ฉันจะพอดีกับการถดถอยที่ จำกัด ใน R เพื่อให้สัมประสิทธิ์รวม = 1 ได้อย่างไร

36

ฉันเห็นการถดถอยที่มีข้อ จำกัด คล้ายกันที่นี่:

แต่ความต้องการของฉันแตกต่างกันเล็กน้อย ฉันต้องการค่าสัมประสิทธิ์ในการเพิ่มเป็น 1 โดยเฉพาะฉันกำลังถดถอยผลตอบแทนของ 1 ชุดแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศกับ 3 ชุดแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศอื่น ๆ เพื่อให้นักลงทุนสามารถแทนที่การสัมผัสกับชุดนั้นด้วยการรวมกันของชุดที่ 3 การจ่ายเงินสดจะต้องไม่เปลี่ยนแปลงและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง (แต่ไม่บังคับ) ค่าสัมประสิทธิ์ควรเป็นค่าบวก

ฉันพยายามค้นหาการถดถอยแบบ จำกัด ใน R และ Google แต่โชคดีเล็กน้อย

r regression

— โทมัสบราวน์
แหล่งที่มา

คุณแน่ใจหรือไม่ว่านี่เป็นปัญหาการถดถอยที่ จำกัด ? เมื่อฉันอ่านคำถามคุณจะพบความสัมพันธ์ของรูปแบบ (หนึ่งชุด Forex) = (บวกฉันเข้าใจว่าเป็นคำที่สี่ที่แสดงถึงอัตราผลตอบแทนที่ปลอดภัยในขณะนั้น) นั่นเป็นอิสระจากการตัดสินใจลงทุน หากลูกค้าต้องการลงทุนในโดยใช้ ,และเป็นพร็อกซี่พวกเขาก็จะลงทุนใน ,ในและใน

y_{4}

$y_4$

β_{1} y_{1} + β_{2} y_{2} + β_{3} y_{3}

$\beta_1 y_1 + \beta_2 y_2 + \beta_3 y_3$

c

$c$

y_{4}

$y_4$

y_{1}

$y_1$

y_{2}

$y_2$

y_{3}

$y_3$

c β_{1}

$c\beta_1$

y_{1}

$y_1$

c β_{2}

$c\beta_2$

y_{2}

$y_2$

c β_{3}

$c\beta_3$

y_{3}

$y_3$ . นั่นไม่ได้เพิ่มความยุ่งยากพิเศษให้กับการถดถอยใช่ไหม?

— whuber

มันเป็นเพราะถ้าคุณทำแบบนี้คุณจะพบว่า B1 + B2 + B3> 1 ในหลายกรณี (หรือ <1 ในคนอื่น ๆ ) นั่นเป็นเพราะสกุลเงินที่หนึ่งพยายามจำลองด้วย descriptors โดยทั่วไปจะมีความผันผวนที่ใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าสกุลเงินอื่น ๆ ดังนั้นการถดถอยจะให้น้ำหนักที่ตอบสนองน้อยลงหรือใหญ่ขึ้น สิ่งนี้ต้องการนักลงทุนไม่ว่าจะลงทุนเต็มหรือใช้ประโยชน์ซึ่งฉันไม่ต้องการ สำหรับอัตราผลตอบแทนที่ปลอดภัย สิ่งที่เราพยายามทำคือการทำซ้ำชุดที่ 1 โดยใช้ตัวแปรอื่น ๆ การเป็นนักการเงินและไม่ใช่นักสถิติบางทีฉันอาจตั้งคำถามผิดไป

— โทมัสบราวน์

เหตุผลในการรวมคำศัพท์สำหรับอัตราผลตอบแทนที่ปลอดภัยคือบางครั้งจะมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ สันนิษฐานได้ว่าเครื่องมือที่ปลอดภัย (เงินฝากธนาคารข้ามคืน) มีให้สำหรับทุกคนในราคาที่ต่ำดังนั้นใครก็ตามที่เพิกเฉยต่อสิ่งนี้เนื่องจากองค์ประกอบของตะกร้าการลงทุน ทีนี้ถ้าสัมประสิทธิ์ไม่เพิ่มความเป็นเอกภาพอะไรล่ะ? เพียงแค่ลงทุนให้มากที่สุดเท่าที่คุณต้องการในสัดส่วนที่ประมาณการโดยการถดถอย

