แสดงค่าประมาณมาเป็นเปอร์เซ็นต์ผ่านสถิติการสั่งซื้อ

ให้เป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม iid ที่สุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงแบบเสถียรอัลฟ่าโดยมีพารามิเตอร์1.0 $X_1, X_2, \ldots, X_{3n}$ $\alpha = 1.5, \; \beta = 0, \; c = 1.0, \; \mu = 1.0$

พิจารณาลำดับโดยที่ , สำหรับn-1 $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$ $Y_{j+1} = X_{3j+1}X_{3j+2}X_{3j+3} - 1$ $j=0, \ldots, n-1$

ฉันต้องการประมาณเปอร์เซ็นต์ไทล์ $0.01-$

ความคิดของฉันคือการจำลอง Monte-Carlo:

l = 1;
while(l < max_iterations)
{
  Generate $X_1, X_2, \ldots, X_{3n}$ and compute $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$;
  Compute $0.01-$percentile of current repetition;
  Compute mean $0.01-$percentile of all the iterations performed;
  Compute variance of $0.01-$percentile of all the iterations performed;
  Calculate confidence interval for the estimate of the $0.01-$percentile;

  if(confidence interval is small enough)
    break;

}

การเรียกค่าเฉลี่ยของตัวอย่างทั้งหมดเปอร์เซนต์ที่คำนวณเป็นและความแปรปรวนเพื่อคำนวณช่วงความมั่นใจที่เหมาะสมสำหรับฉันใช้ กับทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางที่แข็งแกร่ง : $0.01-$ $\hat{\mu}_n$ $\hat{\sigma}^{2}_{n}$ $\mu$

ให้เป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม IID กับและ<\ กำหนดค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างเป็นx_i จากนั้นมีการกระจายปกติมาตรฐาน จำกัด คือ $X_1, X_2, \ldots$ $E \left[ X_i \right] = \mu$ $0 < V \left[ X_i \right] = \sigma^2 < \infty$ $\hat{\mu}_n = (1/n) \sum_{i=1}^n X_i$ $(\hat{\mu}_n - \mu) / \sqrt{\sigma^{2}/n}$
$\frac{{\hat{μ}}_{n} - μ}{\sqrt{σ^{2} / n}} \overset{n \to \infty}{⟶} N (0, 1) .$ $\frac{\hat{\mu}_n - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/n}} \overset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow N(0,1).$

และทฤษฎีบทของ Slutksyเพื่อสรุปว่า

\sqrt{n} \frac{{\hat{μ}}_{n} - μ}{\sqrt{{\hat{σ}}_{n}^{2}}} \overset{n \to \infty}{⟶} N (0, 1) .

$\sqrt{n} \frac{\hat{\mu}_n - \mu}{\sqrt{\hat{\sigma}^{2}_{n}}} \overset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow N(0,1).$

จากนั้น aคูณช่วงเวลาที่มั่นใจสำหรับคือ $(1-\alpha)\times 100\%$ $\mu$

I_{α} = [{\hat{μ}}_{n} - z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{{\hat{σ}}_{n}^{2}}{n}}, {\hat{μ}}_{n} + z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{{\hat{σ}}_{n}^{2}}{n}}],

$I_{\alpha} = \left[\hat{\mu}_n - z_{1- \alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}_{n}}{n}} , \hat{\mu}_n + z_{1- \alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}_{n}}{n}} \right],$ ที่คือ --quantile ของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

z_{1 - α / 2}

$z_{1- \alpha / 2}$

(1 - α / 2)

$(1- \alpha / 2)$

คำถาม:

1)วิธีการของฉันถูกต้องหรือไม่? ฉันจะปรับการสมัครของ CLT ได้อย่างไร ฉันหมายถึงฉันจะแสดงให้เห็นว่าความแปรปรวนนั้นมี จำกัด ได้อย่างไร (ฉันต้องดูความแปรปรวนของหรือไม่เพราะฉันไม่คิดว่ามันจะ จำกัด ... ) $Y_j$

2)ฉันจะแสดงให้เห็นได้อย่างไรว่าค่าเฉลี่ยของตัวอย่างทั้งหมดที่คำนวณได้ร้อยละมาบรรจบกับค่าที่แท้จริงของร้อยละ(ฉันควรใช้สถิติการสั่งซื้อ แต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับวิธีการประสบความสำเร็จ; การอ้างอิงได้รับการชื่นชม) $0.01-$ $0.01-$

— อินเดียนแดงเผ่ามายะ
แหล่งที่มา

วิธีการทั้งหมดที่ใช้กับตัวอย่างค่ามัธยฐานที่stats.stackexchange.com/questions/45124 จะมีผลกับเปอร์เซ็นไทล์อื่น ๆ ด้วย คำถามของคุณเหมือนกับคำถามนั้น แต่แทนที่เปอร์เซนต์ไทล์ที่ 50 ด้วยเปอร์เซ็นไทล์ที่ 1 (หรืออาจจะเป็น 0.01?)

