ปัญหาเอกฐานในรูปแบบการผสมแบบเกาส์เซียน

ในบทที่ 9 ของการจดจำรูปแบบหนังสือและการเรียนรู้ของเครื่องมีส่วนนี้เกี่ยวกับแบบผสมแบบเกาส์:

บอกตามตรงฉันไม่เข้าใจจริง ๆ ว่าทำไมสิ่งนี้จึงสร้างความแปลกประหลาด ใครสามารถอธิบายสิ่งนี้ให้ฉันได้บ้าง ฉันขอโทษ แต่ฉันเป็นแค่ระดับปริญญาตรีและเป็นสามเณรในการเรียนรู้ของเครื่องดังนั้นคำถามของฉันอาจฟังดูไร้สาระ แต่โปรดช่วยฉันด้วย ขอบคุณมาก

หากเราต้องการให้ Gaussian พอดีกับจุดข้อมูลเดียวโดยใช้โอกาสสูงสุดเราจะได้รับ Gaussian ที่แหลมคมมากที่ "ยุบ" ถึงจุดนั้น ความแปรปรวนเป็นศูนย์เมื่อมีเพียงจุดเดียวซึ่งในกรณีแบบเกาส์หลายตัวแปรนำไปสู่เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเอกพจน์ดังนั้นจึงเรียกว่าปัญหาเอกฐาน

เมื่อความแปรปรวนมาถึงศูนย์ความน่าจะเป็นขององค์ประกอบเกาส์ (สูตร 9.15) จะเปลี่ยนไปเป็นอนันต์ สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเมื่อเราใส่ Gaussian เพียงหนึ่งจุดเข้ากับจำนวนจุดเนื่องจากความแปรปรวนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ แต่มันสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อเรามีส่วนผสมของ Gaussians ดังแสดงในหน้าเดียวกันของ PRML

อัปเดต :
หนังสือเล่มนี้เสนอวิธีการสองวิธีในการแก้ไขปัญหาภาวะเอกฐานซึ่ง ได้แก่

1) การรีเซ็ตค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเมื่อภาวะเอกฐานเกิดขึ้น

2) ใช้ MAP แทน MLE โดยเพิ่มก่อนหน้า

จำได้ว่าปัญหานี้ไม่ได้เกิดขึ้นในกรณีของการแจกแจงแบบเกาส์เดียว เพื่อให้เข้าใจถึงความแตกต่างโปรดทราบว่าหากเกาส์เซียนตัวเดียวทรุดตัวลงบนจุดข้อมูลมันจะมีส่วนร่วมในการคูณปัจจัยกับฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นจากจุดข้อมูลอื่น ๆ และปัจจัยเหล่านี้จะเป็นศูนย์อย่างรวดเร็วแบบทวีคูณ กว่าอินฟินิตี้

ฉันยังสับสนในส่วนนี้และนี่คือการตีความของฉัน พกเคส 1D เพื่อความเรียบง่าย

เมื่อ Gaussian เดียว "ยุบ" บนจุดข้อมูล , เช่น, μ = x i , โอกาสโดยรวมจะกลายเป็น:$x_i$$\mu=x_i$

$$p(\mathbf{x}) = p(x_i) p(\mathbf{x}\setminus{i}) = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}) (\prod_{n \neq i}^N \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2}} )$$

คุณเห็นว่าคำศัพท์ทางซ้ายp ( x i ) → ∞ซึ่งเป็นเหมือนกรณีทางพยาธิวิทยาใน GMM แต่คำทางด้านขวาซึ่งเป็นโอกาสของจุดข้อมูลอื่นp ( x ∖ i )ยังคงมีคำเช่นe - ( x n - μ ) $\sigma \to 0$$p(x_i) \to \infty$$p(\mathbf{x}\setminus{i})$ซึ่ง→0เร็วแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเท่ากับσ→0ดังนั้นผลกระทบโดยรวมของความน่าจะเป็นที่จะให้มันเป็นศูนย์$e^{-\frac{(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$\to 0$$\sigma \to 0$

