จำนวนครั้งที่คาดว่าจะหมุนตายจนกว่าแต่ละด้านจะปรากฏขึ้น 3 ครั้ง

จำนวนครั้งที่คาดว่าคุณจะต้องกลิ้งตายจนกว่าแต่ละด้านจะปรากฏ 3 ครั้งคืออะไร?

คำถามนี้ถูกถามในโรงเรียนประถมในนิวซีแลนด์และแก้ไขด้วยการจำลองสถานการณ์ โซลูชันการวิเคราะห์สำหรับปัญหานี้คืออะไร

สมมติว่าด้านมีโอกาสเท่ากัน ลองพูดคุยกันและหาจำนวนม้วนที่คาดหวังที่ต้องการจนกว่าด้าน1จะปรากฏn 1ครั้ง, ด้านที่2ได้ปรากฏn 2ครั้ง, ... , และด้านdได้ปรากฏn dครั้ง เนื่องจากตัวตนของด้านไม่สำคัญ (พวกเขาทั้งหมดมีโอกาสเท่ากัน), คำอธิบายของวัตถุประสงค์นี้สามารถย่อ: ให้เราสมมติว่าi 0ข้างไม่ต้องปรากฏเลย, ฉัน1ด้านต้องปรากฏ เพียงครั้งเดียว ... และฉัน$d=6$$1$$n_1$$2$$n_2$$d$$n_d$$i_0$$i_1$$i_n$ด้านข้างต้องปรากฏครั้ง ให้i = ( i 0 , i 1 , … , i n )กำหนดสถานการณ์นี้และเขียนe ( i )สำหรับจำนวนม้วนที่คาดหวัง คำถามถามหาe ( 0 , 0 , 0 , 6 ) :$n=\max(n_1,n_2,\ldots,n_d)$

$$\mathbf{i}=(i_0,i_1,\ldots,i_n)$$ $$e(\mathbf{i})$$ $e(0,0,0,6)$$i_3 = 6$ บ่งบอกว่าทั้งหกด้านจะต้องเห็นสามครั้งในแต่ละครั้ง

มีการเกิดซ้ำได้ง่าย ที่ม้วนถัดไปด้านข้างที่ปรากฏสอดคล้องกับหนึ่งใน : นั่นคือทั้งที่เราไม่จำเป็นต้องเห็นมันหรือเราต้องการที่จะเห็นมันครั้งเดียว ... หรือเราต้องการที่จะเห็นมันครั้งมากขึ้น . คือจำนวนครั้งที่เราต้องการเห็นมัน$i_j$$n$$j$

• เมื่อเราไม่จำเป็นต้องเห็นและไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง เรื่องนี้เกิดขึ้นกับความน่าจะวัน$j=0$$i_0/d$

• เมื่องั้นเราก็ต้องเห็นด้านนี้ ขณะนี้มีด้านที่น้อยกว่าที่ต้องเห็นj คูณและอีกด้านหนึ่งที่ต้องเห็นj - 1ครั้ง ดังนั้นฉันเจกลายเป็นฉันJ - 1และฉันJ - 1กลายเป็นฉันเจ + 1 ให้การนี้กับชิ้นส่วนของผมจะกำหนดให้ฉัน ⋅ ญเพื่อให้$j \gt 0$$j$$j-1$$i_j$$i_j-1$$i_{j-1}$$i_j+1$$\mathbf{i}$$\mathbf{i}\cdot j$

  $$\mathbf{i}\cdot j = (\color{gray}{i_0, \ldots, i_{j-2}}, i_{j-1}+1, i_j-1, \color{gray}{i_{j+1},\ldots, i_n}).$$

  เรื่องนี้เกิดขึ้นกับความน่าจะเป็น d$i_j/d$

เราเพียงแค่ต้องนับม้วนกระดาษม้วนนี้และใช้การเรียกซ้ำเพื่อบอกให้เราทราบว่ามีม้วนกระดาษเพิ่มอีกกี่ตัว ตามกฎแห่งความคาดหวังและความน่าจะเป็นโดยรวม

$$e(\mathbf{i}) = 1 + \frac{i_0}{d}e(\mathbf{i}) + \sum_{j=1}^n \frac{i_j}{d}e(\mathbf{i}\cdot j)$$

(ให้เข้าใจว่าเมื่อใดก็ตามที่คำที่เกี่ยวข้องในผลรวมคือศูนย์)$i_j=0$

ถ้าเราจะทำและอี( ฉัน ) = 0 มิฉะนั้นเราอาจแก้หาe ( i )โดยให้สูตรเรียกซ้ำที่ต้องการ$i_0=d$$e(\mathbf{i}) =0$$e(\mathbf{i})$

$$e(\mathbf{i}) = \frac{d + i_1 e(\mathbf{i}\cdot 1) + \cdots + i_n e(\mathbf{i}\cdot n)}{d - i_0}.\tag{1}$$