— whuber

ใช่ ..... ง่ายเหมือนกัน ขอบคุณ ฉันรู้สึกงี่เง่านิดหน่อยฮ่าฮ่า

— โทมัสบราวน์

1

ไม่โง่เลย เพียงแค่ถามคำถามนี้สะท้อนความคิดระดับสูง ฉันแค่ตรวจสอบความเข้าใจคำถามของคุณเองเพื่อให้แน่ใจว่าคุณได้รับคำตอบที่มีประสิทธิภาพ ไชโย

— whuber

35

ถ้าผมเข้าใจอย่างถูกต้องรูปแบบของคุณคือ กับและ\คุณต้องย่อเล็กสุด ขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด เหล่านี้ ชนิดของปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันในการเขียนโปรแกรมการกำลังสอง

Y = π_{1} X_{1} + π_{2} X_{2} + π_{3} X_{3} + ε,

$Y = \pi_1 X_1 + \pi_2 X_2 + \pi_3 X_3 + \varepsilon,$

\sum_{k} π_{k} = 1

$\sum_k \pi_k = 1$

π_{k} \geq 0

$\pi_k\ge0$

\sum_{i} {(Y_{i} - (π_{1} X_{i 1} + π_{2} X_{i 2} + π_{3} X_{i 3}))}^{2}

$\sum_i \left(Y_i - (\pi_1 X_{i1} + \pi_2 X_{i2} + \pi_3 X_{i3}) \right)^2$

นี่คือโค้ด R สองสามบรรทัดที่ให้ทางแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (คือคอลัมน์ของ, ค่าจริงของคือ 0.2, 0.3 และ 0.5) $X_1, X_2, X_3$ X $\pi_k$

> library("quadprog");
> X <- matrix(runif(300), ncol=3)
> Y <- X %*% c(0.2,0.3,0.5) + rnorm(100, sd=0.2)
> Rinv <- solve(chol(t(X) %*% X));
> C <- cbind(rep(1,3), diag(3))
> b <- c(1,rep(0,3))
> d <- t(Y) %*% X  
> solve.QP(Dmat = Rinv, factorized = TRUE, dvec = d, Amat = C, bvec = b, meq = 1)
$solution
[1] 0.2049587 0.3098867 0.4851546

$value
[1] -16.0402

$unconstrained.solution
[1] 0.2295507 0.3217405 0.5002459

$iterations
[1] 2 0

$Lagrangian
[1] 1.454517 0.000000 0.000000 0.000000

$iact
[1] 1

ฉันไม่ทราบผลลัพธ์ใด ๆ เกี่ยวกับการแจกแจงเชิงซีมโทติคของการประมาณค่า ฯลฯ หากใครบางคนมีพอยน์เตอร์ฉันจะอยากรู้อยากเห็นบางอย่าง (ถ้าคุณต้องการฉันสามารถเปิดคำถามใหม่ได้)

— เอลวิส
แหล่งที่มา

คำถามที่รวดเร็วจริง ฉันไม่ควรจะลดความแปรปรวนให้น้อยที่สุดแทนที่จะเป็นผลรวม? นั่นไม่ใช่สิ่งที่การถดถอยทำเพื่อลดความแปรปรวนของกำลังสองของข้อผิดพลาดหรือไม่

— โทมัสบราวน์

6

นี่คือเอลวิสที่ฉลาด แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งเดียวกันให้สำเร็จได้โดยการคำนวณการถดถอยซ้ำอีกครั้ง? เช่นปล่อยให้ นั่นเทียบเท่ากับvarepsilon ประมาณการและข้อผิดพลาดมาตรฐานของตรงไปตรงมาในการคำนวณจากประมาณการและเมทริกซ์ var-covar ของและ\

Y = α_{1} X_{1} + α_{2} X_{2} + (1 - α_{1} - α_{2}) X_{3} + ε

$Y = \alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 + (1-\alpha_1-\alpha_2)X_3 +\varepsilon$

Y - X_{3} = α_{1} (X_{1} - X_{3}) + α_{2} (X_{2} - X_{3}) + ε

$Y-X_3 = \alpha_1(X_1-X_3) + \alpha_2(X_2-X_3)+\varepsilon$

π_{i}

$\pi_i$

α_{1}

$\alpha_1$

α_{2}

$\alpha_2$

— whuber

6

@whuber ใช่ แต่มีข้อมูลที่มีเสียงดังมากขึ้นหรือด้วยบางส่วนใกล้กับคุณจะละเมิดข้อ จำกัด ได้อย่างง่ายดายซึ่งเป็นส่วน "ยาก" ของปัญหา

