CDFs เป็นพื้นฐานมากกว่า PDF หรือไม่?

สถิติของฉันโดยทั่วไปกล่าวว่าหากได้รับหนึ่งในสามต่อไปนี้คุณสามารถค้นหาอีกสอง:

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม
ฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลา
ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

แต่อาจารย์เศรษฐศาสตร์ของฉันกล่าวว่า CDFs เป็นพื้นฐานมากกว่า PDF เพราะมีตัวอย่างที่คุณสามารถมี CDF แต่ PDF ไม่ได้ถูกกำหนดไว้

CDFs เป็นพื้นฐานมากกว่า PDF หรือไม่? ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่า PDF หรือ MGF สามารถมาจาก CDF ได้หรือไม่

— Stan Shunpike
แหล่งที่มา

นี่เป็นการประกวดพื้นฐานหรือไม่? เรามีคณะกรรมการตัดสินคนดังหรือไม่? เหล่านี้ทั้งหมดสามแนวคิดสามารถนำมาใช้ในการกำหนดมาตรการในพื้นที่

อย่างไรก็ตามสำหรับการให้ CDF, MGF และ PDF อาจจะไม่อยู่ในรูปแบบ PDF ถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ของ CDF และ MGF ถูกกำหนดให้เป็น

และความต้องการที่สำคัญได้อยู่ อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่าแนวคิดใด ๆ เหล่านี้มีพื้นฐานน้อยกว่า Fundamental เป็นคำคุณศัพท์ที่ดีซึ่งไม่มีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ มันเป็นคำพ้องความสำคัญ

R^{d}

$\mathbb{R}^d$

\int_{R} \exp (t x) d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}\exp(tx)dF(x)$

— mpiktas

@mpiktas: การแจกแจงความน่าจะเป็นทุกครั้งบน (เซตย่อยของ)

มี CDF และมันกำหนดการกระจายแบบไม่ซ้ำกัน การแจกแจงความน่าจะไม่ใช่ทั้งหมดมี PDF หรือ MGF อย่างไรก็ตาม (แต่ทั้งหมดมีฟังก์ชั่นพิเศษ )

R^{n}

$\mathbb R^n$

— Ilmari Karonen

@mpiktas คุณอาจทำมันด้วย

บนR

จากนั้น

ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างไรก็ตามมันชัดเจนสำหรับฉันว่าทำไมศาสตราจารย์ใช้นิพจน์ "พื้นฐานมากขึ้น" คำคุณศัพท์อาจไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดไว้อย่างดี ..) English เกินไปทุกรูปแบบไฟล์ PDF ที่เรารู้มีพื้นฐาน CDF ที่นี่ "ต้นแบบ" มีความสัมพันธ์ที่ดีกับ "พื้นฐาน" ตรงข้ามไม่เป็นความจริง..

A = {R, \emptyset}

$\mathcal A=\{\mathbb R,\varnothing\}$

R

$\mathbb R$

P ((- \infty, x])

$P((-\infty,x])$

— drhab

@drhab, โดยธรรมชาติฉันกำลังพูดถึงอนุพันธ์ของ Radon-Nikodym :) ฉันเข้าใจอย่างสมบูรณ์แบบถึงสิ่งที่อาจารย์มีอยู่ในใจ แต่ในความคิดของฉันมันเป็นอันตรายที่จะใช้การแสดงออกเช่นนี้กับนักเรียนเพราะแทนที่จะพยายามทำความเข้าใจความแตกต่างระหว่าง แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่พวกเขาพยายามจัดอันดับพวกเขาตามความรู้พื้นฐานซึ่งเป็นพื้นฐานที่ผิด ปุนตั้งใจ

— mpiktas

@mpiktas: แน่นอนไม่มีคำจำกัดความที่แน่นอนของ "พื้นฐาน" แต่มีจุดกึ่งกลางขนาดใหญ่ระหว่าง“ กำหนดอย่างเข้มงวด” และ“ ไร้ความหมายโดยสิ้นเชิง” ในวิชาคณิตศาสตร์ของเราเองแน่นอนว่าทุกอย่างต้องจบอย่างเข้มงวดดังนั้นเราจึงคุ้นเคยกับการตบสิ่งที่ไม่ใช่ แต่เมื่อเราพูดคุยและคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เรามีความคิดเชิงทัศนะที่มีความหมายเช่น "พื้นฐาน", "ทั่วไป" และอื่น ๆ เช่นกันเหมือนกับทุกคน และก็ไม่เป็นไร

— PLL

คำตอบ:

การแจกแจงความน่าจะเป็นทุกครั้งบน (เซตย่อยของ) มีฟังก์ชันการแจกแจงสะสมและจะกำหนดการแจกแจงแบบไม่ซ้ำกัน ดังนั้นในแง่นี้ CDF จึงเป็นพื้นฐานในการกระจายตัว $\mathbb R^n$