ประเด็นหลักที่นี่คือเมื่อติดตั้ง Gaussian เพียงจุดเดียวจุดข้อมูลทั้งหมดจะต้องแบ่งพารามิเตอร์หนึ่งชุดซึ่งแตกต่างจากกรณีของการผสมที่องค์ประกอบหนึ่งสามารถ "โฟกัส" ที่จุดข้อมูลหนึ่งโดยไม่มีการลงโทษต่อความน่าจะเป็นของข้อมูล .$\mu, \sigma$

คำตอบนี้จะให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นซึ่งนำไปสู่เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเอกพจน์ในช่วงที่เหมาะสมของ GMM กับชุดข้อมูลสาเหตุที่เกิดขึ้นเช่นเดียวกับสิ่งที่เราสามารถทำได้เพื่อป้องกันไม่ให้

ดังนั้นเราจึงควรเริ่มต้นด้วยการสรุปขั้นตอนในระหว่างการปรับแบบจำลองแบบผสมของเกาส์เซียนเป็นชุดข้อมูล

0. กำหนดจำนวนแหล่งที่มา / กลุ่ม (c) ที่คุณต้องการให้พอดีกับข้อมูลของคุณ
1. เริ่มต้นพารามิเตอร์หมายถึง , ความแปรปรวนร่วมΣ c , และ fraction_per_class π cต่อคลัสเตอร์ c $\mu_c$$\Sigma_c$$\pi_c$

$\underline{E-Step}$

2. คำนวณหาแต่ละดาต้าพอยน์ความน่าจะเป็นr ฉันคดาต้าพอยน์x ฉันเป็นของคลัสเตอร์ c ด้วย: r i c = π c N ( x i | μ c , Σ c$x_i$$r_{ic}$$x_i$
   
   โดยที่N(x|μ,Σ)อธิบาย mulitvariate Gaussian ด้วย: N(xi,μc,Σc)= $$r_{ic} = \frac{\pi_c N(\boldsymbol{x_i} \ | \ \boldsymbol{\mu_c},\boldsymbol{\Sigma_c})}{\Sigma_{k=1}^K \pi_k N(\boldsymbol{x_i \ | \ \boldsymbol{\mu_k},\boldsymbol{\Sigma_k}})}$$ $N(\boldsymbol{x} \ | \ \boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$
   
   Rฉันคจะช่วยให้เราแต่ละ DataPointxฉันวัดของ:PRoขขฉันลิตรฉันทีวายทีเอชทีxibelongstocla $$N(\boldsymbol{x_i},\boldsymbol{\mu_c},\boldsymbol{\Sigma_c}) \ = \ \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}|\Sigma_c|^{\frac{1}{2}}}exp(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x_i}-\boldsymbol{\mu_c})^T\boldsymbol{\Sigma_c^{-1}}(\boldsymbol{x_i}-\boldsymbol{\mu_c}))$$
   
   $r_{ic}$$x_i$เพราะฉะนั้นถ้าxฉันอยู่ใกล้กับหนึ่งคเกาส์ก็จะได้รับสูงRฉันคค่า สำหรับ Gaussian นี้และมีค่าค่อนข้างต่ำ M-Step_ สำหรับแต่ละกลุ่ม c: คำนวณน้ำหนักรวมm$\frac{Probability \ that \ x_i \ belongs \ to \ class \ c}{Probability \ of \ x_i \ over \ all \ classes}$$x_i$$r_{ic}$
   
   $\underline{M-Step}$
   
   $m_c$(พูดหลวม ๆ ส่วนของคะแนนที่จัดสรรให้กับคลัสเตอร์ c) และอัปเดต , μ cและΣ cโดยใช้r i cด้วย: m c = Σ ฉันr ฉัน c π c = m $\pi_c$$\mu_c$$\Sigma_c$$r_{ic}$
   
   $$m_c \ = \ \Sigma_i r_ic$$
   μc= $$\pi_c \ = \ \frac{m_c}{m}$$
   Σc= $$\boldsymbol{\mu_c} \ = \ \frac{1}{m_c}\Sigma_i r_{ic} \boldsymbol{x_i}$$
   ว่าคุณต้องใช้วิธีการที่ได้รับการปรับปรุงในสูตรสุดท้ายนี้ ทำซ้ำขั้นตอน E และ M ซ้ำแล้วซ้ำอีกจนกระทั่งฟังก์ชันบันทึกความน่าจะเป็นของโมเดลของเรามาบรรจบกันที่คำนวณความน่าจะเป็นบันทึกด้วย: lnp(X|π,μ,Σ)=Σ N ฉัน= 1 ln(Σ $$\boldsymbol{\Sigma_c} \ = \ \frac{1}{m_c}\Sigma_i r_{ic}(\boldsymbol{x_i}-\boldsymbol{\mu_c})^T(\boldsymbol{x_i}-\boldsymbol{\mu_c})$$
   
