ระบบพลวัตดูทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางหรือไม่?

( โพสต์ครั้งแรกใน MSE)

ฉันได้เห็นการอภิปรายแบบฮิวริสติกจำนวนมากของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางแบบคลาสสิกพูดถึงการแจกแจงแบบปกติ (หรือการแจกแจงแบบคงที่ใด ๆ ) เป็น "ตัวดึงดูด" ในพื้นที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ตัวอย่างเช่นพิจารณาประโยคเหล่านี้ที่ส่วนบนสุดของการรักษาของ Wikipedia :

ในการใช้งานทั่วไปมากขึ้นทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางคือชุดของทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบอ่อนในทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาทั้งหมดแสดงความจริงที่ว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบอิสระและแบบกระจาย (iid) จำนวนมากหรือมิฉะนั้นตัวแปรสุ่มที่มีการพึ่งพาประเภทเฉพาะจะมีแนวโน้มที่จะกระจายไปตามชุดการกระจายตัวเล็ก ๆ ชุดหนึ่ง เมื่อความแปรปรวนของตัวแปร iid มีจำนวน จำกัด การกระจายตัวดึงดูดจะเป็นการแจกแจงแบบปกติ

ภาษาของระบบพลวัตนี้มีการชี้นำอย่างมาก เฟลเลอร์ยังพูดถึง "การดึงดูด" ในการรักษา CLT ในเล่มที่สองของเขา (ฉันสงสัยว่านั่นคือที่มาของภาษา) และ Yuval Flimus ในบันทึกนี้ยังพูดถึง "อ่างแห่งการดึงดูด" (ฉันไม่คิดว่าเขาหมายถึง "รูปแบบที่แน่นอนของแหล่งท่องเที่ยวนั้นสามารถอนุมานได้ล่วงหน้า" แต่ค่อนข้าง "รูปแบบที่แน่นอนของตัวดึงดูดนั้นสามารถอนุมานได้ล่วงหน้า"; ยังมีภาษาอยู่) คำถามของฉันคือ: สามารถ การเปรียบเทียบแบบไดนามิกจะทำให้แม่นยำ?ฉันไม่รู้หนังสือที่พวกเขาเป็นอยู่ - แม้ว่าหนังสือหลายเล่มจะชี้ให้เห็นว่าการแจกแจงแบบปกตินั้นพิเศษสำหรับความมั่นคงภายใต้การบิด (เช่นเดียวกับความมั่นคงภายใต้การแปลงฟูริเยร์) สิ่งนี้บอกเราว่าปกติเป็นสิ่งสำคัญเพราะเป็นจุดคงที่ CLT ดำเนินการต่อไปโดยบอกเราว่ามันไม่ได้เป็นเพียงจุดคงที่ แต่เป็นตัวดึงดูด

เพื่อให้ภาพเรขาคณิตนี้ถูกต้องฉันจินตนาการว่าการใช้พื้นที่เฟสเป็นพื้นที่ฟังก์ชั่นอนันต์มิติที่เหมาะสม (พื้นที่ของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) และผู้ประกอบการวิวัฒนาการที่จะทำซ้ำด้วยเงื่อนไขเริ่มแรก แต่ฉันไม่มีความรู้ทางด้านเทคนิคที่เกี่ยวข้องกับการทำให้ภาพนี้ทำงานหรือว่ามันคุ้มค่าที่จะติดตาม

ฉันเดาว่าเนื่องจากฉันไม่สามารถหาวิธีการรักษาที่ใช้วิธีนี้อย่างชัดเจนต้องมีบางอย่างผิดปกติกับความรู้สึกของฉันที่สามารถทำได้หรือว่าจะน่าสนใจ หากเป็นกรณีนี้ฉันอยากจะฟังว่าทำไม

แก้ไข : มีคำถามที่คล้ายกันสามคำถามทั่วทั้ง Math Stack Exchange และ MathOverflow ที่ผู้อ่านอาจสนใจ:

• การแจกแจงแบบเกาส์เป็นจุดคงที่ในพื้นที่การแจกจ่ายบางส่วน (MO)
• ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางผ่านเอนโทรปีสูงสุด (MO)
• มีข้อพิสูจน์สำหรับทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางผ่านทฤษฎีบทจุดคงที่หรือไม่? (MSE)

หลังจากทำการขุดในวรรณคดีได้รับการสนับสนุนจากคำตอบของ Kjetil ฉันได้พบข้ออ้างอิงสองสามข้อที่ใช้แนวทางเรขาคณิต / พลวัตเพื่อ CLT อย่างจริงจังนอกเหนือจากหนังสือโดย Y. Sinai ฉันโพสต์สิ่งที่ฉันพบสำหรับคนอื่น ๆ ที่อาจสนใจ แต่ฉันหวังว่าจะยังคงได้ยินจากผู้เชี่ยวชาญเกี่ยวกับคุณค่าของมุมมองนี้

