ผลรวมของตัวแปรสุ่ม Cauchy อิสระจำนวนมากปกติหรือไม่

ตามทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระขนาดใหญ่มีแนวโน้มที่จะเป็นปกติ ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่าผลรวมของตัวแปรสุ่ม Cauchy อิสระจำนวนมากนั้นเป็นปกติหรือไม่

เลขที่

คุณไม่มีสมมติฐานข้อหนึ่งของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง:

... ตัวแปรสุ่มที่มีผลต่าง จำกัด ...

การกระจาย Cauchy ไม่มีความแปรปรวนแน่นอน

การแจกแจง Cauchy เป็นตัวอย่างของการแจกแจงที่ไม่มีค่าเฉลี่ยความแปรปรวนหรือช่วงเวลาที่สูงขึ้น

ในความเป็นจริง

ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มแบบอิสระและแบบกระจายซึ่งแต่ละตัวมีการแจกแจงแบบโคชีมาตรฐานแล้วค่าเฉลี่ยตัวอย่างมีการแจกแจงแบบมาตรฐานแบบโคชีเดียวกัน$X_1, \ldots, X_n$$\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

ดังนั้นสถานการณ์ในคำถามของคุณค่อนข้างชัดเจนคุณแค่กลับมากระจาย Cauchy เดียวกัน

นี่คือแนวคิดของการกระจายตัวที่มั่นคงใช่ไหม

ใช่. A (อย่างเคร่งครัด) การแจกแจงแบบเสถียร (หรือตัวแปรสุ่ม) คือการรวมกันเชิงเส้นใด ๆของสำเนา iid สองชุดจะถูกกระจายตามสัดส่วนกับการแจกแจงดั้งเดิม การกระจาย Cauchy นั้นแน่นอนนิ่ง$a X_1 + b X_2$

(*) ใบเสนอราคาจากวิกิพีเดีย