ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในลำดับ k ของการทดลอง n ของเบอร์นูลลี

13

ฉันพยายามที่จะหาความน่าจะเป็นที่จะได้ 8 การทดลองในแถวที่ถูกต้องในบล็อก 25 การทดลองคุณมี 8 บล็อกทั้งหมด (25 การทดลอง) เพื่อให้ได้การทดลอง 8 ครั้งที่ถูกต้องในแถว ความน่าจะเป็นของการทดลองใช้ถูกต้องตามการคาดเดาคือ 1/3 หลังจากได้ 8 ในแถวที่ถูกต้องบล็อกจะสิ้นสุด (ดังนั้นการได้รับมากกว่า 8 ในแถวที่ถูกต้องนั้นเป็นไปไม่ได้ในทางเทคนิค) ฉันจะค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นได้อย่างไร ฉันคิดตามลำดับการใช้งาน (1/3) ^ 8 เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะได้ 8 ในแถวที่ถูกต้องมีโอกาส 17 ที่เป็นไปได้ที่จะได้ 8 ต่อเนื่องเป็นแถวในบล็อก 25 การทดลองถ้าฉันคูณ 17 ความเป็นไปได้ * 8 บล็อกที่ฉันได้รับ 136 จะเป็น 1- (1- (1/3) ^ 8) ^ 136 ให้โอกาสฉันที่จะได้ 8 ในแถวที่ถูกต้องในสถานการณ์นี้หรือฉันขาดพื้นฐานบางอย่างที่นี่

probability binomial

— AcidNynex
แหล่งที่มา

1

ฉันเชื่อว่าปัญหาเกี่ยวกับการโต้แย้งที่กำหนดคือเหตุการณ์ที่พิจารณาไม่เป็นอิสระ ตัวอย่างเช่นพิจารณาบล็อกเดียว ถ้าฉันบอกคุณว่า (ก) มีการทำงานไม่มีแปดที่เริ่มต้นที่ตำแหน่ง 6 (ข) มีคือการทำงานเริ่มต้นที่อันดับที่ 7 และ (ค) มีการทำงานไม่มีการเริ่มต้นที่ตำแหน่ง 8 สิ่งที่จะบอกคุณเกี่ยวกับ ความน่าจะเป็นของการวิ่งเริ่มต้นที่ตำแหน่งพูดว่า 9 ถึง 15 หรือไม่

— พระคาร์ดินัล

14

โดยการติดตามของสิ่งที่คุณจะได้รับสูตรที่แน่นอน

ให้เป็นความน่าจะเป็นของความสำเร็จและคือจำนวนความสำเร็จในแถวที่คุณต้องการนับ สิ่งเหล่านี้ได้รับการแก้ไขสำหรับปัญหา ค่าตัวแปรคือจำนวนการทดลองที่เหลืออยู่ในบล็อก และ , จำนวนความสำเร็จต่อเนื่องที่สังเกตได้แล้ว ให้โอกาสในการประสบความสำเร็จในที่สุดประสบความสำเร็จในแถวก่อนการทดลองจะหมดเขียน(เจม) เราพยายามที่(0,25) $p=1/3$ $k=8$ $m$ $j$ $k$ $m$ $f_{p,k}(j,m)$ $f_{1/3,8}(0,25)$

สมมติว่าเราเพิ่งเห็นความสำเร็จของติดต่อกันด้วยการทดลองการทดลองครั้งต่อไปอาจเป็นความสำเร็จโดยมีความน่าจะเป็น - ในกรณีที่เพิ่มขึ้นเป็น -; หรืออื่น ๆ มันคือความล้มเหลวกับความน่าจะเป็น --in กรณีที่จะถูกรีเซ็ตเป็น0ในทั้งสองกรณีลดลง1จากไหน $j^\text{th}$ $m\gt0$ $p$ $j$ $j+1$ $1-p$ $j$ $0$ $m$ $1$

f_{p, k} (j, m) = p f_{p, k} (j + 1, m - 1) + (1 - p) f_{p, k} (0, m - 1) .

