ผลรวมและผลผลิตของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสองตัวนั้นเป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมหรือไม่?

สมมติว่าฉันมีความแปรปรวนเมทริกซ์และYตัวเลือกใดในตัวเลือกเหล่านี้คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเช่นกัน$X$$Y$

1. $X+Y$
2. $X^2$
3. $XY$

---

ฉันมีปัญหานิดหน่อยที่จะเข้าใจว่าอะไรคือสิ่งที่จำเป็นสำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ฉันคิดว่ามันมีความหมายว่าเช่นถ้าและที่ 1 จริงถือเราควรมีโดยที่และเป็นตัวแปรสุ่มอื่น ๆ อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถมองเห็นสาเหตุที่จะถือเป็นจริงสำหรับหนึ่งในสามตัวเลือก ข้อมูลเชิงลึกใด ๆ จะได้รับการพิจารณาY = cov ( Y 1 , Y 2 ) cov ( X 1 , X 2 ) + cov ( Y 1 , Y 2 ) = cov ( Z 1 , Z 2 ) Z 1 Z 2 $X=\operatorname{cov}(X_1,X_2)$$Y=\operatorname{cov}(Y_1,Y_2)$$\operatorname{cov}(X_1,X_2) + \operatorname{cov}(Y_1,Y_2) = \operatorname{cov}(Z_1, Z_2)$$Z_1$$Z_2$

พื้นหลัง

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสำหรับเวกเตอร์ของตัวแปรสุ่มรวบรวมขั้นตอนการคำนวณความแปรปรวนของการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มเหล่านั้น กฎคือว่าสำหรับเวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์ , X = ( X 1 , X 2 , … , X n ) ′ λ = ( λ 1 , … , λ n$\mathbb{A}$$X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)^\prime$$\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

$$\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.\tag{1}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งกฎการคูณเมทริกซ์อธิบายกฎของผลต่าง

คุณสมบัติสองประการของนั้นชัดเจนและชัดเจน:$\mathbb{A}$

1. เนื่องจากความแปรปรวนเป็นความคาดหวังของค่ากำลังสองพวกเขาจึงไม่มีทางเป็นลบได้ ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์ทั้งหมด ,เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมต้องไม่เป็นลบแน่นอน0 ≤ Var ( λ X ) = λ λ$\lambda$

   $$0 \le \operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.$$

2. ความแปรปรวนเป็นเพียงตัวเลข - หรือถ้าคุณอ่านสูตรเมทริกซ์อย่างแท้จริงมันจะเป็นคูณเมทริกซ์ ดังนั้นพวกเขาจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อคุณเปลี่ยนพวกเขา Transposingให้ เนื่องจากสิ่งนี้มีไว้สำหรับ ,จะต้องมีค่าทรานสโพสมัน : เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมจะต้องสมมาตร( 1 ) λ λ ' = Var ( λ X ) = Var ( λ X ) ' = ( λ λ ' ) ' = λ ' λ ' λ A A$1\times 1$$(1)$

   $$\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime = \operatorname{Var}(\lambda X) = \operatorname{Var}(\lambda X) ^\prime = \left(\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime\right)^\prime = \lambda \mathbb{A}^\prime \lambda ^\prime.$$ $\lambda$$\mathbb{A}$$\mathbb{A}^\prime$

ผลลัพธ์ที่ลึกกว่าคือเมทริกซ์สมมาตร$\mathbb{A}$ที่ไม่เป็นลบแน่นอนคือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม นี่หมายความว่ามีตัวแปรสุ่มเวกเตอร์ที่มีค่ามีเป็นความแปรปรวนร่วม เราอาจแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนนี้โดยการสร้างXวิธีหนึ่งคือสังเกตว่าฟังก์ชันความหนาแน่น (หลายตัวแปร)พร้อมคุณสมบัติมีสำหรับความแปรปรวนร่วม (จำเป็นต้องใช้ความละเอียดอ่อนบางอย่างเมื่อไม่สามารถย้อนกลับได้ - แต่นั่นเป็นเพียงรายละเอียดทางเทคนิค) A Xf( x 1 ,…, x n )บันทึก(f)∝-$X$$\mathbb{A}$$X$$f(x_1,\ldots, x_n)$

$$\log(f) \propto -\frac{1}{2} (x_1,\ldots,x_n)\mathbb{A}^{-1}(x_1,\ldots,x_n)^\prime$$ $\mathbb{A}$$\mathbb{A}$

โซลูชั่น

ปล่อยและเป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม เห็นได้ชัดว่าพวกมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และถ้าผลรวมของพวกเขาคือการทำให้รู้สึกใด ๆ พวกเขาจะต้องมีมิติเดียวกัน เราต้องการตรวจสอบเพียงสองคุณสมบัติเท่านั้น$\mathbb{X}$$\mathbb{Y}$

1. ผลรวม.

