอัตราเฉลี่ยระยะยาวที่รู้จักของการเข้าชมต่อหน่วยเวลา การกระจายปัวซงจะให้เราค้นหาความน่าจะเป็นในการได้รับจำนวนครั้งที่เจาะจง $\lambda$

ตอนนี้แทนที่จะดูที่จำนวนครั้งเราดูที่ตัวแปรสุ่ม (ตลอดอายุการใช้งาน) เวลาที่คุณต้องรอการเข้าชมครั้งแรก $L$

ความน่าจะเป็นที่เวลารอคอยมากกว่าค่าเวลาที่กำหนดคือ (โดยการแจกแจงปัวซงโดยที่ ) $P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$ $\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$ (ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม) เราสามารถรับฟังก์ชั่นความหนาแน่นได้โดยหาอนุพันธ์ของสิ่งนี้:

f (t) = {\begin{cases} λ e^{- λ t} & for t \geq 0 \\ 0 & for t < 0 \end{cases}

$f(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & \mbox{for } t \ge 0 \\ 0 & \mbox{for } t \lt 0 \end{cases}$

ตัวแปรสุ่มใด ๆ ที่มีฟังก์ชั่นความหนาแน่นเช่นนี้ถูกบอกว่ามีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

— George Dontas
แหล่งที่มา

2

ฉันชอบ (ไม่ฮิตในเวลา t)คำอธิบาย มันสมเหตุสมผลสำหรับฉัน

P (L > t) = P

$P(L>t)=P$

— user1603548

1

อีกจุดหนึ่งเวลาหนึ่งหน่วยมี hits ดังนั้นเวลา unit จึงมี hits

λ

$\lambda$

t

$t$

λ t

$\lambda t$

— Belter

5

คำตอบอื่นทำหน้าที่อธิบายการคณิตศาสตร์ได้ดี ฉันคิดว่ามันช่วยในการพิจารณาตัวอย่างทางกายภาพ เมื่อฉันคิดเกี่ยวกับกระบวนการปัวซงฉันกลับมาที่ความคิดเกี่ยวกับรถยนต์ที่แล่นผ่านบนถนนเสมอ แลมบ์ดาคือจำนวนรถยนต์โดยเฉลี่ยที่ผ่านไปต่อหน่วยของเวลาสมมติว่า 60 / ชั่วโมง (แลมบ์ดา = 60) อย่างไรก็ตามเรารู้ว่าจำนวนที่แท้จริงจะแตกต่างกันไป - อีกไม่กี่วันบางวันก็น้อยลง การกระจายปัวซงทำให้เราสามารถจำลองความแปรปรวนนี้ได้

ตอนนี้เฉลี่ย 60 คันต่อชั่วโมงเท่ากับหนึ่งเฉลี่ยผ่าน 1 คันต่อนาที อีกครั้งแม้ว่าเรารู้ว่าจะมีความแปรปรวนในระยะเวลาระหว่างการมาถึง: บางครั้งมากกว่า 1 นาที; ครั้งอื่นน้อย การแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียลทำให้เราสามารถจำลองความแปรปรวนนี้ได้

ทุกสิ่งที่กล่าวมารถยนต์ที่ผ่านไปบนถนนจะไม่ทำตามกระบวนการปัวซอง ยกตัวอย่างเช่นหากมีสัญญาณไฟจราจรอยู่รอบมุมนักท่องเที่ยวขาเข้าจะถูกมัดขึ้นแทนที่จะนิ่ง บนทางหลวงที่เปิดกว้างรถเทรลเลอร์ที่ช้าอาจมีรถยนต์ยาวเป็นแนวยาว ในกรณีเหล่านี้การแจกแจงปัวซงอาจทำงานได้เป็นระยะเวลานาน แต่การยกกำลังจะล้มเหลวอย่างมากในการสร้างแบบจำลองเวลามาถึง

โปรดทราบว่ามีความแปรปรวนอย่างมากตามเวลาของวัน: ยุ่งในช่วงเวลาการเดินทาง ช้ามากที่ 03:00 ตรวจสอบให้แน่ใจว่าแลมบ์ดาของคุณสะท้อนช่วงเวลาที่คุณกำลังพิจารณา

— user2024015
แหล่งที่มา

4

การกระจายปัวซองนั้นปกติมาจากการแจกแจงแบบทวินาม คุณจะพบสิ่งนี้บนวิกิ

อย่างไรก็ตามการแจกแจงแบบปัวซง (แยก) ยังสามารถได้มาจากการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล (ต่อเนื่อง)

ฉันได้เพิ่มหลักฐานไปยัง Wiki (ลิงค์ด้านล่าง):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution

— Stuart ฤดูหนาว
แหล่งที่มา

การเชื่อมต่อระหว่างไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องไม่ชัดเจนขอบคุณสำหรับสิ่งนี้!

— jspacek