π_{k}

$\pi_k$

0

$0$

π_{k} > 0

$\pi_k > 0$

— Elvis

2

สัมประสิทธิ์เชิงบวกบอกให้คุณซื้อสกุลเงินต่างประเทศ สัมประสิทธิ์เชิงลบบอกให้คุณขายมัน หากคุณไม่ได้เป็นเจ้าของสกุลเงินนั้นแล้วคุณต้องยืมเพื่อที่จะขาย ("ขายชอร์ต") เนื่องจากการกู้ยืมแบบไม่ จำกัด สามารถทำให้ผู้คนเดือดร้อนจึงมีข้อ จำกัด เกี่ยวกับปริมาณการยืมและวิธีการชำระเงินสำหรับ ("ข้อกำหนดด้านหลักประกัน" และ "ต้นทุนการดำเนินการเกี่ยวกับเงินทุน" และ "การทำตลาดสู่ตลาด") ดังนั้นการยืมจึงเป็นไปได้ แต่มักจะหลีกเลี่ยงได้ยกเว้นผู้เล่นรายใหญ่ในตลาด

— whuber

2

ขอบคุณมากสำหรับความช่วยเหลือทั้งหมด ที่จริงแล้วเพียงแค่ให้ความเห็นเกี่ยวกับตลาด FX โดยทั่วไปพวกเขาจะสั้นกว่าหุ้นหรือพันธบัตรได้ง่ายกว่าเพราะไม่ต้องยืมหุ้นก่อนขายสั้น หนึ่งเพียงแค่พลิกสกุลเงินส่วนและเศษ ดังนั้นตัวอย่างเช่นการขาย EURUSD และการขาย USDEUR เป็นการซื้อขายที่เทียบเท่ากันในแง่ของแผนกความเสี่ยง แต่แน่นอนว่าพวกเขาอยู่ในตำแหน่งที่ตรงกันข้าม นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม FX จึงเป็นสนามเด็กเล่นที่ยอดเยี่ยมสำหรับเทรดเดอร์เชิงปริมาณเพราะพวกเขาไม่ต้องกังวลกับความเสียดทานในทิศทางที่สำคัญกว่าในตลาดหุ้น

— Thomas Browne

8

ดังที่ whuber กล่าวไว้หากคุณสนใจเฉพาะข้อ จำกัด ด้านความเท่าเทียมคุณสามารถใช้ฟังก์ชัน lm () มาตรฐานโดยเขียนแบบจำลองของคุณใหม่:

\begin{array}{rcl} Y & = & α + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + β_{3} X_{3} + ϵ \\ = & α + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + (1 - β_{1} - β_{2}) X_{3} + ϵ \\ = & α + β_{1} (X_{1} - X_{3}) + β_{2} (X_{2} - X_{3}) + X_{3} + ϵ \end{array}

$\begin{eqnarray} Y&=&\alpha+\beta_1 X_1+\beta_2 X_2+\beta_3 X_3+\epsilon\\ &=& \alpha+\beta_1 X_1+\beta_2 X_2+(1-\beta_1-\beta_2) X_3+\epsilon\\ &=& \alpha + \beta_1( X_1-X_3) +\beta_2 (X_2-X_3)+ X_3+\epsilon \end{eqnarray}$

แต่สิ่งนี้ไม่รับประกันว่าข้อ จำกัด ของความไม่เท่าเทียมของคุณจะเป็นที่พอใจ ในกรณีนี้มันเป็นเช่นนั้นดังนั้นคุณจะได้รับผลลัพธ์เช่นเดียวกับการใช้ตัวอย่างการเขียนโปรแกรมสมการกำลังสองข้างต้น (วาง X3 ทางซ้าย):

X <- matrix(runif(300), ncol=3)
Y <- X %*% c(0.2,0.3,0.5) + rnorm(100, sd=0.2)
X1 <- X[,1]; X2 <-X[,2]; X3 <- X[,3]
lm(Y-X3~-1+I(X1-X3)+I(X2-X3))