   
   
   
   $$ln \ p(\boldsymbol{X} \ | \ \boldsymbol{\pi},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) \ = \ \Sigma_{i=1}^N \ ln(\Sigma_{k=1}^K \pi_k N(\boldsymbol{x_i} \ | \ \boldsymbol{\mu_k},\boldsymbol{\Sigma_k}))$$

$X$$AX = XA = I$

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$A$$X$$I$$\boldsymbol{\Sigma_c^{-1}}$
$\boldsymbol{0}$เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมข้างต้นถ้าหลายตัวแปรแบบเกาส์ตกไปหนึ่งจุดในระหว่างการวนซ้ำระหว่างขั้นตอน E และ M สิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้ถ้าเรามีชุดข้อมูลที่เราต้องการให้พอดีกับ 3 gaussians แต่จริง ๆ แล้วประกอบด้วยสองคลาสเท่านั้น (กลุ่ม) ที่พูดอย่างหลวม ๆ สองสาม gaussians เหล่านี้จับกลุ่มของตัวเองในขณะที่ gussian สุดท้ายเท่านั้นจัดการมัน เพื่อจับจุดเดียวที่มันอยู่ เราจะดูว่าลักษณะนี้เป็นอย่างไรด้านล่าง แต่ทีละขั้นตอน: สมมติว่าคุณมีชุดข้อมูลสองมิติซึ่งประกอบด้วยสองกลุ่ม แต่คุณไม่ทราบว่าและต้องการให้พอดีกับแบบจำลอง gaussian ทั้งสามแบบนั่นคือ c = 3 คุณเริ่มต้นพารามิเตอร์ของคุณในขั้นตอน E และพล็อต gaussians ด้านบนของข้อมูลของคุณซึ่งดู smth เช่น (คุณอาจเห็นกลุ่มกระจัดกระจายสองกลุ่มที่มุมล่างซ้ายและขวาบน): $\mu_c$$\pi_c$

$r_{ic}$$cov$$r_{ic}$
$$r_{ic} = \frac{\pi_c N(\boldsymbol{x_i} \ | \ \boldsymbol{\mu_c},\boldsymbol{\Sigma_c})}{\Sigma_{k=1}^K \pi_k N(\boldsymbol{x_i \ | \ \boldsymbol{\mu_k},\boldsymbol{\Sigma_k}})}$$ $r_{ic}$$r_{ic}$$x_i$$x_i$$x_i$$r_{ic}$$x_i$$r_{ic}$$r_{ic}$ $$\boldsymbol{\Sigma_c} \ = \ \Sigma_i r_{ic}(\boldsymbol{x_i}-\boldsymbol{\mu_c})^T(\boldsymbol{x_i}-\boldsymbol{\mu_c})$$ $r_{ic}$$x_i$$(\boldsymbol{x_i}-\boldsymbol{\mu_c})$$\boldsymbol{\mu_c}$$x_i$$j$$\boldsymbol{\mu_j}$$\boldsymbol{\mu_j} = \boldsymbol{x_n}$$r_{ic}$

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$\boldsymbol{0}$$\boldsymbol{0}$มดลูก สิ่งนี้ทำได้โดยการเพิ่มค่าน้อยมาก (ในGaussianMixture ของ sklearnค่านี้ถูกตั้งค่าเป็น 1e-6) ไปยัง digonal ของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่นในการป้องกันภาวะเอกฐานเช่นสังเกตเมื่อเกาส์เซียนยุบลงและตั้งค่าเฉลี่ยและ / หรือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นค่าสูงใหม่ที่ไม่ได้ตั้งใจ การทำให้เป็นมาตรฐานความแปรปรวนร่วมนี้ยังนำไปใช้ในโค้ดด้านล่างซึ่งคุณจะได้รับผลลัพธ์ที่อธิบายไว้ บางทีคุณต้องรันโค้ดหลาย ๆ ครั้งเพื่อรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเอกพจน์ตั้งแต่นั้นมา สิ่งนี้จะต้องไม่เกิดขึ้นในแต่ละครั้ง แต่ขึ้นอยู่กับการตั้งค่าเริ่มต้นของ gaussians

