ค่าที่คาดหวังของอัตราส่วนสูงสุดของตัวแปรปกติ n iid

สมมติว่า $X_1,...,X_n$ จะ IID จาก $N(\mu,\sigma^2)$ และให้หมายถึง 'TH องค์ประกอบที่เล็กจากX_1,เราจะสามารถผูกอัตราส่วนสูงสุดไว้กับอัตราส่วนระหว่างสององค์ประกอบที่ต่อเนื่องในอย่างไร นั่นคือคุณจะคำนวณส่วนบนได้อย่างไร: $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [\underset{ผม = 1, . . ., n - 1}{สูงสุด} (\frac{X_{(ผม + 1)}}{X_{(ผม)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

วรรณกรรมที่ฉันสามารถค้นหาได้นั้นมุ่งเน้นไปที่อัตราส่วนระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัวซึ่งส่งผลให้มีการแจกแจงอัตราส่วนซึ่ง pdf สำหรับการแจกแจงปกติที่ไม่ได้รับการแจกแจงสองตัวจะได้รับที่นี่: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution ในขณะนี้สิ่งนี้จะช่วยให้ฉันสามารถอัตราส่วนอัตราส่วนเฉลี่ยที่คาดหวังของตัวแปรฉันไม่สามารถดูวิธีการทั่วไปแนวคิดนี้เพื่อค้นหาอัตราส่วนสูงสุดที่คาดหวังของตัวแปร $n$ $n$

— แม็กซ์
แหล่งที่มา

ดังที่ whuber ได้ระบุไว้ด้านล่างความคาดหวังของอัตราส่วนของสถิติการสั่งซื้อต่อเนื่องสองรายการไม่ได้มาบรรจบกัน แต่ถ้าเป็นเช่นนั้นหรือถ้าคุณสนใจความแตกต่างให้พูด ... ในความเป็นจริงปัญหาควรลดความซับซ้อนของการหาอัตราส่วน (หรือความแตกต่างแล้วแต่กรณี) ของสถิติลำดับที่สองที่ใหญ่ที่สุดเช่น ... เพียงแค่จากรูปร่างของก้อยปกติ

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$

— wolfies

ความคาดหวังไม่ได้กำหนด

ปล่อยให้เป็น iid ตามการแจกแจงใด ๆ ที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้: มีจำนวนบวกและบวกเช่นนั้น $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq ชั่วโมง x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

ทั้งหมด\ คุณสมบัตินี้เป็นจริงของการแจกแจงแบบต่อเนื่องใด ๆ เช่นการแจกแจงแบบปกติซึ่งความหนาแน่นเป็นแบบต่อเนื่องและไม่เป็นศูนย์ที่จากนั้นทำให้เราสามารถ ใช้เวลาค่าคงที่ใด ๆ ระหว่างและ(0) $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

เพื่อให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้นฉันจะถือว่าและซึ่งทั้งสองเป็นจริงสำหรับการแจกแจงปกติทั้งหมด (หลังสามารถมั่นใจได้โดย rescalingถ้าจำเป็นอดีตถูกนำมาใช้เพื่ออนุญาตให้ดูถูกดูแคลนความน่าจะเป็นง่าย ๆ เท่านั้น) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

ปล่อยให้และให้เราประเมินค่าฟังก์ชันการเอาตัวรอดของอัตราส่วนเช่น $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

ความน่าจะเป็นหลังนั้นคือโอกาสที่ของเกินอย่างแน่นอนหนึ่งอยู่ในช่วงและที่เหลือ(ถ้ามี) เป็น nonpositive ในแง่ของโอกาสนั้นจะได้รับ โดยการแสดงออกพหุนาม $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

เมื่อความไม่เท่าเทียมกันให้ขอบเขตล่างสำหรับสิ่งนี้ซึ่งเป็นสัดส่วนกับแสดงว่า $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

ฟังก์ชันการเอาตัวรอดของมีหางที่มีพฤติกรรมแบบ asymptotically เท่ากับ : นั่นคือสำหรับบางจำนวนบวก $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

ตามคำนิยามความคาดหวังของตัวแปรสุ่มใด ๆ ที่เป็นความคาดหวังของการมีส่วนร่วมในเชิงบวกบวกกับความคาดหวังของส่วนที่เป็นลบของมัน0) เนื่องจากส่วนที่เป็นบวกของความคาดหวัง - ถ้ามี - เป็นส่วนสำคัญของฟังก์ชันการอยู่รอด (จากถึง ) และ $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (เสื้อ) d เสื้อ = \int_{0}^{x} (1 / เสื้อ + โอ (1 / เสื้อ)) d เสื้อ α เข้าสู่ระบบ (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

ส่วนที่เป็นบวกของความคาดหวังของ diverges $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

อาร์กิวเมนต์เดียวกันที่ใช้กับตัวแปรแสดงส่วนที่เป็นลบของ diverges ความคาดหวัง ดังนั้นความคาดหวังของอัตราส่วนจึงไม่มีที่สิ้นสุด: มันไม่ได้กำหนด $-X_i$

— whuber
แหล่งที่มา

+1 ฉันเพิ่งลอง 'ง่าย'

n = 3

$n = 3$ กรณีตัวเองและลองประเมินความคาดหวัง ... และมาถึงข้อสรุปเดียวกัน: อินทิกรัลความคาดหวังไม่ได้มาบรรจบกัน บางที OP อาจจะโยนคำถามในรูปแบบที่แตกต่างกันเช่นความแตกต่างมากกว่าอัตราส่วน

— wolfies