ขอให้สังเกตว่าคือจำนวนกิจกรรมทั้งหมดที่เราต้องการดู การดำเนินการ⋅ jช่วยลดปริมาณนั้นหนึ่งสำหรับj > 0ใด ๆ ที่ฉันให้j > 0ซึ่งเป็นกรณีเสมอ ดังนั้นการเรียกซ้ำนี้จึงสิ้นสุดลงที่ระดับความลึกที่แม่นยำ| ฉัน| (เท่ากับ3 ( 6 )

$$|\mathbf{i}| = 0(i_0) + 1(i_1) + \cdots + n(i_n)$$ $\cdot j$$j\gt 0$$i_j \gt 0$$|\mathbf{i}|$ในคำถาม) ยิ่งกว่านั้น (เช่นไม่ยากที่จะตรวจสอบ) จำนวนความเป็นไปได้ที่ความลึกของการเรียกซ้ำแต่ละครั้งในคำถามนี้มีขนาดเล็ก (ไม่เกิน 8 ) ดังนั้นนี่เป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพอย่างน้อยที่สุดเมื่อความเป็นไปได้เชิงผสมนั้นไม่มากเกินไปและเราบันทึกผลลัพธ์กลาง (เพื่อไม่ให้มีการคำนวณค่าของ eมากกว่าหนึ่งครั้ง)$3(6) = 18$$8$$e$

ฉันคำนวณว่า

$$e(0,0,0,6) = \frac{2\,286\,878\,604\,508\,883}{69\,984\,000\,000\,000}\approx 32.677.$$

นั่นดูเล็กมากสำหรับฉันดังนั้นฉันจึงทำการจำลอง (โดยใช้R) หลังจากกว่าสามล้านม้วนของลูกเต๋าเกมนี้ได้รับการเล่นที่จะเสร็จสิ้นในช่วง 100,000 ครั้งโดยมีความยาวเฉลี่ยของ32.669ข้อผิดพลาดมาตรฐานของการประมาณนั้นคือ0.027 : ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยนี้กับค่าทางทฤษฎีไม่มีนัยสำคัญยืนยันความถูกต้องของค่าทางทฤษฎี$32.669$$0.027$

การกระจายความยาวอาจเป็นที่สนใจ (เห็นได้ชัดว่ามันจะต้องเริ่มต้นที่จำนวนขั้นต่ำของม้วนที่จำเป็นในการรวบรวมทั้งหกด้านสามครั้งละ)$18$

# Specify the problem
d <- 6   # Number of faces
k <- 3   # Number of times to see each
N <- 3.26772e6 # Number of rolls

# Simulate many rolls
set.seed(17)
x <- sample(1:d, N, replace=TRUE)

# Use these rolls to play the game repeatedly.
totals <- sapply(1:d, function(i) cumsum(x==i))
n <- 0
base <- rep(0, d)
i.last <- 0
n.list <- list()
for (i in 1:N) {
  if (min(totals[i, ] - base) >= k) {
    base <- totals[i, ]
    n <- n+1
    n.list[[n]] <- i - i.last
    i.last <- i
  }
}

# Summarize the results
sim <- unlist(n.list)
mean(sim)
sd(sim) / sqrt(length(sim))
length(sim)
hist(sim, main="Simulation results", xlab="Number of rolls", freq=FALSE, breaks=0:max(sim))

---

การดำเนินงาน

$e$$e(\mathbf{i})$$\mathbf{i}$$\mathbf{i}$

R$\mathbf{i}$E$\mathbf{i}\cdot j$%.%

$e$

x <- (d + sum(sapply(1:n, function(i) j[i+1]*e.(j %.% i))))/(d - j[1])

$(1)$$1$R$1$$0$

$0.01$e(c(0,0,0,6))