อิทธิพลที่สำคัญที่สุดดูเหมือนว่ามาจากงานของ Charles Stein แต่คำตอบที่ตรงที่สุดสำหรับคำถามของฉันน่าจะมาจาก Hamedani และ Walter ที่วางระบบเมตริกบนฟังก์ชันการกระจายและแสดงว่าการบิดทำให้เกิดการหดตัวซึ่งให้การกระจายแบบปกติเป็นจุดคงที่ที่ไม่ซ้ำกัน

• M. Anshelevich, การทำให้เป็นเส้นตรงของตัว จำกัด ลิมิตในทฤษฎีความน่าจะเป็นอิสระ , arXiv: math / 9810047v2
• LHY Chen, L. Goldstein และ Q. Shao, การประมาณปกติด้วยวิธีการของ Stein , Springer, 2011
• JA Goldstein บทพิสูจน์เชิงทฤษฎีกึ่งเซกเมนต์ของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางและทฤษฎีบทการวิเคราะห์อื่น ๆ Semigroup Forum 12 (1976), ฉบับที่ 3, 189–206
• GG Hamedani และ GG Walter, ทฤษฎีบทจุดคงที่และการประยุกต์ใช้กับทฤษฎีขีด จำกัด กลาง , Arch คณิตศาสตร์. (บาเซิล) 43 (1984), ฉบับที่ 3, 258–264
• S. Swaminathan หลักฐานพิสูจน์จุดคงที่ของทฤษฎีขีด จำกัด กลางในทฤษฎีจุดคงที่และการใช้งาน (Marseille, 1989), Pitman Res คณิตศาสตร์หมายเหตุ Ser., vol. 252, Longman Sci เทคโนโลยี., Harlow, 1991, pp. 391–396 อ้างถึงในคาร์ลสตรอมเบิร์กน่าจะเป็นสำหรับนักวิเคราะห์, หน้า 114

เพิ่ม 19 ตุลาคม 2018

แหล่งอื่นสำหรับมุมมองนี้คือความน่าจะเป็นและกระบวนการ Stochasticของ Oliver Knill ด้วยแอปพลิเคชัน , p. 11 (เน้นการเพิ่ม):

กระบวนการมาร์คอฟมักถูกดึงดูดด้วยจุดคงที่ของตัวดำเนินการมาร์คอฟ จุดคงที่ดังกล่าวเรียกว่าสถานะนิ่ง พวกเขาอธิบายถึงความสมดุลและบ่อยครั้งที่พวกเขาเป็นมาตรการที่มีเอนโทรปีสูงสุด ตัวอย่างคือตัวดำเนินการมาร์คอฟ$P$ซึ่งกำหนดให้กับความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $f_y$ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ $f_{\overline{Y+X}}$ ที่ไหน $\overline{Y+X}$ เป็นตัวแปรสุ่ม $Y + X$ ทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้มันมีค่าเฉลี่ย $0$ และความแปรปรวน $1$. สำหรับฟังก์ชั่นเริ่มต้น$f= 1$, ฟังก์ชั่น $P^n(f_X)$ คือการกระจายตัวของ $S^{*}_n$ ผลรวมปกติของ $n$ IID ตัวแปรสุ่ม $X_i$. ตัวดำเนินการมาร์คอฟนี้มีจุดสมดุลที่เป็นเอกลักษณ์คือการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน มันมีเอนโทรปีสูงสุดในบรรดาการแจกแจงทั้งหมดในบรรทัดจริงที่มีความแปรปรวน$1$ และหมายความว่า $0$. ทฤษฎีขีด จำกัด กลางบอกว่าตัวดำเนินการมาร์คอฟ$P$ มีการแจกแจงแบบปกติว่าเป็นจุดดึงดูดที่ไม่เหมือนใครถ้าใครใช้ทอพอโลยีที่อ่อนแอกว่าของการลู่เข้าในการกระจาย$\mathcal{L}^1$. ใช้งานได้ในสถานการณ์อื่นเช่นกัน สำหรับตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นวงกลมเช่นการแจกแจงแบบสม่ำเสมอจะเพิ่มเอนโทรปีให้มากที่สุด ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่มีทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางสำหรับตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นวงกลมโดยมีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอเป็นการกระจายแบบ จำกัด

ข้อความ "ทฤษฎีความน่าจะเป็นหลักสูตรเบื้องต้น" โดย Y Sinai (Springer) กล่าวถึง CLT ด้วยวิธีนี้

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

ความคิดคือ (จากหน่วยความจำ ... ) ว่า

1) การแจกแจงแบบปกติช่วยเพิ่มเอนโทรปีให้มากที่สุด $A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$รักษาความแปรปรวนและเพิ่มเอนโทรปี ... และส่วนที่เหลือเป็นเทคนิค ดังนั้นคุณจะได้รับระบบพลวัตของการวนซ้ำของโอเปอเรเตอร์