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import style
style.use('fivethirtyeight')
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs
import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal


# 0. Create dataset
X,Y = make_blobs(cluster_std=2.5,random_state=20,n_samples=500,centers=3)

# Stratch dataset to get ellipsoid data
X = np.dot(X,np.random.RandomState(0).randn(2,2))


class EMM:

    def __init__(self,X,number_of_sources,iterations):
        self.iterations = iterations
        self.number_of_sources = number_of_sources
        self.X = X
        self.mu = None
        self.pi = None
        self.cov = None
        self.XY = None



    # Define a function which runs for i iterations:
    def run(self):
        self.reg_cov = 1e-6*np.identity(len(self.X[0]))
        x,y = np.meshgrid(np.sort(self.X[:,0]),np.sort(self.X[:,1]))
        self.XY = np.array([x.flatten(),y.flatten()]).T


        # 1. Set the initial mu, covariance and pi values
        self.mu = np.random.randint(min(self.X[:,0]),max(self.X[:,0]),size=(self.number_of_sources,len(self.X[0]))) # This is a nxm matrix since we assume n sources (n Gaussians) where each has m dimensions
        self.cov = np.zeros((self.number_of_sources,len(X[0]),len(X[0]))) # We need a nxmxm covariance matrix for each source since we have m features --> We create symmetric covariance matrices with ones on the digonal
        for dim in range(len(self.cov)):
            np.fill_diagonal(self.cov[dim],5)


        self.pi = np.ones(self.number_of_sources)/self.number_of_sources # Are "Fractions"
        log_likelihoods = [] # In this list we store the log likehoods per iteration and plot them in the end to check if
                             # if we have converged

        # Plot the initial state    
        fig = plt.figure(figsize=(10,10))
        ax0 = fig.add_subplot(111)
        ax0.scatter(self.X[:,0],self.X[:,1])
        for m,c in zip(self.mu,self.cov):
            c += self.reg_cov
            multi_normal = multivariate_normal(mean=m,cov=c)
            ax0.contour(np.sort(self.X[:,0]),np.sort(self.X[:,1]),multi_normal.pdf(self.XY).reshape(len(self.X),len(self.X)),colors='black',alpha=0.3)
            ax0.scatter(m[0],m[1],c='grey',zorder=10,s=100)


        mu = []
        cov = []
        R = []


        for i in range(self.iterations):               

            mu.append(self.mu)
            cov.append(self.cov)


            # E Step
            r_ic = np.zeros((len(self.X),len(self.cov)))

            for m,co,p,r in zip(self.mu,self.cov,self.pi,range(len(r_ic[0]))):
                co+=self.reg_cov
                mn = multivariate_normal(mean=m,cov=co)
                r_ic[:,r] = p*mn.pdf(self.X)/np.sum([pi_c*multivariate_normal(mean=mu_c,cov=cov_c).pdf(X) for pi_c,mu_c,cov_c in zip(self.pi,self.mu,self.cov+self.reg_cov)],axis=0)
            R.append(r_ic)

            # M Step

            # Calculate the new mean vector and new covariance matrices, based on the probable membership of the single x_i to classes c --> r_ic
            self.mu = []
            self.cov = []
            self.pi = []
            log_likelihood = []

            for c in range(len(r_ic[0])):
                m_c = np.sum(r_ic[:,c],axis=0)
                mu_c = (1/m_c)*np.sum(self.X*r_ic[:,c].reshape(len(self.X),1),axis=0)
                self.mu.append(mu_c)

                # Calculate the covariance matrix per source based on the new mean
                self.cov.append(((1/m_c)*np.dot((np.array(r_ic[:,c]).reshape(len(self.X),1)*(self.X-mu_c)).T,(self.X-mu_c)))+self.reg_cov)
                # Calculate pi_new which is the "fraction of points" respectively the fraction of the probability assigned to each source 
                self.pi.append(m_c/np.sum(r_ic)) 