— Matifou
แหล่งที่มา

ในกรณีข้างต้นโดย Matifou สิ่งที่จะป้องกันไม่ให้สัมประสิทธิ์ที่สามจากการเป็นลบ? ตัวอย่างเช่นมีค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับและเราจะได้รับนั้นซึ่งแสดงถึงที่นี่ว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่สามของเราเป็นลบและดังนั้นจึงไม่ถือตามของเรา การถดถอยที่ต้องการ

β_{1} = 0.75

$\beta_1=0.75$

β_{2} = 0.5

$\beta_2=0.5$

(1 - β_{1} - β_{2}) = - 0.25

$(1-\beta_1-\beta_2)=-0.25$

— AS

1

ขอบคุณ @AS ที่ชี้เรื่องนี้ออกมา อันที่จริงการแก้ปัญหานี้ใช้ได้เฉพาะกับข้อ จำกัด ความเสมอภาคไม่ใช่ความไม่เท่าเทียม ฉันแก้ไขข้อความตามนั้น

— Matifou

1

เมื่อฉันเข้าใจโมเดลของคุณคุณกำลังค้นหา นั้น

\bar{\bar{x}} \cdot \bar{b} = \bar{y}

$\bar{\bar{x}} \cdot \bar{b} = \bar{y}$

\sum [\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}] = 1

$\sum \left [ \begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \right ] =1$

ฉันพบวิธีที่ง่ายที่สุดในการจัดการกับปัญหาเหล่านี้คือการใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของเมทริกซ์เพื่อจัดการเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอื่น ๆ $\bar{b}$

เช่นเป็นหน้าที่ของผ่านการแปลงบล็อก{T_c}} ในกรณีของคุณด้านล่างเป็น1 นี่เราสามารถแยก nowns และ nknowns ของเรา $\bar{b}$ $\bar{c}$ $\bar{\bar{T_c}}$ $r$ $1$

\bar{b} = [\begin{matrix} k_{0} \\ k_{1} \\ k_{2} \end{matrix}] = \bar{\bar{T_{c}}} \cdot \bar{c} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} k_{0} \\ k_{1} \\ r \end{matrix}]

$\bar{b} = \left [ \begin{matrix} k_0 \\ k_1 \\ k_2 \end{matrix} \right ] = \bar{\bar{T_c}} \cdot \bar{c} = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right ] \cdot \left[ \begin{matrix} k_0 \\ k_1 \\ r \end{matrix} \right ]$

k

$k$

u

$u$

\bar{c} = [\begin{matrix} k_{0} \\ k_{1} \\ r \end{matrix}] = \bar{\bar{S_{u}}} \cdot \bar{c_{u}} + \bar{\bar{S_{k}}} \cdot \bar{c_{k}} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} k_{0} \\ k_{1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] \cdot r

$\bar{c} = \left[ \begin{matrix} k_0 \\ k_1 \\ r \end{matrix} \right ] = \bar{\bar{S_u}} \cdot \bar{c_u} + \bar{\bar{S_k}} \cdot \bar{c_k} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \cdot \left [ \begin{matrix} k_0 \\ k_1 \end{matrix} \right ] + \left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ] \cdot r$ ในขณะที่ฉันสามารถรวมการแปลงที่แตกต่างกัน / บล็อกแยกที่ยุ่งยากกับโมเดลที่สลับซับซ้อนมากขึ้น บล็อกเหล่านี้อนุญาตให้แยกออกเป็นที่รู้จักและไม่ทราบ

\bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_{c}}} \cdot (\bar{\bar{S_{u}}} \cdot \bar{c_{u}} + \bar{\bar{S_{k}}} \cdot \bar{c_{k}}) = \bar{y} \bar{\bar{v}} = \bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_{c}}} \cdot \bar{\bar{S_{u}}} \bar{w} = \bar{y} - \bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_{c}}} \cdot \bar{\bar{S_{k}}} \cdot \bar{c_{k}}

$\bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_c}} \cdot \left ( \bar{\bar{S_u}} \cdot \bar{c_u} + \bar{\bar{S_k}} \cdot \bar{c_k} \right ) = \bar{y} \\ \bar{\bar{v}} = \bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_c}} \cdot \bar{\bar{S_u}} \\ \bar{w} = \bar{y} - \bar{\bar{x}} \cdot \bar{\bar{T_c}} \cdot \bar{\bar{S_k}} \cdot \bar{c_k}$ ในที่สุดปัญหาอยู่ในรูปแบบที่คุ้นเคย

\bar{\bar{v}} \cdot \bar{c_{u}} = \bar{w}

$\bar{\bar{v}} \cdot \bar{c_u} = \bar{w}$

— Augi Lynch
แหล่งที่มา

1

คำถามเก่า แต่เนื่องจากฉันประสบปัญหาเดียวกันฉันคิดว่าจะโพสต์ 2p ของฉัน ...

