การแปลงฟูริเยร์ของการแจกแจง

ซึ่งมีการกระจายฟูริเยร์ของตัวเองเปลี่ยนนอกเหนือจากการแจกแจงแบบปกติและการกระจาย arcsine ทั่วไป ?

distributions fourier-transform

สมมติว่าการแปลงฟูริเยร์ของคือโดยที่ โดยที่{-1} การแปลงผกผันคือ $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

คุณสมบัติบางอย่างของการแปลงฟูริเยร์มีดังนี้:

การแปลงฟูริเยร์ของคือ $X(t)$ $x(-f)$
ถ้าเป็นฟังก์ชั่นมูลค่าจริงของแล้ว เป็นฟังก์ชั่นมูลค่าจริงของฉ $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

ดังนั้นถ้าเป็นฟังก์ชั่นแม้ค่าจริงของดังนั้นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชั่นแม้มูลค่าจริง คือ $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

ตอนนี้คิดว่าเป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่นแม้ความน่าจะเป็น (เพื่อให้สำหรับทุก ) ที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่1 สมมติว่าฟูริเยร์มันเปลี่ยน มีคุณสมบัติที่สำหรับทุกฉจากนั้นเนื่องจาก เป็นฟังก์ชันที่มีค่าจริงที่ไม่ใช่ค่าลบของกับพื้นที่นั่นคือ คือเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นพร้อมคุณสมบัติที่ $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ . ตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชั่นคู่นี้คือการแจกแจงแบบปกติที่อ้างอิงโดย OP Neil G และอีกตัวอย่างคือ

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

ตอนนี้ให้สังเกตว่า คือความหนาแน่นของการผสมซึ่ง Fourier แปลงเป็น ซึ่งมี ความหนาแน่นของส่วนผสมเดียวกัน $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

ดังนั้นถ้าเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นซึ่ง Fourier transformเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นดังนั้นฟังก์ชันความหนาแน่นของการผสม คือการแปลงฟูริเยร์ของมันเอง $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

ในที่สุดได้รับสองความหนาแน่นที่มีการแปลงฟูริเยร์ของตัวเองเช่นและ , ใด ๆความหนาแน่นของส่วนผสม โดยที่เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นที่แปลงฟูริเยร์ของตัวเอง $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α x_{1} (t) + (1 - α) [\frac{1}{2} x_{2} (t) + \frac{1}{2} X_{2} (t)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

(+1) มันค่อนข้างฉลาด มันควรจะตั้งข้อสังเกตว่าในการรับประกันการเปลี่ยนคู่ที่ถูกต้องเราต้องมีสภาพ integrability บน(ฉ) กล่าวคือจะรับประกันว่าการผกผันดังกล่าวจะกู้คืนความหนาแน่นที่เหมาะสม ในแง่ที่คุณใช้เงื่อนไขดังกล่าวในภายหลัง (ฉันได้สันนิษฐานแล้วว่ามีการบังคับใช้ข้อ จำกัด nonnegativity ในดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีโมดูลัส)

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— cardinal