ช่วงความเชื่อมั่นรอบอัตราส่วนของสองสัดส่วน

ฉันมีสองสัดส่วน (เช่นอัตราการคลิกผ่าน (CTR) บนลิงก์ในรูปแบบการควบคุมและ CTR บนลิงก์ในรูปแบบการทดลอง) และฉันต้องการคำนวณช่วงความมั่นใจ 95% รอบอัตราส่วนของสัดส่วนเหล่านี้

ฉันจะทำสิ่งนี้ได้อย่างไร ฉันรู้ว่าฉันสามารถใช้วิธีเดลต้าเพื่อคำนวณความแปรปรวนของอัตราส่วนนี้ได้ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าต้องทำอะไรนอกจากนั้น ฉันควรใช้อะไรเป็นจุดกึ่งกลางของช่วงความมั่นใจ (อัตราส่วนที่สังเกตได้ของฉันหรืออัตราส่วนที่คาดหวังซึ่งแตกต่างกัน) และควรเบี่ยงเบนมาตรฐานรอบอัตราส่วนนี้เท่าไหร่

ฉันควรใช้ความแปรปรวนของวิธีเดลต้าเลยหรือไม่ (ฉันไม่สนใจความแปรปรวนจริงๆเพียงแค่ช่วงความมั่นใจ) ฉันควรใช้ทฤษฎีบทของ Fiellerโดยใช้กรณีที่ 1 (เนื่องจากฉันทำสัดส่วนฉันคิดว่าฉันตอบสนองความต้องการกระจายทั่วไป) ฉันควรคำนวณตัวอย่าง bootstrap หรือไม่

confidence-interval

— raegtin
แหล่งที่มา

คุณมีปัญหาพื้นฐาน: สัดส่วนส่วนใหญ่มีโอกาสบวกที่จะเป็นศูนย์ดังนั้นอัตราส่วน (ของสัดส่วนอิสระ) จึงมีโอกาสที่จะไม่ได้กำหนด สิ่งนี้สามารถนำเสนอความยากลำบากอย่างรุนแรงสำหรับวิธีการโดยประมาณ (เช่นวิธีเดลต้า) และแสดงให้เห็นว่าการประมาณปกติควรจะดูมากขึ้น sceptically และทดสอบอย่างเข้มงวดมากขึ้นกว่าปกติ

— whuber

Joseph L. Fleiss, Bruce Levin, Myunghee Cho Paik: วิธีการทางสถิติสำหรับอัตราและสัดส่วน [1] กล่าวถึงความเสี่ยงสัมพัทธ์ซึ่งเป็นความฉลาดของสองอัตรา ฉันไม่มีหนังสือดังนั้นฉันสามารถไปตามดัชนีหัวเรื่องและสารบัญเท่านั้น แต่ห้องสมุดของคุณอาจมี [1]: onlinelibrary.wiley.com/book/10.1002/0471445428

— cbeleites รองรับโมนิก้า

แน่นอน bootstrap เปอร์เซ็นไทล์จะเป็นวิธีที่ดีที่สุด?

— ปีเตอร์เอลลิส

วิธีมาตรฐานในการทำเช่นนี้ในระบาดวิทยา (โดยปกติอัตราส่วนของสัดส่วนจะเรียกว่าอัตราส่วนความเสี่ยง ) คือการบันทึกอัตราการแปลงครั้งแรกคำนวณช่วงความเชื่อมั่นในระดับการบันทึกโดยใช้วิธีการเดลต้าและสมมติว่าการแจกแจงแบบปกติ จากนั้นเปลี่ยนกลับ วิธีนี้ใช้งานได้ดีกว่าในขนาดตัวอย่างระดับปานกลางกว่าการใช้วิธีเดลต้าในสเกลที่ไม่ถูกแปลงแม้ว่ามันจะยังทำงานได้ไม่ดีถ้าจำนวนของเหตุการณ์ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งมีขนาดเล็กมากและล้มเหลวอย่างสมบูรณ์หากไม่มีเหตุการณ์ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง

หากมีและสำเร็จในทั้งสองกลุ่มจากผลรวมและการประมาณการที่ชัดเจนสำหรับอัตราส่วนของสัดส่วนคือ $x_1$ $x_2$ $n_1$ $n_2$

\hat{θ} = \frac{x_{1} / n_{1}}{x_{2} / n_{2}} .