หนาแน่นเป็นฟังก์ชันแต่มีอยู่เฉพาะสำหรับ(อย่าง) แจกแจงความน่าจะต่อเนื่อง ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการแจกแจงที่ไม่มี PDF คือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องใด ๆเช่นการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่ใช้ค่าจำนวนเต็มเท่านั้น

แน่นอนว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบแยกนั้นสามารถจำแนกได้โดยฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบมวลแต่ยังมีการแจกแจงที่ไม่มีทั้งแบบ PDF และ PMF เช่นการผสมแบบต่อเนื่องและการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง:

^{(ไดอะแกรมถูกขโมยอย่างไร้จุดหมายจากคำตอบของ Glen_bสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้อง)}

มีการแจกแจงความน่าจะเป็นเอกพจน์เช่นการแจกแจงคันทอร์ซึ่งไม่สามารถอธิบายได้แม้จะเป็นการรวมกันของ PDF และ PMF การแจกแจงดังกล่าวยังคงมี CDF ที่นิยามไว้อย่างดี ตัวอย่างเช่นนี่คือ CDF ของการกระจายคันทอร์ซึ่งบางครั้งเรียกว่า "บันไดปีศาจ":

^{( ภาพจากWikimedia Commonsโดยผู้ใช้TheonและAmirkiใช้ภายใต้ใบอนุญาตCC-By-SA 3.0 )}

CDF หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันคันทอร์นั้นต่อเนื่อง แต่ไม่ต่อเนื่องอย่างแน่นอน ในความเป็นจริงมันคงที่ทุกที่ยกเว้นชุดคันทอร์ของมาตรการ Lebesgue ศูนย์ แต่ยังคงมีหลายจุดมากมาย ดังนั้นมวลความน่าจะเป็นทั้งหมดของการแจกแจงคันทอร์จึงเน้นไปที่เซตย่อยขนาดเล็กที่หายไปของเส้นจำนวนจริง แต่ทุกจุดในเซตยังคงมีความน่าจะเป็นศูนย์

นอกจากนี้ยังมีการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ไม่ได้มีฟังก์ชั่นช่วงเวลาที่ก่อให้เกิด อาจเป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดคือการกระจาย Cauchy , การกระจาย ไขมันหางซึ่งไม่มีช่วงเวลาที่ดีในการสั่งซื้อ 1 หรือสูงกว่า (ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีความหมายหรือความแปรปรวนที่กำหนดไว้อย่างดี!)

ทั้งหมดแจกแจงความน่าจะเกี่ยวกับทำ แต่มี (อาจจำนวนเชิงซ้อน) ลักษณะการทำงาน ) ซึ่งมีความหมายที่แตกต่างจากที่ MGF โดยเฉพาะคูณกับที่หน่วยจินตภาพ ดังนั้นฟังก์ชั่นลักษณะอาจถือได้ว่าเป็นพื้นฐานเป็น CDF $\mathbb R^n$

— Ilmari Karonen
แหล่งที่มา

คุณบอกว่าทุกการแจกแจงมี CDF แต่ไม่ใช่ทุกอย่างที่มี PDF แต่จริงๆแล้วมีการแจกแจงที่มี PDF และไม่มี CDFs แบบปิดเช่นหลายตัวแปรปกติ

— ทิม

@Tim: จริง แต่มีเพียงคุณสมบัติ "ปิดแบบฟอร์ม" เท่านั้น CDF ยังคงมีอยู่แม้ว่าเราจะไม่สามารถเขียนในรูปแบบปิด และไม่ว่าในกรณีใดคำจำกัดความของ " การแสดงออกในรูปแบบปิด " นั้นมีความคลุมเครืออย่างมาก โดยคำจำกัดความบางอย่างแม้แต่การแจกแจงแบบปกติแบบไม่มีตัวแปรไม่มี CDF รูปแบบปิด แต่ถ้าคุณพิจารณาว่าฟังก์ชันข้อผิดพลาดเป็นแบบปิดก็จะเกิดขึ้น

— Ilmari Karonen

@Tim ไม่ใช่ตัวอย่างเคาน์เตอร์ เป็นคุณสมบัติที่คุณเลือกว่าเป็นสิ่งสำคัญสำหรับคุณ สำหรับฉันแล้วคุณสมบัติ "มีอยู่" มีความสำคัญมากกว่า "มีแบบฟอร์มปิด" ยิ่งกว่านั้น "มีอยู่เสมอ" กับ "บางครั้งอาจไม่มีรูปแบบปิดเหมือนฟังก์ชันใด ๆ "

— Ark-kun

สิ่งที่สำคัญกว่าชุดคันทอร์นั้นมี "หลาย ๆ จุดไม่สิ้นสุด" คือมันมีหลายจุดนับไม่ถ้วน มันมี cardinality เดียวกันคือช่วง

ดังนั้นมันจึงเป็นเซตย่อยที่ไม่สามารถนับได้ของช่วงเวลาที่มีการวัดเป็นศูนย์ (Lebesgue) การวัดที่คุณอธิบายนั้นน่าสนใจเช่นเดียวกันว่ามันมีค่าเป็นศูนย์สำหรับเซตย่อยที่นับได้ของเซตคันทอร์และเซตย่อยที่ไม่นับจำนวน (บางส่วน) ที่ไม่ใช่ศูนย์ ...

