ทำไมการแก้ไขความต่อเนื่อง (เช่นการประมาณค่าปกติของการแจกแจงทวินาม) ใช้งานได้?

ฉันต้องการเข้าใจวิธีการแก้ไขความต่อเนื่องของการแจกแจงทวินามสำหรับการประมาณแบบปกติ

วิธีใดที่ใช้ในการตัดสินใจว่าเราควรเพิ่ม 1/2 (เพราะเหตุใดจึงไม่ใช่หมายเลขอื่น) คำอธิบายใด ๆ (หรือลิงก์ไปยังการอ่านที่แนะนำนอกเหนือจากนี้จะได้รับการชื่นชม)

1. อันที่จริงแล้วมันไม่ได้ "ทำงาน" เสมอไป (ในแง่ของการปรับปรุงการประมาณค่าของ c นามทวินามโดยปกติที่ใด ๆ$x$) หากทวินาม$p$เป็น 0.5 ฉันคิดว่ามันช่วยได้เสมอยกเว้นบางทีสำหรับหางที่มากที่สุด ถ้า$p$อยู่ไม่ไกลจาก 0.5 สำหรับขนาดใหญ่พอสมควร$n$มักใช้งานได้ดีมากยกเว้นที่หางไกล แต่ถ้า$p$อยู่ใกล้ 0 หรือ 1 อาจไม่ช่วยเลย (ดูที่ 6 ด้านล่าง)

2. สิ่งหนึ่งที่ต้องจำไว้ (แม้จะมีภาพประกอบเกือบตลอดเวลาที่เกี่ยวข้องกับ pmfs และ pdf) คือสิ่งที่เราพยายามประมาณคือ cdf มันจะมีประโยชน์ในการไตร่ตรองสิ่งที่เกิดขึ้นกับ cdf ของทวินามและปกติประมาณ (เช่นนี่คือ$n=20,p=0.5$ ):

   

   ในขีด จำกัด cdf ของทวินามมาตรฐานจะไปสู่มาตรฐานปกติ (โปรดทราบว่าการกำหนดมาตรฐานจะส่งผลกระทบต่อระดับบนแกน x แต่ไม่ใช่แกน y) ตามทางที่จะมีขนาดใหญ่มากขึ้น$n$กระโดด CDF ทวินามมีแนวโน้มที่เท่าเทียมกันมากขึ้นคร่อม CDF ปกติ

   ลองซูมเข้าไปดูที่ตัวอย่างง่ายๆข้างต้น:

   

   โปรดสังเกตว่าเนื่องจากการประมาณค่าปกติผ่านไปใกล้กับกลางของการข้ามแนวดิ่ง * ในขณะที่การ จำกัด cdf ปกติจะอยู่ภายในเชิงเส้นตรงและ (ตามความก้าวหน้าของทวินาม cdf ที่ด้านบนของการกระโดดแต่ละครั้ง); เป็นผลให้ cdf มีแนวโน้มที่จะข้ามขั้นตอนในแนวนอนใกล้ . หากคุณต้องการประมาณค่าของทวินาม cdf,F($x+\frac{_1}{^2}$ที่จำนวนเต็ม x , cdf ปกติถึงความสูงนั้นใกล้กับ x + $F(x)$$x$ .$x+\frac{_1}{^2}$

   * ถ้าเราใช้ Berry-Esseen กับตัวแปร Bernoulli ที่แก้ไขค่าเฉลี่ยขอบเขต Berry-Esseen จะอนุญาตให้มีห้องเลื้อยเล็กน้อยเมื่ออยู่ใกล้$p$และ$\frac12$$x$ใกล้ - cdf ปกติจะต้องผ่านใกล้กลางของการกระโดดที่มีเหตุผลเพราะมิฉะนั้นความแตกต่างที่แท้จริงใน cdfs จะเกิน Berry-Essen ที่ดีที่สุดที่ผูกไว้ที่ด้านหนึ่งหรืออีกด้านหนึ่ง สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับระยะห่างจากx + $\mu$ cdf ปกติสามารถข้ามส่วนแนวนอนของฟังก์ชั่นขั้นตอนของทวินาม cdf$x+\frac{_1}{^2}$