            # Log likelihood
            log_likelihoods.append(np.log(np.sum([k*multivariate_normal(self.mu[i],self.cov[j]).pdf(X) for k,i,j in zip(self.pi,range(len(self.mu)),range(len(self.cov)))])))



        fig2 = plt.figure(figsize=(10,10))
        ax1 = fig2.add_subplot(111) 
        ax1.plot(range(0,self.iterations,1),log_likelihoods)
        #plt.show()
        print(mu[-1])
        print(cov[-1])
        for r in np.array(R[-1]):
            print(r)
        print(X)

    def predict(self):
        # PLot the point onto the fittet gaussians
        fig3 = plt.figure(figsize=(10,10))
        ax2 = fig3.add_subplot(111)
        ax2.scatter(self.X[:,0],self.X[:,1])
        for m,c in zip(self.mu,self.cov):
            multi_normal = multivariate_normal(mean=m,cov=c)
            ax2.contour(np.sort(self.X[:,0]),np.sort(self.X[:,1]),multi_normal.pdf(self.XY).reshape(len(self.X),len(self.X)),colors='black',alpha=0.3)




EMM = EMM(X,3,100)     
EMM.run()
EMM.predict()

Imho คำตอบทั้งหมดพลาดข้อเท็จจริงพื้นฐาน หากมีใครดูที่พื้นที่พารามิเตอร์สำหรับแบบจำลองการผสมแบบเกาส์พื้นที่นี้จะเป็นเอกพจน์ตามช่องว่างย่อยที่มีจำนวนส่วนประกอบน้อยกว่าในการผสม นั่นหมายความว่าอนุพันธ์นั้นเป็นศูนย์โดยอัตโนมัติและโดยทั่วไปแล้ว subspace ทั้งหมดจะปรากฏเป็น mle ยิ่งไปกว่านั้นในเชิงปรัชญาสเปซย่อยที่น้อยกว่าค่าความแปรปรวนร่วมแบบเต็มคือขอบเขตของพื้นที่พารามิเตอร์และหนึ่งควรจะสงสัยเมื่อ mle เกิดขึ้นในขอบเขต - มันมักจะแสดงให้เห็นว่ามีพื้นที่พารามิเตอร์ขนาดใหญ่ที่ซุ่มอยู่รอบ ๆ mle 'จริง' มีหนังสือชื่อว่า "Algebraic Statistics" โดย Drton, Sturmfeld และ Sullivant ปัญหานี้ถูกกล่าวถึงในหนังสือเล่มนี้โดยละเอียด หากคุณอยากรู้อยากเห็นจริง ๆ คุณควรดูที่

สำหรับ Gaussian เดียวค่าเฉลี่ยอาจเท่ากับหนึ่งในจุดข้อมูล ($x_n$ ตัวอย่าง) จากนั้นมีคำต่อไปนี้ในฟังก์ชันความน่าจะเป็น:

$$\begin{equation} {\cal N}(x_n|x_n,\sigma_j 1\!\!1)\rightarrow \lim_{\sigma_j\rightarrow x_n}\frac{1}{(2\pi)^{1/2}\sigma_j} \exp \left( -\frac{1}{\sigma_j}|x_n-\sigma_j|^2 \right)= \frac{1}{(2\pi)^{1/2}\sigma_j} \end{equation}$$ ขีด จำกัด $\sigma_j\rightarrow 0$ ตอนนี้มีความแตกต่างอย่างชัดเจนตั้งแต่การโต้แย้งของผู้แทนหายตัวไป

อย่างไรก็ตามสำหรับจุดข้อมูล $x_m$ แตกต่างจากค่าเฉลี่ย $\sigma_j$, เราจะมี

$$\begin{equation} {\cal N}(x_m|x_m,\sigma_j 1\!\!1)= \frac{1}{(2\pi)^{1/2}\sigma_j} \exp \left( -\frac{1}{\sigma_j}|x_m-\sigma_j|^2 \right) \end{equation}$$ และตอนนี้การโต้แย้งของ diverges ชี้แจง (และเป็นลบ) ในวงเงิน $\sigma_j\rightarrow 0$. ดังนั้นผลลัพธ์ของคำสองคำนี้ในฟังก์ชันความน่าจะเป็นจะหายไป