$f_{p,k}(j,m) = p f_{p,k}(j+1,m-1) + (1-p)f_{p,k}(0,m-1).$

เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นเรามีผลลัพธ์ที่เห็นได้ชัดสำหรับ ( กล่าวคือเราได้เห็นในแถว) และสำหรับ ( กล่าวคือมีการทดลองไม่เพียงพอที่จะรับในแถว) ตอนนี้มันรวดเร็วและตรงไปตรงมา (โดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกหรือเนื่องจากพารามิเตอร์ของปัญหานี้มีขนาดเล็กมากการเรียกซ้ำ) เพื่อคำนวณ $f_{p,k}(k,m)=1$ $m \ge 0$ $k$ $f_{p,k}(j,m)=0$ $k-j \gt m$ $k$

f_{p, 8} (0, 25) = 18 p^{8} - 17 p^{9} - 45 p^{16} + 81 p^{17} - 36 p^{18} .

$f_{p,8}(0,25) = 18p^8 - 17p^9 - 45p^{16} + 81p^{17}-36p^{18}.$

เมื่ออัตราผลตอบแทนนี้0.0018793 $p=1/3$ $80897 / 43046721 \approx 0.0018793$

Rรหัสที่ค่อนข้างเร็วในการจำลองนี้คือ

hits8 <- function() {
    x <- rbinom(26, 1, 1/3)                # 25 Binomial trials
    x[1] <- 0                              # ... and a 0 to get started with `diff`
    if(sum(x) >= 8) {                      # Are there at least 8 successes?
        max(diff(cumsum(x), lag=8)) >= 8   # Are there 8 successes in a row anywhere?
    } else {
        FALSE                              # Not enough successes for 8 in a row
    }
}
set.seed(17)
mean(replicate(10^5, hits8()))

หลังจาก 3 วินาทีของการคำนวณผลลัพธ์คือ0.00213แม้ว่าสิ่งนี้จะดูสูง แต่ก็มีข้อผิดพลาดมาตรฐาน 1.7 ข้อเท่านั้น ฉันทำซ้ำอีกซึ่งให้ผล : ข้อผิดพลาดมาตรฐานเพียงน้อยกว่าที่คาดไว้ (เป็นการตรวจสอบอีกครั้งเนื่องจากรหัสรุ่นก่อนหน้านี้มีข้อบกพร่องเล็กน้อยฉันจึงวิ่งซ้ำ 400,000 ครั้งในMathematica เพื่อรับประมาณ ) $0.00213$ $10^6$ $0.001867$ $0.3$ $0.0018475$

ผลลัพธ์นี้น้อยกว่าหนึ่งในสิบของค่าประมาณในคำถาม แต่บางทีฉันยังไม่เข้าใจอย่างเต็มที่: การตีความอีกครั้งของ "คุณมี 8 บล็อกทั้งหมด ... เพื่อให้ได้ 8 การทดลองที่ถูกต้องในหนึ่งแถว" คือคำตอบที่ถูกค้นหาเท่ากับ... $1-(1-(1/3)^8)^{136} \approx 0.0205$ $1 - (1 - f_{1/3,8}(0,25))^8) = 0.0149358...$

— whuber
แหล่งที่มา

13

ในขณะที่ @ whuber ของการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกที่ยอดเยี่ยมมีมูลค่าการอ่านรันไทม์ของมันคือเทียบกับจำนวนทั้งหมดของการทดลองและความยาวการทดลองที่ต้องการในขณะที่วิธีการยกกำลังเมทริกซ์คือ(M)) หากมีขนาดใหญ่กว่าวิธีการต่อไปนี้จะเร็วกว่า $\mathcal O(k^2m)$ $m$ $k$ $\mathcal O(k^3\log(m))$ $m$ $k$

วิธีแก้ปัญหาทั้งสองพิจารณาปัญหาเป็นสายโซ่มาร์คอฟที่มีสถานะเป็นตัวแทนของจำนวนการทดลองที่ถูกต้องที่ส่วนท้ายของสตริงจนถึงขณะนี้และสถานะสำหรับการบรรลุการทดลองที่ถูกต้องที่ต้องการในแถว เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงเป็นเช่นนั้นที่เห็นความล้มเหลวด้วยความน่าจะเป็นส่งคุณกลับสู่สถานะ 0 และมิฉะนั้นความน่าจะเป็นที่จะเลื่อนคุณไปสู่สถานะถัดไป (สถานะสุดท้ายคือสถานะที่น่าสนใจ) ด้วยการเพิ่มเมทริกซ์นี้ให้แก่พลังงานที่ค่าในแถวแรกและคอลัมน์สุดท้ายคือความน่าจะเป็นที่จะเห็นหัวในแถว ใน Python: $p$ $1-p$ $n$ $k=8$

import numpy as np

def heads_in_a_row(flips, p, want):
    a = np.zeros((want + 1, want + 1))
    for i in range(want):
        a[i, 0] = 1 - p
        a[i, i + 1] = p
    a[want, want] = 1.0
    return np.linalg.matrix_power(a, flips)[0, want]

print(heads_in_a_row(flips=25, p=1.0 / 3.0, want=8))

