ทำไมการทดสอบ F ถึงมีความละเอียดอ่อนมากสำหรับการสันนิษฐานของภาวะปกติ?

ทำไมเป็นF -test สำหรับความแตกต่างในความแปรปรวนเพื่อให้มีความไวต่อสมมติฐานของการกระจายปกติแม้สำหรับขนาดใหญ่$N$ ?

ฉันพยายามค้นหาเว็บและเยี่ยมชมห้องสมุด แต่ก็ไม่มีคำตอบที่ดีเลย มันบอกว่าการทดสอบมีความละเอียดอ่อนมากสำหรับการละเมิดสมมติฐานสำหรับการแจกแจงแบบปกติ แต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไม ใครบ้างมีคำตอบที่ดีสำหรับเรื่องนี้?

ฉันคิดว่าคุณหมายถึงการทดสอบ F สำหรับอัตราส่วนของความแปรปรวนเมื่อทดสอบคู่ของความแปรปรวนตัวอย่างเพื่อความเท่าเทียม

หากตัวอย่างของคุณถูกดึงมาจากการแจกแจงปกติความแปรปรวนตัวอย่างจะมีการแจกแจงไคสแควร์สเกล

ลองนึกภาพว่าแทนที่จะเป็นข้อมูลที่มาจากการแจกแจงแบบปกติคุณมีการแจกแจงที่หนักกว่าปกติ จากนั้นคุณจะได้ค่าผลต่างขนาดใหญ่มากเมื่อเทียบกับการแจกแจงไคสแควร์ที่ปรับขนาดแล้วและความน่าจะเป็นของความแปรปรวนตัวอย่างที่ออกไปทางด้านขวาสุดนั้นตอบสนองต่อหางของการแจกแจงที่ดึงข้อมูล = (จะมีความแปรปรวนขนาดเล็กมากเกินไปเช่นกัน แต่เอฟเฟกต์จะเด่นชัดน้อยลง)

ทีนี้ถ้าทั้งสองตัวอย่างถูกดึงออกมาจากการแจกแจงเทลด์ที่หนักหางที่ใหญ่กว่าบนตัวเศษจะสร้างค่า F ที่มากเกินไปและหางที่ใหญ่กว่าบนตัวส่วนจะสร้างค่า F ที่น้อยเกินไป (และในทางกลับกันสำหรับหางซ้าย)

ทั้งผลกระทบเหล่านี้จะมีแนวโน้มที่จะนำไปสู่การปฏิเสธในการทดสอบสองเทลด์แม้ว่ากลุ่มตัวอย่างทั้งสองมีความแปรปรวนเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเมื่อการแจกแจงที่แท้จริงนั้นหนักกว่าปกติระดับความสำคัญที่แท้จริงมักจะสูงกว่าที่เราต้องการ

ในทางกลับกันการวาดตัวอย่างจากการแจกแจงแบบเทลเบาทำให้เกิดการแจกแจงความแปรปรวนตัวอย่างที่สั้นเกินไปค่าความแปรปรวนแบบหางมีแนวโน้มที่จะ "ปานกลาง" มากกว่าที่คุณได้รับจากข้อมูลจากการแจกแจงแบบปกติ อีกครั้งผลกระทบที่แข็งแกร่งในหางบนไกลกว่าหางล่าง

ทีนี้ถ้าทั้งสองตัวอย่างถูกดึงมาจากการแจกแจงแบบเทลด์ที่เบากว่าผลลัพธ์นี้จะมีค่า F เกินกว่าค่ามัธยฐานและน้อยเกินไปในทั้งสองหาง (ระดับนัยสำคัญที่แท้จริงจะต่ำกว่าที่ต้องการ)

เอฟเฟกต์เหล่านี้ดูเหมือนจะไม่ลดลงมากนักเมื่อขนาดตัวอย่างใหญ่ขึ้น ในบางกรณีดูเหมือนว่าจะแย่ลง

