สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่างเป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของประชากรหรือไม่?

มันเป็นความจริงที่เป็นประมาณการที่เป็นกลางสำหรับ ? นั่นคือ $R_{X,Y}$ $\rho_{X,Y}$

E [R_{X, Y}] = ρ_{X, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

ถ้าไม่ใช่ตัวประมาณที่เป็นกลางสำหรับคืออะไร? (บางทีอาจมีตัวประมาณค่าแบบไม่เอนเอียงมาตรฐานที่ใช้หรือไม่นอกจากนี้มันเหมือนกับความแปรปรวนตัวอย่างแบบไม่เอนเอียงซึ่งเราทำการปรับเปลี่ยนความง่ายของการคูณความแปรปรวนตัวอย่างแบบเอนเอียงโดยหรือไม่) $\rho_{X,Y}$ $\frac{n}{n-1}$

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของประชากรถูกกำหนดเป็นในขณะที่ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่างถูกกำหนดเป็น

ρ_{X, Y} = \frac{E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{E [{(X - μ_{X})}^{2}]} \sqrt{E [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

R_{X, Y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation

— Kenny LJ
แหล่งที่มา

A (บิตที่คล้ายกัน) คำถามเกี่ยวกับการประมาณค่าของ\

ρ

$\rho$

— ttnphns

คำถาม "ตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงคืออะไร" สันนิษฐานว่ามีเพียงหนึ่งและมีเพียงอันเดียว ก่อนหน้านี้ไม่มีเหตุผลใดที่จะคิดอย่างนั้น

$\qquad$

— Michael Hardy

@MichaelHardy: ฉันแก้ไขแล้ว ขอบคุณสำหรับการชี้ให้เห็น

— Kenny LJ

เพิ่งสะดุดกับหัวข้อนี้และฉันคิดว่านี่อาจจะเป็นที่น่าสนใจอ่านsciencedirect.com/science/article/pii/S0167715298000352 (ฉันยังไม่ได้อ่านมันเอง tbh)

— martn

ค่าความแปรปรวนขั้นต่ำแบบไม่เอนเอียง: projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706717

— Sextus Empiricus

นี่ไม่ใช่คำถามง่าย ๆ แต่มีบางนิพจน์ที่ใช้ได้ หากคุณกำลังพูดถึงการกระจายปกติโดยเฉพาะแล้วคำตอบคือไม่ ! เรามี

E \hat{ρ} = ρ [1 - \frac{(1 - ρ^{2})}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

$n^{-2}$

$\rho = 0$ $|\rho| = 1$ $\frac{1}{n}$

$\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$

— JohnK
แหล่งที่มา

อาจมีหลายเงื่อนไขในการแสดงออกข้างต้น แต่ "เงื่อนไขอนันต์" จะมีบางเงื่อนไขซึ่งแต่ละอนันต์

$\qquad$

— Michael Hardy

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$

| 1 |

$|1|$

สำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องไม่มีใครทราบว่ามีผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับการแจกแจงอื่น ๆ นอกเหนือจาก 2D ปกติหรือไม่?

— Riemann1337