32.6771634160506

ข้อผิดพลาดในการปัดเศษทศนิยมทำให้เกิดการทำลายตัวเลขสองหลักสุดท้าย (ซึ่งควร68มากกว่า06)

e <- function(i) {
  #
  # Create a data structure to "memoize" the values.
  #
  `[[<-.AA` <- function(x, i, value) {
    class(x) <- NULL
    x[[paste(i, collapse=",")]] <- value
    class(x) <- "AA"
    x
  }
  `[[.AA` <- function(x, i) {
    class(x) <- NULL
    x[[paste(i, collapse=",")]]
  }
  E <- list()
  class(E) <- "AA"
  #
  # Define the "." operation.
  #
  `%.%` <- function(i, j) {
    i[j+1] <- i[j+1]-1
    i[j] <- i[j] + 1
    return(i)
  }
  #
  # Define a recursive version of this function.
  #
  e. <- function(j) {
    #
    # Detect initial conditions and return initial values.
    #
    if (min(j) < 0 || sum(j[-1])==0) return(0)
    #
    # Look up the value (if it has already been computed).
    #
    x <- E[[j]]
    if (!is.null(x)) return(x)
    #
    # Compute the value (for the first and only time).
    #
    d <- sum(j)
    n <- length(j) - 1
    x <- (d + sum(sapply(1:n, function(i) j[i+1]*e.(j %.% i))))/(d - j[1])
    #
    # Store the value for later re-use.
    #
    E[[j]] <<- x
    return(x)
  }
  #
  # Do the calculation.
  #
  e.(i)
}
e(c(0,0,0,6))

ในที่สุดนี่คือการใช้Mathematicaดั้งเดิมที่สร้างคำตอบที่แน่นอน การบันทึกช่วยจำทำได้โดยการใช้สำนวนe[i_] := e[i] = ...ซึ่งกำจัดRขั้นต้นเกือบทั้งหมด ภายในแม้ว่าทั้งสองโปรแกรมกำลังทำสิ่งเดียวกันในลักษณะเดียวกัน

shift[j_, x_List] /; Length[x] >= j >= 2 := Module[{i = x},
   i[[j - 1]] = i[[j - 1]] + 1;
   i[[j]] = i[[j]] - 1;
   i];
e[i_] := e[i] = With[{i0 = First@i, d = Plus @@ i},
    (d + Sum[If[i[[k]] > 0, i[[k]]  e[shift[k, i]], 0], {k, 2, Length[i]}])/(d - i0)];
e[{x_, y__}] /; Plus[y] == 0  := e[{x, y}] = 0

e[{0, 0, 0, 6}]

$\frac{2286878604508883}{69984000000000}$

คำถามเดิมของคำถามนี้เริ่มต้นชีวิตโดยการถาม:

จำเป็นต้องมีกี่ม้วนจนกว่าแต่ละด้านจะปรากฏขึ้น 3 ครั้ง

$\rightarrow$

การกระจายของจำนวนม้วนที่ต้องการ ... เพื่อให้แต่ละด้านปรากฏ 3 ครั้ง

$n$$X_i$$i$$i \in \{1, \dots, 6\}$$(X_1, X_2,\dots, X_6)$$\text{Multinomial}(n,\frac16)$

$$P\left(X_1=x_1,\ldots ,X_6=x_6\right) \; = \; \frac{n! }{ x_1! \cdots x_6!} \; \frac{1}{6^n} \quad \text{ subject to: } \quad \sum _{i=1}^6 x_i=n$$

ปล่อย: $\quad N = \min\big\{n: \; {X_i \geq 3 \; \forall_i } \big\}. \;$$N$$\quad P(N \leq n) \; = \; P\big(X_{\forall_i} \geq 3 \; \big| \; n\big)$

$P(N \leq n)$$n = \{18, 19, 20,\dots\}$

$$P(X_1 \geq3, \dots , X_6 \geq 3) \quad \text{ where } \quad (X_1, \dots, X_6) \sim \text{Multinomial}(n,\frac16)$$

$n$

 cdf = ParallelTable[ 
   Probability[x1 >= 3 && x2 >= 3 && x3 >= 3 && x4 >= 3 && x5 >= 3 &&  x6 >= 3, 
       {x1, x2, x3, x4, x5, x6} \[Distributed] MultinomialDistribution[n, Table[1/6, 6]]],
    {n, 18, 60}]

$n$

$$\begin{array}{cc} 18 & \frac{14889875}{11019960576} \\ 19 & \frac{282907625}{44079842304} \\ 20 & \frac{3111983875}{176319369216} \\ 21 & \frac{116840849125}{3173748645888} \\ 22 & \frac{3283142988125}{50779978334208} \\ 23 & \frac{61483465418375}{609359740010496} \\ \vdots & \vdots\\ \\ \end{array}$$

$P(N\leq n)$$n$

$P(N=n)$

แน่นอนว่าการกระจายไม่มีขอบเขตบน แต่เราสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายที่นี่สำหรับค่ามากที่สุดเท่าที่จำเป็นในทางปฏิบัติ วิธีการนี้เป็นเรื่องทั่วไปและควรใช้งานได้ดีเช่นกันสำหรับทุกด้านที่ต้องการ