   • สมมาตร แสดง ผลรวมนั้นสมมาตร $$(\mathbb{X}+\mathbb{Y})^\prime = \mathbb{X}^\prime + \mathbb{Y}^\prime = (\mathbb{X} + \mathbb{Y})$$
   • ความไม่แน่นอนเชิงลบ ให้เป็นเวกเตอร์ใดก็ได้ จากนั้นพิสูจน์จุดโดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของการคูณเมทริกซ์$\lambda$ $$\lambda(\mathbb{X}+\mathbb{Y})\lambda^\prime = \lambda \mathbb{X}\lambda^\prime + \lambda \mathbb{Y}\lambda^\prime \ge 0 + 0 = 0$$

2. ฉันปล่อยให้สิ่งนี้เป็นการออกกำลังกาย

3. อันนี้ช่างยุ่งยาก วิธีหนึ่งที่ฉันใช้ในการคิดผ่านปัญหาเมทริกซ์ที่ท้าทายคือทำการคำนวณด้วยเมทริกซ์มีบางอย่างร่วมกันฝึกอบรมคุ้นเคยแปรปรวนขนาดนี้เช่นมีกับและ0 ข้อกังวลคืออาจไม่แน่นอน: นั่นคือมันสามารถสร้างค่าลบเมื่อคำนวณความแปรปรวนได้หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นเราควรมีสัมประสิทธิ์เชิงลบในเมทริกซ์ ที่แสดงให้เห็นพิจารณาสำหรับ1 เพื่อให้ได้สิ่งที่น่าสนใจเราอาจเริ่มต้นด้วยเมทริกซ์$2\times 2$

   $$\pmatrix{a & b \\ b & a}$$ $a^2 \ge b^2$$a \ge 0$$\mathbb{XY}$ $$\mathbb{X} = \pmatrix{a & -1 \\ -1 & a}$$ $a \ge 1$$\mathbb{Y}$ด้วยโครงสร้างที่ดูแตกต่าง การฝึกอบรมในแนวทแยงมาใจเช่นกับ0 (สังเกตว่าเราอาจเลือกสัมประสิทธิ์บางอย่างเช่นและได้อย่างอิสระเพราะเราสามารถ rescale รายการทั้งหมดในเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมใด ๆ โดยไม่ต้องเปลี่ยนคุณสมบัติพื้นฐานสิ่งนี้ช่วยลดความยุ่งยากในการค้นหาตัวอย่างที่น่าสนใจ) $$\mathbb{Y} = \pmatrix{b & 0 \\ 0 & 1}$$ $b\ge 0$$-1$$1$

   ฉันปล่อยให้คุณคำนวณแล้วทดสอบว่ามันคือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเสมอสำหรับค่าและอนุญาตหรือไม่$\mathbb{XY}$$a$$b$

เมทริกซ์ที่แท้จริงคือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมถ้าหากมันเป็นสมการกึ่งบวกแน่นอน

คำแนะนำ:

1) ถ้าและเป็นสมมาตรสมมาตรหรือไม่ หากสำหรับและสำหรับใด ๆคุณสามารถสรุปเกี่ยวกับอย่างไรY X + Y z T X z ≥ 0 z z T Y z ≥ 0 z z T ( X + Y ) $X$$Y$$X+Y$$z^TX z \ge 0$$z$$z^TY z \ge 0$$z$$z^T(X+Y)z$

2) ถ้าสมมาตรคือสมมาตรหรือไม่ หากค่าลักษณะเฉพาะของไม่เป็นลบคุณสามารถสรุปเกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะของอย่างไรX 2 X X $X$$X^2$$X$$X^2$

3) ถ้าและสมมาตรคุณสามารถสรุปว่านั้นสมมาตรหรือคุณสามารถหาตัวอย่างเคาน์เตอร์ได้หรือไม่?Y X $X$$Y$$XY$