ฉันกำลังศึกษาเกี่ยวกับการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดและฉันอ่านว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือผลลัพธ์ของความน่าจะเป็นของแต่ละตัวแปร ทำไมถึงเป็นผลิตภัณฑ์ ทำไมไม่รวม ฉันพยายามค้นหาบน Google แล้ว แต่ไม่พบคำตอบที่มีความหมาย

https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood

นี่เป็นคำถามพื้นฐานมากและแทนที่จะใช้ภาษาทางการและสัญกรณ์คณิตศาสตร์ฉันจะพยายามตอบในระดับที่ทุกคนที่เข้าใจคำถามสามารถเข้าใจคำตอบได้

ลองนึกภาพว่าเรามีแมวแข่งกัน พวกเขามีความน่าจะเป็น 75% ของการเกิดสีขาวและความน่าจะเป็น 25% ของการเกิดสีเทาไม่มีสีอื่น นอกจากนี้พวกเขามีโอกาส 50% ที่จะมีดวงตาสีเขียวและมีโอกาส 50% ที่มีดวงตาสีฟ้าและสีเสื้อและสีตามีความเป็นอิสระ

ตอนนี้ให้เราดูลูกแมวแปดตัว

คุณจะเห็นว่า 1 ใน 4 หรือ 25% เป็นสีเทา นอกจากนี้ 1 ใน 2 หรือ 50% มีดวงตาสีฟ้าด้วย ตอนนี้คำถามคือ

ลูกแมวกี่ตัวมีขนสีเทาและตาสีฟ้า

คุณสามารถนับได้คำตอบคือ นั่นคือหรือ 12.5% ​​ของ 8 ลูกแมว$\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

ทำไมมันเกิดขึ้น เพราะแมวตัวใดก็ตามที่มี 1 ใน 4 น่าจะเป็นสีเทา ดังนั้นเลือกแมวสี่ตัวและคุณสามารถคาดหวังว่าหนึ่งในนั้นจะเป็นสีเทา แต่ถ้าคุณเลือกแมวสี่ตัวจากหลาย ๆ ตัว (และรับค่าที่คาดหวังของแมวสีเทา 1 ตัว) แมวที่เป็นสีเทามีความน่าจะเป็น 1 ใน 2 ที่จะมีดวงตาสีฟ้า ซึ่งหมายความว่าจากจำนวนแมวทั้งหมดที่คุณเลือกอันดับแรกคุณจะคูณผลรวม 25% เพื่อรับแมวสีเทาจากนั้นคุณคูณ 25% ของแมวทั้งหมดที่เลือกไว้ 50% เพื่อให้ได้แมวที่มีดวงตาสีฟ้า สิ่งนี้ทำให้คุณมีโอกาสที่จะได้รับแมวสีเทาสีน้ำเงินตา

การรวมพวกมันเข้าด้วยกันจะให้ซึ่งทำให้$\frac{1}{4} + \frac{1}{2}$หรือ 6 จาก 8 ในภาพของเรามันสอดคล้องกับการสรุปแมวที่มีตาสีฟ้ากับแมวที่มีขนสีเทา - และนับลูกแมวตาสีฟ้าหนึ่งตัวสีเทาสองครั้ง! การคำนวณดังกล่าวสามารถมีที่ของมันได้ แต่มันค่อนข้างผิดปกติในการคำนวณความน่าจะเป็นและแน่นอนว่าไม่ใช่สิ่งที่คุณถาม$\frac{3}{4}$

$A$$B$$S$$A$$B$$P(A$$B)=P(A\cap B) = P(A)P(B)$$A_1,A_2,...A_n$$P(\underset{i\in I}{\cap A_i})= \prod_{i\in I} P(A_i)$$I \subset [1,2,...,n]$

$x_1, x_2, …, x_n$$n$$f(x_1,x_2,...,x_n|\theta) = \prod_{i=1}^{i=n}f(x_i|\theta)$