ให้ผลตอบแทน 0.00187928367413 ตามต้องการ

— นีลจี
แหล่งที่มา

10

ตามคำตอบนี้ผมจะอธิบายวิธีการมาร์คอฟ-Chain โดย @Neil G Rอีกเล็กน้อยและให้การแก้ปัญหาทั่วไปในการแก้ไขปัญหาดังกล่าวใน ลองแสดงถึงจำนวนที่ต้องการของการทดลองที่ถูกต้องในแต่ละแถวด้วย , จำนวนการทดลองเป็นและการทดลองที่ถูกต้องโดย (ชนะ) และการทดลองที่ไม่ถูกต้องโดย (ล้มเหลว) ในกระบวนการติดตามการทดลองคุณต้องการทราบว่าคุณมีการทดลองที่ถูกต้อง 8 รายการและจำนวนการทดลองที่ถูกต้องในตอนท้ายของลำดับปัจจุบันของคุณหรือไม่ มี 9 สถานะ ( ): $k$ $n$ $W$ $F$ $k+1$

$A$ : เราไม่ได้มีทดลองที่ถูกต้องในแถวยังและการพิจารณาคดีที่ผ่านมาเรนไฮน์ $8$ $F$

$B$ : เราไม่ได้มีทดลองที่ถูกต้องในแถว ๆ และทั้งสองการทดลองที่ผ่านมาเป็นFW $8$ $FW$

$C$ : เราไม่ได้มีทดลองที่ถูกต้องในแถวยังและช่วงสามทดลองเป็นFWW $8$ $FWW$

$\ldots$

$H$ : เราไม่ได้มีทดลองที่ถูกต้องในแถวยังและที่ผ่านมาแปดทดลองเป็นFWWWWWWW $8$ $FWWWWWWW$

$I$ : เรามีการทดลองที่ถูกต้องติดต่อกัน! $8$

ความน่าจะเป็นในการเคลื่อนย้ายไปยังรัฐจากรัฐเป็นและมีความน่าจะเป็นเราอยู่ในรัฐ จากรัฐน่าจะเป็นของการย้ายไปยังรัฐเป็นและมีความน่าจะเป็นเราย้ายกลับไป และอื่น ๆ หากเราอยู่ในสถานะเราอยู่ที่นั่น $B$ $A$ $p=1/3$ $1-p=2/3$ $A$ $B$ $C$ $1/3$ $2/3$ $A$ $I$

จากนี้เราสามารถสร้างเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง (เนื่องจากแต่ละคอลัมน์ของบวกกับและรายการทั้งหมดเป็นค่าบวกเรียกว่าเมทริกซ์สุ่มซ้าย ): $9\times9$ $M$ $M$ $1$ $M$

M = (\begin{matrix} 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 0 \\ 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & 1 \end{matrix})

$M= \begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 1 \end{pmatrix}$

แต่ละคอลัมน์และแถวสอดคล้องกับหนึ่งรัฐ หลังจากการทดลองรายการของให้ความน่าจะเป็นที่จะได้รับจากสถานะ (คอลัมน์) ถึงสถานะ (แถว) ในการทดลองคอลัมน์ขวาสุดสอดคล้องกับสถานะและรายการเดียวคือที่มุมล่างขวา ซึ่งหมายความว่าเมื่อเราอยู่ในสถานะน่าจะเป็นที่จะอยู่ในคือ1เรามีความสนใจในความน่าจะเป็นในการเข้าสู่สถานะจากสถานะในขั้นตอนซึ่งสอดคล้องกับรายการด้านล่างซ้ายของ $n$ $M^{n}$ $j$ $i$ $n$ $I$ $1$ $I$ $I$ $1$ $I$ $A$ $n=25$ $M^{25}$ (เช่น ) ทั้งหมดที่เราต้องทำตอนนี้คือการคำนวณ{25} เราสามารถทำได้ด้วยฟังก์ชั่นเพาเวอร์เมทริกซ์จากแพ็คเกจ : $M^{25}_{91}$ $M^{25}$ Rexpm

library(expm)

k <- 8   # desired number of correct trials in a row
p <- 1/3 # probability of getting a correct trial
n <- 25  # Total number of trials 