$\hat\theta = \frac{x_1/n_1}{x_2/n_2}.$

การใช้วิธีการเดลต้าและสมมติว่าทั้งสองกลุ่มมีความเป็นอิสระและประสบความสำเร็จมีการกระจายแบบทวินามคุณสามารถแสดงให้เห็นว่า เอารากของนี้จะช่วยให้ข้อผิดพลาดมาตรฐาน\) สมมติว่าโดยปกติจะถูกกระจายช่วงความมั่นใจ 95% สำหรับคือ การยกกำลังสิ่งนี้จะให้ช่วงความมั่นใจ 95% สำหรับอัตราส่วนของสัดส่วนเป็น

Var (\log \hat{θ}) = 1 / x_{1} - 1 / n_{1} + 1 / x_{2} - 1 / n_{2} .

$\operatorname{Var}(\log \hat\theta) = 1/x_1 - 1/n_1 +1/x_2 - 1/n_2.$

SE (\log \hat{θ})

$\operatorname{SE}(\log \hat\theta)$

\log \hat{θ}

$\log \hat\theta$

\log θ

$\log \theta$

\log \hat{θ} \pm 1.96 SE (\log \hat{θ}) .

$\log \hat\theta \pm 1.96 \operatorname{SE}(\log \hat\theta).$

θ

$\theta$

\hat{θ} \exp [\pm 1.96 SE (\log \hat{θ})] .

$\hat\theta \exp\left[ \pm1.96 \operatorname{SE}(\log\hat\theta)\right].$

— OneStop
แหล่งที่มา

วิธีนี้ใช้งานได้ดีหากและมีขนาดใหญ่ (หลายร้อยหรือมากกว่า) และและไม่เล็กเกินไป (cหรือมากกว่า) ไม่เช่นนั้นช่วงเวลานั้นจะใหญ่เกินไป นอกจากนี้ยังต้องการวิธีการรักษากรณีบางและx_iปรากฎว่าปัญหาทั้งสองสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเหมือนการแก้ไขอย่างต่อเนื่อง: เพิ่มเข้ากับทั้ง , เพิ่มเข้ากับทั้งสองและดำเนินการต่อ จากนั้น CI นี้เป็นสิ่งที่ดีอย่างน่าประหลาดใจหากทั้งสองนั้นมีหรือมากกว่าโดยไม่คำนึงถึง

n_{1}

$n_1$

n_{2}

$n_2$

n_{1} p_{1}

$n_1 p_1$

n_{2} p_{2}

$n_2 p_2$

10

$10$

x_{2} = 0

$x_2=0$

x_{i} = n_{i}

$x_i=n_i$

1 / 2

$1/2$

x_{i}

$x_i$

1

$1$

n_{i}

$n_i$

p_{i} n_{i}

$p_i n_i$

4

$4$ ขนาดของn_i

n_{i}

$n_i$

— whuber

@whuber: "วิธีต่อเนื่องแก้ไขเหมือน" - คือการใช้ 1/2 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเคล็ดลับทั่วไปหรือไม่ (ตรงข้ามกับ pseudocount ขนาดเล็กอื่น ๆ ) วิธีที่คุณใช้ถ้อยคำทำให้เสียง 1/2 มีหลักการในทางใดทางหนึ่ง =) - ใช่ไหม?

— raegtin

คำถามที่น่าสนใจ raegtin ในกรณีนี้ไม่ใช่: ฉันทดลองเพื่อค้นหาค่าเริ่มต้นที่เหมาะสม (นั่นคือความหมายของ "ปรากฎว่า") 1/2 ไม่ถูกต้องในระดับสากล; สำหรับการรวมกันของและค่าอื่น ๆ จะทำงานได้ดีขึ้นเล็กน้อย การศึกษาเชิงทฤษฎีของการกระจายตัวประมาณอาจแนะนำให้ค่าเริ่มต้นที่แตกต่างกัน

x_{i}

$x_i$

n_{i}

$n_i$

— whuber

เหตุใดข้อผิดพลาดมาตรฐานรากที่สองของความแปรปรวนในกรณีนี้ไม่ใช่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

— Mikko

@onestop สิ่งนี้นำมาใช้ในแพ็คเกจ R หรือไม่?

— Bogdan Vasilescu