— whuber

@whuber คำตอบของคุณสำหรับคำถามนั้นดีมาก อย่างไรก็ตาม Glen_b กล่าวในตอนท้ายของโพสต์ของเขา (คำตอบที่ยอมรับได้) ว่าเกณฑ์ปกติโดยประมาณ "ไม่ถือเป็นจำนวนมากเนื่องจาก CLT ไม่เตะที่นั่น (ค่าเฉลี่ยของ Z จะไม่ปกติ ) คุณต้องใช้ทฤษฎีที่แตกต่างกันสำหรับค่าสุดขีด " ฉันควรกังวลเกี่ยวกับคำแถลงนี้อย่างไร?

— Maya

ฉันเชื่อว่าเขาไม่ได้หมายถึงควอนไทล์ที่รุนแรงมากแต่มีเพียงสุดขั้วเท่านั้น (ในความเป็นจริงเขาแก้ไขเมื่อสิ้นสุดประโยคเดียวกันโดยอ้างถึงพวกเขาว่า "ค่าสุดโต่ง") ความแตกต่างก็คือควอไทล์ที่รุนแรงเช่น. 01 เปอร์เซ็นไทล์ (ซึ่งหมายถึง 1 / 10000th ของ การกระจาย) จะคงที่เนื่องจากข้อมูลมากขึ้นในตัวอย่างจะยังคงลดลงต่ำกว่าและมากขึ้นจะลดลงเหนือเปอร์เซ็นต์ไทล์ ด้วยความรุนแรง (เช่นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด) ที่ไม่มีในกรณีนี้

— whuber

นี่เป็นปัญหาที่ควรแก้ไขโดยทั่วไปโดยใช้ทฤษฎีกระบวนการเชิงประจักษ์ ความช่วยเหลือเกี่ยวกับระดับการฝึกฝนของคุณจะเป็นประโยชน์

— AdamO

ความแปรปรวนของไม่แน่นอน $Y$ นี่เป็นเพราะตัวแปรอัลฟาที่มีเสถียรภาพมี 3/2 (การกระจาย Holtzmark ) มีความคาดหวังที่แน่นอนแต่ความแปรปรวนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ถ้ามีความแปรปรวนแน่นอนดังนั้นโดยใช้ความเป็นอิสระของและนิยามความแปรปรวนที่เราสามารถคำนวณได้ $X$ $\alpha=3/2$ $\mu$ $Y$ $\sigma^2$ $X_i$

\begin{aligned} σ^{2} = Var (Y) & = E (Y^{2}) - E (Y)^{2} \\ = E (X_{1}^{2} X_{2}^{2} X_{3}^{2}) - E (X_{1} X_{2} X_{3})^{2} \\ = E (X^{2})^{3} - {(E (X)^{3})}^{2} \\ = {(Var (X) + E (X)^{2})}^{3} - μ^{6} \\ = {(Var (X) + μ^{2})}^{3} - μ^{6} . \end{aligned}

$\eqalign{ \sigma^2 = \operatorname{Var}(Y) &= \mathbb{E}(Y^2) - \mathbb{E}(Y)^2 \\ &= \mathbb{E}(X_1^2X_2^2X_3^2) - \mathbb{E}(X_1X_2X_3)^2 \\ &= \mathbb{E}(X^2)^3 - \left(\mathbb{E}(X)^3\right)^2 \\ &= \left(\operatorname{Var}(X) + \mathbb{E}(X)^2\right)^3 - \mu^6 \\ &= \left(\operatorname{Var}(X) + \mu^2\right)^3 - \mu^6. }$

สมการลูกบาศก์นี้ในมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งตัว (และแก้ปัญหาได้มากถึงสามรายการ แต่ไม่มาก) ซึ่งแสดงว่าจะมี จำกัด - แต่ไม่ใช่ ความขัดแย้งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้อง $\operatorname{Var}(X)$ $\operatorname{Var}(X)$

ลองหันมาที่คำถามที่สอง

ตัวอย่างใด ๆ ก็จะมาบรรจบกันเป็นจริงขณะที่ตัวอย่าง quantile ขนาดใหญ่ขึ้น วรรคสองสามย่อหน้าถัดไปพิสูจน์จุดทั่วไปนี้

ให้ความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องคือ (หรือค่าอื่นใดระหว่างถึง , พิเศษ) เขียนสำหรับฟังก์ชันการแจกแจงเพื่อให้คือ quantile $q=0.01$ $0$ $1$ $F$ $Z_q=F^{-1}(q)$ $q^{\text{th}}$

สิ่งที่เราต้องสมมติคือ (ฟังก์ชัน quantile) นั้นต่อเนื่อง สิ่งนี้ทำให้เรามั่นใจว่าสำหรับมีความน่าจะเป็นและซึ่ง $F^{-1}$ $\epsilon\gt 0$ $q_-\lt q$ $q_+\gt q$

