ผลรวมของตัวแปรไม่ต่อเนื่องและตัวแปรสุ่มต่อเนื่องต่อเนื่องหรือผสมกันหรือไม่?

ถ้าเป็นต่อเนื่องและเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องแล้วสิ่งที่เราสามารถพูดเกี่ยวกับการกระจายของ ? มันต่อเนื่องหรือผสมกันY X + $X$$Y$$X+Y$

แล้วผลิตภัณฑ์ล่ะ?$XY$

สมมติว่าถือว่าค่าที่มีการกระจายที่ไม่ต่อเนื่องที่เป็นชุดนับและถือว่าค่าในที่มีความหนาแน่นและ CDF F_Yk ∈ K ( p k ) k ∈ K K Y R f Y F $X$$k \in K$$(p_k)_{k \in K}$$K$$Y$$\mathbb R$$f_Y$$F_Y$

ให้Y เรามี ซึ่งสามารถแยกความแตกต่างเพื่อให้ได้ฟังก์ชันความหนาแน่นสำหรับกำหนดโดย P ( Z ≤ z ) = P ( X + Y ≤ z ) = ∑ k ∈ K P ( Y ≤ z - X ∣ X = k ) P ( X = k ) = ∑ k ∈ K F Y ( z - k ) p k , Z f $Z = X + Y$

$$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$$ $Z$ $$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$$

ตอนนี้ให้และถือว่า0 จากนั้น ซึ่งสามารถแยกความแตกต่างเพื่อรับฟังก์ชั่นความหนาแน่นอีกครั้ง$R = X Y$$p_0 = 0$

$$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$$

อย่างไรก็ตามถ้าดังนั้นซึ่งแสดงให้เห็นว่าในกรณีนี้มีอะตอมที่ 0$p_0 > 0$$\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$$XY$

ปล่อยให้เป็นตัวแปรสุ่มโดยสิ้นเชิงที่มีฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นจำนวนมากโดยที่เป็นชุดแยก (อาจจะนับไม่ถ้วน) ตัวแปรสุ่มสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มีฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้$X$$p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$$\mathcal{X}$$X$

$$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$$

โดยที่คือฟังก์ชัน Dirac delta$\delta$

ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องดังนั้นเป็นตัวแปรสุ่มแบบไฮบริด เมื่อเรารู้ว่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของและเราสามารถคำนวณฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของได้ สมมติว่าและเป็นอิสระฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของได้มาจากการบิดของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและ$Y$$Z := X+Y$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$Z$$f_X$$f_Y$

$$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$$

คำตอบนี้ถือว่าและเป็นอิสระ นี่คือทางออกที่ไม่จำเป็นต้องมีข้อสันนิษฐานนั้น$X$$Y$

แก้ไข:ฉันสมมติว่า "ต่อเนื่อง" หมายถึง "มี pdf" หากต่อเนื่องมีวัตถุประสงค์เพื่อหมายถึง atomless แทนการพิสูจน์จะคล้ายกัน เพียงแค่แทนที่ "Lebesgue null set" ด้วย "singleton set" ในสิ่งต่อไปนี้

---

ให้การสนับสนุนของเป็นชุดนับ\} ฉันจะใช้$X$$\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

บทแทรก:ตัวแปรสุ่มนั้นต่อเนื่องหากสำหรับชุด Borel ที่วัดได้ทั้งหมดด้วย Lebesgue เป็นศูนย์$Z$$P(Z\in E)=0$$E$

พิสูจน์:ใช้ทฤษฎีบทเกอ-เรดอน Nikodym $\square$

เพื่อพิสูจน์ว่าเป็นแบบต่อเนื่องให้ตั้งค่าโมฆะและสังเกตว่า แต่ถ้าหากE-x_k ชุดที่เลื่อนยังคงเป็น Lebesgue null เนื่องจากเป็นแบบต่อเนื่องนี่หมายความว่าดังนั้นผลรวมข้างต้นจึงเป็นศูนย์การพิสูจน์เป็นแบบต่อเนื่อง$X+Y$$E$

$$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$$ $Y+x_k\in E$$Y\in E-x_k$$E-x_k$$Y$$P(Y+x_k\in E)=0$$X+Y$

สำหรับคำถามของผลิตภัณฑ์ตรรกะเดียวกันกับตราบเท่าที่ 0 ถ้าแล้วคือไม่ต่อเนื่องกับ 1 มิฉะนั้นเป็นส่วนผสมที่ไม่น่าสนใจ$P(X=0)=0$$P(X=0)=1$$XY$$P(XY=0)=1$$XY$