$P(A \cap B)$$P(A) P(B)$

ดังนั้นหากคุณถือว่าการสังเกตทั้งหมดของคุณเป็นอิสระความน่าจะเป็นที่จะสังเกตค่าทั้งหมดที่คุณเห็นนั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นแต่ละข้อ

ทำไมไม่เพิ่ม

เพราะเห็นได้ชัดว่าไม่มีเหตุผล สมมติว่าคุณมีเศษหนึ่งส่วนสี่และหนึ่งส่วนและคุณต้องการที่จะพลิกมันทั้งคู่ มีโอกาส 50% ในไตรมาสที่จะขึ้นหัวและโอกาส 50% ที่จะมีหัวนิกเกิล ถ้าโอกาสที่ทั้งสองขึ้นมาเป็นจำนวนรวมนั่นจะทำให้มีโอกาส 100% ซึ่งผิดอย่างเห็นได้ชัดเพราะไม่มีโอกาสสำหรับ HT, TH และ TT

ทำไมทวีคูณ

เพราะมันไม่เข้าท่า เมื่อคุณเพิ่มโอกาส 50% ในการควงหัวขึ้นด้วยโอกาส 50% ของการเพิ่มขึ้นของหัวนิกเกิลคุณจะได้รับ 0.5 x 0.5 = 0.25 = 25% โอกาสที่เหรียญทั้งสองจะถูกหัว ระบุว่ามีชุดค่าผสมที่เป็นไปได้สี่ชุด (HH, HT, TH, HT) และแต่ละชุดมีแนวโน้มเท่ากันชุดนี้สมบูรณ์แบบ เมื่อประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นทั้งสองเราจะเพิ่มความน่าจะเป็นของแต่ละคน

ฉันกำลังอ่านโพสต์เหล่านี้เพราะเช่นเดียวกับโปสเตอร์ต้นฉบับความต้องการของฉันคือการเข้าใจว่าทำไม ' ความน่าจะเป็น' fn คือ ' ผลิตภัณฑ์ ' ของความหนาแน่นของค่าตัวอย่างแต่ละค่า - ' x ' เหตุผลที่อ่านได้และมีเหตุผลให้อยู่ภายใต้หัวข้อหลักการของความน่าจะเป็นสูงสุดอ้างอิง: [ http://www-structmed.cimr.cam.ac.uk/Course/Likelihood/likelihood.html] ใบเสนอราคาเพิ่มเติมทางคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ ความน่าจะเป็นของการสร้างชุดการวัด (อ้างอิงเดียวกัน) โดยสรุปความน่าจะเป็นที่คุณมาถึงตัวอย่างที่คุณมีอยู่

เป้าหมายของวิธีการความน่าจะเป็นสูงสุดคือการหาตัวประมาณที่เพิ่มความน่าจะเป็นของการสังเกตค่าของตัวแปร (ตัวแปรภายนอก) นั่นคือเหตุผลที่เราต้องคูณความน่าจะเป็นของการกลับเป็นซ้ำ

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าจำนวนสายโทรศัพท์ที่เลขานุการสามารถรับได้ในหนึ่งชั่วโมงนั้นเป็นไปตามการแจกแจงปัวซอง จากนั้นคุณแยกค่าตัวอย่าง 2 ค่า (โทรศัพท์ 5 สายและโทรศัพท์ 8 สายต่อชั่วโมง) ตอนนี้คุณต้องตอบคำถามนี้ ค่าพารามิเตอร์ที่เพิ่มความน่าจะเป็นของการสังเกตการโทร 5 และ 8 พร้อมกันคืออะไร? หลังจากนั้นลองตอบด้วยความน่าจะเป็นที่สังเกตค่าทั้งหมดของแซม

เนื่องจากตัวแปรสุ่มอิสระ

f (y1 = 5 สายโทรศัพท์) * f (y2 = 8 สายโทรศัพท์) = ∏if (y, θ) = L (θ, y1, y2)

สุดท้ายลองตอบความน่าจะเป็นที่สังเกตค่าทั้งหมดของกลุ่มตัวอย่าง