ใช้การเขียนโปรแกรมสมการกำลังสองตามที่ @Elvis แนะนำ แต่ใช้sqlinconจากแพ็คเกจpracma ฉันคิดว่าข้อดีเหนือกว่าquadrpog::solve.QPคืออินเทอร์เฟซผู้ใช้ที่ง่ายกว่าเพื่อระบุข้อ จำกัด (อันที่จริงแล้วlsqlinconเป็นเสื้อคลุมรอบsolve.QP)

ตัวอย่าง:

library(pracma)

set.seed(1234)

# Test data
X <- matrix(runif(300), ncol=3)
Y <- X %*% c(0.2, 0.3, 0.5) + rnorm(100, sd=0.2)

# Equality constraint: We want the sum of the coefficients to be 1.
# I.e. Aeq x == beq  
Aeq <- matrix(rep(1, ncol(X)), nrow= 1)
beq <- c(1)

# Lower and upper bounds of the parameters, i.e [0, 1]
lb <- rep(0, ncol(X))
ub <- rep(1, ncol(X))

# And solve:
lsqlincon(X, Y, Aeq= Aeq, beq= beq, lb= lb, ub= ub)

[1] 0.1583139 0.3304708 0.5112153

ผลลัพธ์เดียวกับของ Elvis:

library(quadprog)
Rinv <- solve(chol(t(X) %*% X));
C <- cbind(rep(1,3), diag(3))
b <- c(1,rep(0,3))
d <- t(Y) %*% X  
solve.QP(Dmat = Rinv, factorized = TRUE, dvec = d, Amat = C, bvec = b, meq = 1)$solution

แก้ไขเพื่อพยายามที่จะแก้ไขความคิดเห็นของ gung ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายบางอย่าง sqlincon เลียนแบบ lsqlin ของmatlabซึ่งมีหน้าช่วยเหลือที่ดี นี่คือบิตที่เกี่ยวข้องกับการแก้ไขบางส่วน (เล็กน้อย) ของฉัน:

Xตัวคูณเมทริกซ์ระบุเป็นเมทริกซ์คู่ C แทนตัวคูณของโซลูชัน x ในนิพจน์ C * x - Y. C คือ M-by-N โดยที่ M คือจำนวนของสมการและ N คือจำนวนองค์ประกอบของ x

Yเวกเตอร์คงที่ที่ระบุเป็นเวกเตอร์ของคู่ Y แทนคำว่าค่าคงที่แบบเพิ่มเติมในนิพจน์ C * x - Y. Y คือ M-by-1 โดยที่ M คือจำนวนของสมการ

Aeq: เมทริกซ์จำกัดความเท่าเทียมกันเชิงเส้นระบุเป็นเมทริกซ์ของคู่ Aeq แสดงถึงสัมประสิทธิ์เชิงเส้นในข้อ จำกัด Aeq * x = beq Aeq มีขนาด Meq-by-N โดยที่ Meq คือจำนวนข้อ จำกัด และ N คือจำนวนองค์ประกอบของ x

beqเวกเตอร์ จำกัด ความเท่าเทียมกันเชิงเส้นที่ระบุเป็นเวกเตอร์ของคู่ beq แสดงถึงเวกเตอร์คงที่ในข้อ จำกัด Aeq * x = beq beq มีความยาว Meq โดยที่ Aeq คือ Meq-by-N

lbขอบเขตที่ต่ำกว่าซึ่งระบุเป็นเวกเตอร์ของคู่ lb หมายถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าตามเข็มนาฬิกาในหน่วยปอนด์≤ x ≤ ub

ubขอบเขตบนระบุเป็นเวกเตอร์ของคู่ ub แสดงถึงขอบเขตบนทวนเข็มนาฬิกาในหน่วย lb ≤ x ≤ ub

— dariober
แหล่งที่มา