ตัวประมาณค่าแบบเป็นกลางของพารามิเตอร์ปัวซอง

จำนวนอุบัติเหตุต่อวันคือตัวแปรแบบสุ่มของปัวซองด้วยพารามิเตอร์ใน 10 วันที่เลือกแบบสุ่มจำนวนการเกิดอุบัติเหตุถูกสังเกตว่าเป็น 1,0,1,1,2,0,2,0,2,0,0,1 อะไรจะเกิดขึ้น เป็นผู้ประมาณค่าที่เป็นกลางของหรือไม่ $\lambda$ $e^{\lambda}$

ผมพยายามที่จะพยายามในลักษณะนี้: เรารู้ว่าแต่แลมบ์ดา} ถ้าเช่นนั้นจะใช้ตัวประมาณค่าที่เป็นกลาง $E(\bar{x})=\lambda=0.8$ $E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

self-study estimation poisson-distribution

— Priyanka
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ถ้าดังนั้นสำหรับ0 มันยากที่จะคำนวณ $X\sim \text{Pois}(\lambda)$ $P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$ $k\geq 0$

E [X^{n}] = \sum_{k \geq 0} k^{n} P (X = k),

$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$ แต่การคำนวณง่ายกว่ามาก

E [X^{\underline{n}}]

$E[X^{\underline{n}}]$ , โดยที่ : คุณสามารถ พิสูจน์ด้วยตัวเอง - มันคือการออกกำลังกายที่ง่าย นอกจากนี้ฉันจะให้คุณพิสูจน์ด้วยตัวเองต่อไปนี้: ถ้าคือ iid เป็นดังนั้นดังนั้น Let n มันติดตามว่า

X^{\underline{n}} = X (X - 1) \dots (X - n + 1)

$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$

E [X^{\underline{n}}] = λ^{n} .

$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$

X_{1}, \dots, X_{N}

$X_1,\cdots, X_N$

Pois (λ)

$\text{Pois}(\lambda)$

U = \sum_{i} X_{i} \sim Pois (N λ)

$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$

E [U^{\underline{n}}] = (N λ)^{n} = N^{n} λ^{n} and E [U^{\underline{n}} / N^{n}] = λ^{n} .

$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$

Z_{n} = U^{\underline{n}} / N^{n}

$Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

$Z_n$ ฟังก์ชั่นการวัดของคุณ $X_1$ , $\dots$ , $X_N$
$E[Z_n] = \lambda^n$ ,

ตั้งแต่ $e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$ เราสามารถอนุมานได้ว่า

E [\sum_{n \geq 0} \frac{Z_{n}}{n!}] = \sum_{n \geq 0} \frac{λ^{n}}{n!} = e^{λ},

$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$ ดังนั้นตัวประมาณค่าที่เป็นกลางของคุณคือ

W = \sum_{n \geq 0} Z_{n} / n!

$W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$ คือ

E [W] = e^{λ}

$E[W] = e^\lambda$ . อย่างไรก็ตามการคำนวณ

W

$W$ เราต้องประเมินผลรวมที่ดูเหมือนจะไม่มีที่สิ้นสุด แต่โปรดทราบว่า

U \in N_{0}

$U\in \mathbb{N}_0$ ดังนั้น

U^{\underline{n}} = 0

$U^\underline{n} = 0$ สำหรับ

n > U

$n>U$ . มันติดตามว่า

Z_{n} = 0

$Z_n = 0$ สำหรับ

n > U

$n>U$ ดังนั้นผลรวมจึงมี จำกัด

เราจะเห็นว่าโดยใช้วิธีนี้คุณสามารถค้นหาตัวประมาณค่าที่เป็นกลางสำหรับฟังก์ชันใด ๆ ของ $\lambda$ ที่สามารถแสดงเป็น $f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$ .

— แอนทอน
แหล่งที่มา

มันติดตามว่า $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$ . เราต้องการประเมิน $\theta=e^\lambda$ . อย่างที่คุณพูดตัวประมาณที่เป็นไปได้จะเป็น

\hat{θ} = e^{\bar{X}} = e^{Y / 10} .

$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$ ใช้ฟังก์ชั่นสร้างช่วงเวลาของ

Y

$Y$ ,

M_{Y} (t) = e^{10 λ (e^{t} - 1)},

$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$ เราพบว่า

E (\hat{θ}) = E (e^{\frac{1}{10} Y}) = M_{Y} (\frac{1}{10}) = e^{10 λ (e^{1 / 10} - 1)} = θ^{10 (e^{1 / 10} - 1)},

$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$ ดังนั้น

\hat{θ}

$\hat\theta$ ลำเอียง การคาดเดาบางคนแนะนำว่า

θ^{*} = e^{a Y},

$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$ อาจไม่เอนเอียงสำหรับการเลือกปัจจัยการแก้ไขที่เหมาะสม

a

$a$ . อีกครั้งโดยใช้ mgf ของ

Y

$Y$ เราพบว่า

E (θ^{*}) = e^{10 λ (e^{a} - 1)} = θ^{10 (e^{a} - 1)},

$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$ ดังนั้นนี่คือถ้าเป็นกลาง

10 (e^{a} - 1) = 1

$10(e^a - 1) = 1$ ซึ่งนำไปสู่

a = \ln \frac{11}{10}

$a=\ln\frac{11}{10}$ และ

θ^{*} = (\frac{11}{10})^{Y}

$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$ ในฐานะผู้ประเมินที่เป็นกลาง

θ = e^{λ}

$\theta=e^\lambda$ .

โดยทฤษฎีบท Lehmann-Schefféตั้งแต่ $Y$ เป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับ $\lambda$ ตัวประมาณ $\theta^*$ ฟังก์ชั่นของ $Y$ ) คือUMVUEสำหรับ $e^\lambda$ .

— Jarle Tufto
แหล่งที่มา