จะเพิ่มตัวแปรสุ่มสองตัวแบบพึ่งพาได้อย่างไร?

ฉันรู้ว่าฉันไม่สามารถใช้การโน้มน้าวใจได้ ฉันมีตัวแปรสุ่มสองตัวคือ A และ B และพวกมันขึ้นอยู่กับ ฉันต้องการฟังก์ชันการกระจายแบบ A + B

random-variable non-independent

— Mesko
แหล่งที่มา

ถ้า A และ B ขึ้นอยู่กับการแจกแจงร่วมของ A และ B จะต้องมาถึงการกระจายของ A + B

— vinux

ฉันไม่เข้าใจคำถามของคุณ. คุณรู้อะไรและทำไมคุณไม่สามารถใช้การชักชวนได้?

— ซีอาน

ฉันรู้ว่าฟังก์ชันการกระจายตัวของ A และ B. f A และ B เป็นตัวแปรสุ่มแบบอิสระต่อเนื่องสองตัวจากนั้นฉันสามารถค้นหาการกระจายตัวของ Z = A + B ได้โดยการแปลงค่า f (A) และ g (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ − ∞f (A) g (z − B) dA แต่ฉันจะทำอย่างไรเมื่อพวกเขาไม่ได้เป็นอิสระ? ฉันขอโทษถ้านี่เป็นคำถามที่โง่

— Mesko

มันไม่ใช่คำถามโง่ ๆ Mesko แต่สิ่งที่ผู้คนกำลังชี้ให้เห็นก็คือมันต้องการข้อมูลเพิ่มเติม คำตอบขึ้นอยู่กับว่า

และ

ล้มเหลวในการเป็นอิสระอย่างไร คำอธิบายโดยละเอียดของการแจกแจงร่วมของ

และ

ซึ่งเป็นสิ่งที่ vinux ถาม ซีอานกำลังละเอียดมากขึ้นเล็กน้อย แต่ค้นหาข้อมูลประเภทเดียวกันเพื่อช่วยให้คุณก้าวหน้า

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

คำตอบ:

ในฐานะที่เป็นจุด vinux ออกหนึ่งต้องการการกระจายร่วมกันของและ , และมันก็ไม่เห็นได้ชัดจาก OP Mesko ของการตอบสนอง "ฉันรู้ว่าฟังก์ชั่นการกระจายของ A และ B" ว่าเขาจะบอกว่าเขารู้ร่วมกันการกระจายของ A และ B: เขาอาจ ดีที่จะบอกว่าเขารู้การกระจายตัวเล็กน้อยของ A และ B อย่างไรก็ตามสมมติว่า Mesko รู้การกระจายตัวของข้อต่อคำตอบจะได้รับด้านล่าง $A$ $B$

จากหนึ่งบิดในความคิดเห็นของ OP Mesko (ซึ่งเป็นสิ่งที่ผิดโดยวิธีการ) มันอาจจะเหมาเอาว่า Mesko มีความสนใจในอย่างต่อเนื่องร่วมกันตัวแปรสุ่มและ ที่มีฟังก์ชั่นน่าจะเป็นร่วมกันหนาแน่น )ในกรณีนี้ $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ เมื่อและมีความเป็นอิสระความหนาแน่นของการเชื่อมต่อจะรวมอยู่ในผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นของขอบ:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ และเราได้สูตรการแปลงที่คุ้นเคยมากขึ้นสำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ ผลลัพธ์ที่คล้ายกันใช้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบแยกเช่นกัน

$A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ $F_{A+B}(z)$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

นี้จะเกี่ยวข้องกับความคิดเห็นของฉันและคำตอบในคำถามอื่นที่เกี่ยวข้องกับการกระจายร่วมกันไม่กี่วันที่ผ่านมา

— ซีอาน

ก่อนหน้านี้ฉันไม่รู้ว่าสิ่งที่ฉันพูดถูกต้องหรือไม่ แต่ฉันติดอยู่กับปัญหาเดียวกันและพยายามแก้ไขด้วยวิธีนี้:

f_{A, B} (a, b) = (a + b) H (a, b) H (- a + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$

นี่คือ rapresentation ทังสเตนของการร่วมทุน:

การคำนวณอินทิกรัลฉันมี: B

พล็อต: C

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$

— R.Lac
แหล่งที่มา

คำถามดูเหมือนจะไม่เจาะจงพอเพียงเกี่ยวกับการกระจายข้อต่อเพื่อรับคำตอบ คุณคิดขึ้นมาได้อย่างไร

— Michael R. Chernick

+1 สำหรับการแก้ตัวอย่างเคาน์เตอร์ที่ถูกต้องในคำตอบของ @ cdlg อย่างถูกต้องและแสดงว่าการคำนวณหากดำเนินการอย่างถูกต้องจะให้คำตอบที่ถูกต้องและไม่ใช่ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดในคำตอบของ cdlg ฉันไม่อยากจะเชื่อเลยว่าคำตอบนั้นได้รับการโหวตขึ้นสองครั้ง

— Dilip Sarwate