ฉันควรใช้ cdf ทวินามหรือ cdf ปกติเมื่อพลิกเหรียญ?

11

เหรียญจะต้องมีการทดสอบเพื่อความเป็นธรรม 30 หัวขึ้นหลัง 50 พลิก สมมติว่าเหรียญมีความยุติธรรมความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รับอย่างน้อย 30 หัวใน 50 ครั้งคือเท่าไหร่?

วิธีที่ถูกต้องในการทำปัญหาตามครูของฉันคือทำ

normalcdf(min = .6, max = ∞, p = .5, σ = sqrt(.5 * .5 / 50) = 0.0786

อย่างไรก็ตามฉันใช้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมแบบทวินามเช่นนี้

1 - binomcdf(n = 50, p = .5, x = 29) = 0.1013

ฉันเชื่อว่าเกณฑ์สำหรับการแจกแจงทวินามเป็นที่พึงพอใจ: แต่ละเหตุการณ์มีความเป็นอิสระมีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ (หัวกับก้อย) ความน่าจะเป็นคงที่สำหรับคำถาม (0.5) และจำนวนการทดลองถูกกำหนดไว้ที่ 50 เห็นได้ชัดว่าทั้งสองวิธีให้คำตอบที่ต่างกันและการจำลองสนับสนุนคำตอบของฉัน (อย่างน้อยสองสามครั้งที่ฉันวิ่งมันชัดเจนว่าฉันไม่สามารถรับประกันได้ว่าคุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกัน)

ครูของฉันผิดที่สมมติว่าเส้นโค้งการแจกแจงแบบปกติจะเป็นวิธีที่ถูกต้องในการทำปัญหานี้ (ไม่ว่าจะเป็นการกล่าวว่าการแจกแจงเป็นแบบปกติ แต่n * pและn * (1-p)นั้นทั้งคู่มากกว่า 10) หรือฉันเข้าใจผิดบางอย่างเกี่ยวกับการแจกแจงทวินาม?

self-study normal-distribution binomial

— waiwai933
แหล่งที่มา

5

คนที่มีประสบการณ์ในการใช้การประมาณแบบปกติกับ Binomial จะดำเนินการแตกต่างกันเล็กน้อย: พวกเขาจะใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง (ปกติ) เช่นเดียวกับใน1 - pnorm((30-0.5)/50, mean=0.5, sd=sqrt(0.5*(1-0.5)/50))(นี่คือการแสดงออก R) ซึ่งมีค่า 0.1015 ในข้อตกลงอย่างใกล้ชิดกับ Binomial cdf .

— whuber

10

นี่คือภาพประกอบของคำตอบของเสียงหวือและเสียงบนพื้น

การแก้ไขความต่อเนื่อง

ในสีแดงการกระจายตัวแบบทวินามในสีดำความหนาแน่นของการประมาณปกติและสีน้ำเงินพื้นผิวที่สอดคล้องกับสำหรับ . $\mathcal Bin(50,0.5)$ $\mathcal N(25, 12.5)$ $\mathbb P(Y > 29.5)$ $Y \sim \mathcal N(25, 12.5)$

$\mathbb P(X=k)$ $X\sim\mathcal Bin(50,0.5)$ $\mathbb P\left( k -{1\over 2} < Y < k + {1\over 2}\right)$ $\mathbb P(X \ge 30)$ $\mathbb P(Y>29.5)$

P (Y > 29.5) ≃ 0.1015459,

$\mathbb P(Y>29.5) \simeq 0.1015459,$ 1-pnorm(29.5,25,sqrt(12.5))

P (X \geq 30) ≃ 0.1013194 :

$\mathbb P(X \ge 30) \simeq 0.1013194:$

$\mathbb P(X=22)$

\begin{aligned} P (X = 22) & = (\binom{50}{22}) {0.5}^{22} \cdot {0.5}^{28} ≃ 0.07882567, \\ P (21.5 < Y < 22.5) & ≃ 0.2397501 - 0.1610994 ≃ 0.07865066. \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb P(X=22) &= {50 \choose 22} 0.5^{22} \cdot 0.5^{28} \simeq 0.07882567, \\ \mathbb P(21.5 < Y < 22.5) & \simeq 0.2397501 - 0.1610994 \simeq 0.07865066.\end{align*}$

— เอลวิส
แหล่งที่มา

4

การกระจายปกติให้ประมาณใกล้ชิดกับทวินามถ้าคุณใช้การแก้ไขต่อเนื่อง ใช้สิ่งนี้เป็นตัวอย่างของคุณฉันได้ 0.1015 เนื่องจากเป็นการบ้านฉันจะปล่อยให้คุณกรอกรายละเอียด

— OneStop
แหล่งที่มา

4

พิจารณาสิ่งนี้. ในการแจกแจงทวินามแบบไม่ต่อเนื่องคุณมีความน่าจะเป็นจริงสำหรับตัวเลขแต่ละตัว ในภาวะปกติอย่างต่อเนื่องที่ไม่ใช่กรณีนี้คุณต้องมีช่วงของค่า ดังนั้น ... หากคุณประมาณความน่าจะเป็นของค่าแต่ละตัวสมมุติว่า X จากทวินามด้วยค่าปกติคุณจะทำอย่างไร ดูฮิสโทแกรมความน่าจะเป็นของการแจกแจงทวินามโดยมีเส้นโค้งปกติวางอยู่ คุณจะต้องเลือกจาก X ± 0.5 เพื่อจับภาพสิ่งที่คล้ายกับความน่าจะเป็นแบบทวินามของ X ด้วยการประมาณปกติ

ตอนนี้ขยายไปที่เมื่อคุณเลือกส่วนท้ายของการกระจาย เมื่อคุณใช้วิธีทวินามคุณกำลังเลือกความน่าจะเป็นของค่าทั้งหมด (30 ในกรณีของคุณ) บวกกับทุกอย่างที่สูงขึ้น ดังนั้นเมื่อคุณทำสิ่งต่อเนื่องคุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณจับภาพนั้นและเลือก 0.5 น้อยลงเช่นกันดังนั้นการตัดการกระจายอย่างต่อเนื่องคือ 29.5

— จอห์น
แหล่งที่มา

3

ที่จริงแล้วคำถามแสดงให้เห็นถึงความเข้าใจอย่างถ่องแท้ของปัญหาและดูเหมือนจะไม่ได้มองหาคำตอบสำหรับคำถามการบ้านประจำ แม้ว่าจะเป็นการติดแท็กการบ้านให้ลองทำข้อยกเว้นที่นี่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสนทนาที่ดีในการใช้การแจกแจงแบบปกติเพื่อการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องโดยประมาณ (เช่น Binomials และ Poissons ที่มี N ขนาดใหญ่) จะเหมาะสมและยินดีมากที่สุดที่นี่

— whuber