ตามภาพประกอบภาพประกอบบางส่วนนี่คือผลต่างตัวอย่าง 10,000 รายการ (สำหรับ$n=10$ ) สำหรับปกติ$t_5$และการแจกแจงแบบสม่ำเสมอปรับสัดส่วนให้มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ$\chi^2_9$ :

มันค่อนข้างยากที่จะเห็นหางที่ไกลเนื่องจากมันค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับยอดเขา (และสำหรับ$t_5$การสังเกตในหางขยายออกไปในทางที่ยุติธรรมที่ผ่านมาซึ่งเราได้วางแผนไว้) แต่เราสามารถเห็นบางสิ่งที่มีผลต่อ การกระจายความแปรปรวน บางทีมันอาจจะเป็นคำแนะนำที่ดีกว่าในการแปลงสิ่งเหล่านี้โดยผกผันของ Chi-square cdf

ซึ่งในกรณีปกติดูเหมือนกัน (เท่าที่ควร) ในกรณี t- มียอดเขาใหญ่ในหางบน (และยอดเขาเล็ก ๆ ในหางล่าง) และในกรณีเครื่องแบบเหมือนเนินเขา แต่กว้าง จุดสูงสุดประมาณ 0.6 ถึง 0.8 และสุดขั้วมีความน่าจะเป็นต่ำกว่าที่ควรจะเป็นหากเราสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงแบบปกติ

สิ่งเหล่านี้จะสร้างผลกระทบต่อการกระจายตัวของอัตราส่วนของความแปรปรวนที่ฉันอธิบายไว้ก่อนหน้านี้ อีกครั้งเพื่อปรับปรุงความสามารถของเราที่จะเห็นผลกระทบต่อก้อย (ซึ่งยากที่จะมองเห็น) ฉันได้เปลี่ยนจากการผกผันของ cdf (ในกรณีนี้สำหรับการกระจาย$F_{9,9}$ ):

ในการทดสอบแบบสองด้านเราดูที่ส่วนท้ายทั้งสองของการแจกแจงแบบ F ก้อยทั้งสองนั้นจะแสดงมากเกินไปเมื่อวาดจาก$t_5$และทั้งคู่จะถูกแทนใต้เมื่อวาดจากเครื่องแบบ

จะมีอีกหลายกรณีที่ต้องตรวจสอบเพื่อศึกษาเต็มรูปแบบ แต่อย่างน้อยก็ให้ความรู้สึกถึงชนิดและทิศทางของผลกระทบรวมถึงวิธีการที่มันเกิดขึ้น

เช่นเดียวกับGlen_bแสดงให้เห็นอย่างยอดเยี่ยมในแบบจำลองของเขาการทดสอบ F สำหรับอัตราส่วนความแปรปรวนนั้นอ่อนไหวต่อการกระจายตัว เหตุผลของเรื่องนี้ก็คือความแปรปรวนของความแปรปรวนตัวอย่างขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ kurtosis และความโด่งดังของการกระจายนั้นมีผลอย่างมากต่อการกระจายตัวของอัตราส่วนของความแปรปรวนตัวอย่าง

$S_N^2$$S_n^2$$n<N$$^\dagger$

where the degrees-of-freedom (which depend on the underlying kurtosis $\kappa$) are:

In the special case of a mesokurtic distribution (e.g., the normal distribution) you have $\kappa=3$, which gives the standard degrees-of-freedom $DF_n = n-1$ and $DF_C = N-n$.

Although the distribution of the variance-ratio is sensitive to the underlying kurtosis, it is not actually very sensitive to normality per se. If you use a mesokurtic distribution with a different shape to the normal, you will find that the standard F-distribution approximation performs quite well. In practice the underlying kurtosis is unknown, so implementation of the above formula requires substitution of an estimator $\hat{\kappa}$. With such a substitution the approximation should perform reasonably well.

$^\dagger$ Note that this paper defines the population variance using Bessel's correction (for reasons stated in the paper, pp. 282-283). So the denominator of the population variance is $N-1$ in this analysis, not $N$. (This is actually a more helpful way to do things, since the population variance is then an unbiased estimator of the superopopulation variance parameter.)