[0, 1] \subset R

$[0,1] \subset \Bbb{R}$

— Eric Towers

@ Ark-kun ฉันเล่นเป็นผู้สนับสนุนปีศาจที่นี่เนื่องจากมีหลายกรณีที่ PDF เป็นสิ่งที่ "พร้อมใช้งานโดยตรง" มากกว่า CDF แล้ว ฉันชอบคำตอบนี้ (+1) แต่ IMHO นี่เป็นสิ่งที่อาจกล่าวได้เช่นกัน

— ทิม

ฉันเชื่อว่าอาจารย์เศรษฐศาสตร์ของคุณกำลังคิดอะไรบางอย่างในบรรทัดต่อไปนี้

$F$ $[0, 1]$

F (x) = \frac{1}{2} x สำหรับ x < \frac{1}{2}

$F(x) = \frac{1}{2}x \ \text{for} \ x < \frac{1}{2}$

F (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} สำหรับ x \geq \frac{1}{2}

$F(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \ \text{for} \ x \geq \frac{1}{2}$

$[0, 1]$

P ({\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}

$P\left(\left\{\frac{1}{2}\right\}\right) = \frac{1}{2}$

$f$

โดยคำจำกัดความของ PDF เราต้องมี

\int_{0}^{x} ฉ (เสื้อ) d เสื้อ = F (x) - F (0) = \frac{1}{4} x

$\int_0^x f(t) dt = F(x) - F(0) = \frac{1}{4}x$

$0 < x < \frac{1}{2}$

ฉ (x) = \frac{1}{4} สำหรับ x < \frac{1}{2}

$f(x) = \frac{1}{4} \ \text{for} \ x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

ฉ (x) = \frac{1}{4} สำหรับ x > \frac{1}{2}

$f(x) = \frac{1}{4} \ \text{for} \ x > \frac{1}{2}$

$f$ $f\left(\frac{1}{2}\right)$ $f\left(\frac{1}{2}\right)$

P ({\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}

$P\left(\left\{\frac{1}{2}\right\}\right) = \frac{1}{2}$

เราต้องการ

\int_{\frac{1}{2} - ε}^{\frac{1}{2} + ε} ฉ (เสื้อ) d เสื้อ > \frac{1}{2}

$\int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} f(t) dt > \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

\int_{\frac{1}{2} - ε}^{\frac{1}{2} + ε} ฉ (เสื้อ) d เสื้อ = \int_{\frac{1}{2} - ε}^{\frac{1}{2} + ε} \frac{1}{4} d เสื้อ = \frac{1}{2} ε

$\int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} f(t) dt = \int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} \frac{1}{4} dt = \frac{1}{2} \epsilon$

$f$

คุณสามารถกู้คืนจิตวิญญาณของรูปแบบไฟล์ PDF แต่คุณต้องใช้วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้นทั้งมาตรการหรือการจัดจำหน่าย

— Matthew Drury
แหล่งที่มา

\frac{1}{2} δ (x - \frac{1}{2})

$\frac{1}{2} \delta \left(x-\frac{1}{2}\right)$

δ (x)

$\delta(x)$

x = 0

$x=0$

\int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x) d x = 1

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \,\mathrm{d}x = 1$

L^{1}

$L^1$

@IllnotexistIdonotexist สิ่งที่คนพูดว่าเป็นสิ่งที่ฉันพูดเป็นนัยในบรรทัดสุดท้าย ฉันใช้คำว่า "การกระจาย"

— Matthew Drury

1 / 2

$1/2$

1 / 2

$1/2$

Ilmari ให้คำตอบที่ดีจากมุมมองทางทฤษฎี อย่างไรก็ตามหนึ่งอาจถามว่าวัตถุประสงค์ความหนาแน่น (PDF) และฟังก์ชั่นการกระจาย (PDF) ให้บริการสำหรับการคำนวณในทางปฏิบัติ สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ว่าสถานการณ์ใดมีประโยชน์โดยตรงมากกว่าสถานการณ์อื่น

$\mathbb{R}$ $(-\infty,x]$ $-$ $-$

อย่างไรก็ตามความหนาแน่นเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับสถิติเนื่องจากมีการกำหนดความน่าจะเป็นในแง่ของความหนาแน่น ดังนั้นหากเราต้องการคำนวณการประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดเราต้องการความหนาแน่นโดยตรง

หากเราหันไปเปรียบเทียบการกระจายเชิงประจักษ์และการแจกแจงเชิงทฤษฎีทั้งคู่อาจมีประโยชน์ แต่วิธีการเช่น pp- และ qq-plots ตามฟังก์ชันการกระจายมักเป็นที่ต้องการ

$\mathbb{R}^d$ $d \geq 2$

— NRH
แหล่งที่มา