F (Z_{q} - ϵ) = q_{-}, F (Z_{q} + ϵ) = q_{+},

$F(Z_q - \epsilon) = q_-,\quad F(Z_q + \epsilon) = q_+,$

และนั่นเป็นขีด จำกัด ของช่วงที่เป็น\} $\epsilon\to 0$ $[q_-, q_+]$ $\{q\}$

พิจารณาตัวอย่าง IID ใด ๆ ของขนาดnจำนวนขององค์ประกอบของตัวอย่างนี้ที่มีน้อยกว่ามีทวินามการกระจายเพราะแต่ละองค์ประกอบอิสระมีโอกาสของการเป็นน้อยกว่า{} เซ็นทรัล จำกัด ทฤษฎีบท (ปกติหนึ่ง!) แสดงให้เห็นว่าขนาดใหญ่พอสำหรับ , จำนวนขององค์ประกอบน้อยกว่าจะได้รับจากการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน (เพื่อ การประมาณที่ดีโดยพลการ) ให้ CDF ของการกระจายปกติมาตรฐานเป็น\โอกาสที่ปริมาณนี้เกิน $n$ $Z_{q_-}$ $(q_-, n)$ $q_-$ $Z_{q_-}$ $n$ $Z_{q_-}$ $nq_-$ $nq_-(1-q_-)$ $\Phi$ $nq$ ดังนั้นจึงปิดโดยพลการ

1 - Φ (\frac{n q - n q_{-}}{\sqrt{n q_{-} (1 - q_{-})}}) = 1 - Φ (\sqrt{n} \frac{q - q_{-}}{\sqrt{q_{-} (1 - q_{-})}}) .

$1-\Phi\left(\frac{nq - nq_-}{\sqrt{nq_-(1-q_-)}}\right) = 1-\Phi\left(\sqrt{n}\frac{q - q_-}{\sqrt{q_-(1-q_-)}}\right).$

เนื่องจากอาร์กิวเมนต์บนทางด้านขวามือเป็นค่าคงที่หลายตัวของจึงมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆเมื่อโตขึ้น เนื่องจากเป็น CDF ค่าของมันจึงเข้าใกล้โดยพลการแสดงค่าที่ จำกัด ของความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ $\Phi$ $\sqrt{n}$ $n$ $\Phi$ $1$

ในคำ:ในขีด จำกัด ก็เกือบจะแน่นอนกรณีที่ขององค์ประกอบตัวอย่างที่มีไม่น้อยกว่า{} อาร์กิวเมนต์คล้ายพิสูจน์มันเกือบจะแน่นอนกรณีที่ขององค์ประกอบตัวอย่างไม่ได้มากกว่า+} ร่วมกันเหล่านี้บ่งบอกถึง quantile ของกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่พอมีโอกาสมากที่จะอยู่ระหว่างและZ_q $nq$ $Z_{q_-}$ $nq$ $Z_{q_+}$ $q$ $Z_q-\epsilon$ $Z_q+\epsilon$

นั่นคือทั้งหมดที่เราต้องการเพื่อที่จะได้รู้ว่าการจำลองจะได้ผล คุณสามารถเลือกระดับความถูกต้องและระดับความมั่นใจและรู้ว่าสำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่เพียงพอสถิติการเรียงลำดับที่ใกล้เคียงกับในตัวอย่างนั้นจะมีโอกาสอย่างน้อยภายในของ quantileแท้จริง $\epsilon$ $1-\alpha$ $n$ $nq$ $1-\alpha$ $\epsilon$ $Z_q$

ต้องมีการจัดตั้งขึ้นว่าการจำลองจะทำงานได้ส่วนที่เหลือเป็นเรื่องง่าย ขีด จำกัด ความเชื่อมั่นสามารถหาได้จากข้อ จำกัด สำหรับการแจกแจงแบบทวินามและแบบแปลงกลับ คำอธิบายเพิ่มเติม (สำหรับ quantile แต่ generalizing เพื่อ quantiles ทั้งหมด) สามารถพบได้ในคำตอบที่เซ็นทรัลขีด จำกัด ทฤษฎีบทมีเดียตัวอย่าง $q=0.50$

quantile ของเป็นลบ การกระจายตัวตัวอย่างนั้นเบ้อย่างมาก เพื่อลดความลาดตัวเลขนี้แสดงให้เห็นว่ากราฟของลอการิทึมเชิงลบจาก 1,000 ตัวอย่างจำลองของค่าของY $q=0.01$ $Y$ $n=300$ $Y$

library(stabledist)
n <- 3e2
q <- 0.01
n.sim <- 1e3

Y.q <- replicate(n.sim, {
  Y <- apply(matrix(rstable(3*n, 3/2, 0, 1, 1), nrow=3), 2, prod) - 1
  log(-quantile(Y, 0.01))
})
m <- median(-exp(Y.q))
hist(Y.q, freq=FALSE, 
     main=paste("Histogram of the", q, "quantile of Y for", n.sim, "iterations" ),
     xlab="Log(-Y_q)",
     sub=paste("Median is", signif(m, 4), 
               "Negative log is", signif(log(-m), 4)),
     cex.sub=0.8)
abline(v=log(-m), col="Red", lwd=2)

— whuber
แหล่งที่มา