3. ขยายแรงจูงใจที่ใน 1 ลองพิจารณาว่าเราจะใช้การประมาณแบบปกติกับ cd ทวินามอลเพื่อหาได้อย่างไร เช่นn = 20 , p = 0.5 , k = 9 (ดูแผนภาพที่สองด้านบน) ดังนั้นปกติของเราที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากันและ sd คือN ( 10 , ( $P(X=k)$$n=20, p=0.5, k=9$) โปรดทราบว่าเราจะประมาณการกระโดดใน cdf ที่ 9 โดยการเปลี่ยนแปลงใน cdf ปกติระหว่างประมาณ 8.5 และ 9.5$N(10,(\sqrt{5})^2)$

4. $p(x)$$x$$p(x)$

   

   $x-\frac12$$x+\frac12$$\frac12$

   เราสามารถกระตุ้นให้วิธีการนี้เกี่ยวกับพีชคณิตโดยใช้การสืบทอด [ตามแนวของ De Moivre - ดูที่นี่หรือที่นี่เป็นต้น] เพื่อรับการประมาณแบบปกติ (แม้ว่ามันจะสามารถทำได้โดยตรงมากกว่าแนวทางของ De Moivre)

   สิ่งนี้เป็นสิ่งสำคัญในการดำเนินการผ่านการประมาณหลายอย่างรวมถึงการใช้การประมาณของ Stirling บน ${n \choose x}$$\log(1+x)\approx x-x^2/2$

   $$P(X=x)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}\exp(-\frac{(x-np)^2}{2np(1-p)})$$

   $\mu=np$$\sigma^2 = np(1-p)$$x$$x$

   $Y\sim N(np,np(1-p))$$F(y+\frac12)-F(y-\frac12) = \int_{y-\frac12}^{y+\frac12}f_Y(u)du\approx f_Y(y)$$f_Y(x)\approx P(X=x)$$P(X=x)\approx F(x+\frac12)-F(x-\frac12)$

   [การประมาณประเภท "จุดกึ่งกลาง" ที่คล้ายกันสามารถนำมาใช้เพื่อกระตุ้นการประมาณค่า PMFS แบบต่อเนื่องอื่น ๆ ด้วยความหนาแน่นโดยใช้การแก้ไขแบบต่อเนื่อง แต่เราต้องระวังให้ใส่ใจด้วยเสมอ

5. บันทึกทางประวัติศาสตร์: การแก้ไขความต่อเนื่องดูเหมือนว่าจะเกิดขึ้นกับออกัสตัสเดอมอร์แกนในปี 1838 เพื่อเป็นการปรับปรุงการประมาณของ De Moivre ดูตัวอย่างเช่น Hald (2007) [1] จากคำอธิบายของ Hald เหตุผลของเขาอยู่ในแนวของรายการ 4 ข้างต้น (กล่าวคือในแง่ของการพยายามประมาณ PMF โดยแทนที่ความน่าจะเป็นที่ขัดขวางด้วย "บล็อก" ของความกว้าง 1 อยู่ที่ค่า x)

6. ภาพประกอบของสถานการณ์ที่การแก้ไขอย่างต่อเนื่องไม่ได้ช่วย:

   

   $X$$Y$$F_X(x)\approx F_Y(x+\frac12)$$p(x) \approx F_Y(x+\frac12)-F_Y(x-\frac12)$$F_X(x)\approx F_Y(x)$$p(x) \approx F_Y(x)-F_Y(x-1)$

   [1]: Hald, Anders (2007),
   "ประวัติความเป็นมาของการอนุมานเชิงสถิติจากเบอร์นูลลีถึงฟิชเชอร์, 1713-1935",
   แหล่งที่มาและการศึกษาในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์กายภาพ
   Springer-Verlag New York

ฉันเชื่อว่าปัจจัยที่เกิดขึ้นจากความจริงที่ว่าเรากำลังเปรียบเทียบการกระจายอย่างต่อเนื่องกับการแยก เราจำเป็นต้องแปลความหมายของแต่ละค่าที่ไม่ต่อเนื่องในการแจกแจงแบบต่อเนื่อง เราสามารถเลือกค่าอื่นได้อย่างไรก็ตามนี่จะไม่สมดุลกับจำนวนเต็มที่กำหนด (เช่นคุณจะให้น้ำหนักความน่าจะเป็นที่ 6 เพิ่มขึ้นเป็น 7 มากกว่า 5)

ฉันพบลิงค์ที่มีประโยชน์ที่นี่: ลิงค์