# Set up the transition matrix M

M <- matrix(0, k+1, k+1)

M[ 1, 1:k ] <- (1-p)

M[ k+1, k+1 ] <- 1

for( i in 2:(k+1) ) {

  M[i, i-1] <- p

}

# Name the columns and rows according to the states (A-I)

colnames(M) <- rownames(M) <- LETTERS[ 1:(k+1) ]

round(M,2)

     A    B    C    D    E    F    G    H I
A 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0
B 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
C 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
D 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
E 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0
F 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0
G 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0
H 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0
I 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 1

# Calculate M^25

Mn <- M%^%n
Mn[ (k+1), 1 ]
[1] 0.001879284

ความน่าจะเป็นที่จะได้รับจากสถานะไปยังสถานะใน 25 ขั้นตอนคือตามที่กำหนดโดยคำตอบอื่น ๆ $A$ $I$ $0.001879284$

— COOLSerdash
แหล่งที่มา

3

นี่คือรหัส R ที่ฉันเขียนเพื่อจำลองสิ่งนี้:

tmpfun <- function() {
     x <- rbinom(25, 1, 1/3)  
     rx <- rle(x)
     any( rx$lengths[ rx$values==1 ] >= 8 )
}

tmpfun2 <- function() {
    any( replicate(8, tmpfun()) )
}

mean(replicate(100000, tmpfun2()))

ฉันได้รับค่าน้อยกว่าสูตรของคุณเล็กน้อยดังนั้นหนึ่งในเราอาจทำผิดพลาดอยู่ที่ไหนสักแห่ง

— เกร็กสโนว์
แหล่งที่มา

ฟังก์ชั่นของคุณรวมถึงการทดลองที่เป็นไปไม่ได้ที่จะได้ 8 ในแถวที่ถูกต้องหรือไม่ตัวอย่างเช่น "run" เริ่มต้นที่ Trial 20 หรือไม่?

— มิเชล

ส่วนใหญ่แล้วฉันการจำลอง R ของฉันก็ให้คุณค่าที่น้อยลงเช่นกัน ฉันแค่อยากรู้ว่าถ้ามีวิธีแก้ปัญหาพีชคณิตเพื่อแก้ปัญหานี้เป็นปัญหาความน่าจะเป็นง่ายๆในกรณีที่มีคนโต้แย้งการจำลอง

— AcidNynex

1

ฉันคิดว่าคำตอบนี้จะได้รับการปรับปรุงโดยการนำเสนอผลลัพธ์ที่คุณได้รับเพื่อให้สามารถเปรียบเทียบได้ แน่นอนว่ารวมถึงบางอย่างเช่นฮิสโตแกรมนอกจากนี้จะดียิ่งขึ้น! รหัสดูเหมือนจะเหมาะกับฉันได้อย่างรวดเร็วก่อน ไชโย :)

— พระคาร์ดินัล

3

นี่คือการจำลองแบบMathematicaสำหรับแนวทางลูกโซ่มาร์คอฟโปรดทราบว่าMathematicaจัดทำดัชนีโดยไม่ใช่ : $1$ $0$

M = Table[e[i, j] /. {
    e[9, 1] :> 0,
    e[9, 9] :> 1,
    e[_, 1] :> (1 - p),
    e[_, _] /; j == i + 1 :> p,
    e[_, _] :> 0
  }, {i, 1, 9}, {j, 1, 9}];

x = MatrixPower[M, 25][[1, 9]] // Expand

18 p^{8} - 17 p^{9} - 45 p^{16} + 81 p^{17} - 36 p^{18}

$18 p^8 - 17 p^9 - 45 p^{16} + 81 p^{17} - 36 p^{18}$

$p=\frac{1.0}{3.0}$

x /. p -> 1/3 // N

$0.00187928$

สิ่งนี้สามารถประเมินได้โดยตรงโดยใช้ฟังก์ชัน builtin ProbabilityและDiscreteMarkovProcess Mathematica :

Probability[k[25] == 9, Distributed[k, DiscreteMarkovProcess[1, M /. p -> 1/3]]] // N

$0.00187928$

— Hossam Karim
แหล่งที่มา