สัญชาตญาณเบื้องหลังการกระจายอำนาจกฎหมาย

ฉันรู้ว่าไฟล์ pdf ของการแจกแจงกฎกำลังคือ

$$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$$

แต่มันหมายความว่าอย่างไรตัวอย่างเช่นถ้าราคาหุ้นเป็นไปตามการกระจายของกฎหมายพลังงาน นี่หมายความว่าการสูญเสียอาจสูงมาก แต่ไม่บ่อยนัก?

นี่คือการแจกแจงแบบเทลด์จำนวนมากเนื่องจาก cdf คือ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะเกินx,(x/xนาที)1-αสามารถทำโดยพลใกล้กับ1โดยเลือกที่เหมาะสมของα ตัวอย่างเช่นหากต้องการความน่าจะเป็นที่มากกว่า10uxminอย่างน้อย0.9อย่างใดอย่างหนึ่งควรเลือกαให้มากที่สุด 1-log10(0.9)/u เส้นโค้งที่แสดงด้านล่างโดยแกนแรกถูกปรับโดย

$$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$$ $x$$(x/x_\min)^{1-\alpha}$$1$$\alpha$$10^u x_\min$$0.9$$\alpha$ $$1-\log_{10}(0.9)/u$$ ไม่ใช่ 10 u $u$ ... $10^u x_\min$

มันไม่ได้เป็นแหล่ง peer-reviewed แต่ผมชอบบันทึกนี้โดยมหาวิทยาลัยเชียงใหม่สถิติศาสตราจารย์คอสมาชาลิซีี เขายังเป็นผู้เขียนบทความนี้เกี่ยวกับการประเมินสิ่งต่าง ๆ จากข้อมูล

กฎหมายพลังงานกระดาษในสาขาเศรษฐศาสตร์และการเงินอาจช่วยเพิ่มสัญชาตญาณเกี่ยวกับกฎหมายพลังงาน ซาเวียร์ Gabaix กล่าวว่ากฎหมายพลังงาน (PL) เป็นรูปแบบที่ดำเนินการโดยระเบียบปฏิบัติเชิงประจักษ์ที่น่าแปลกใจจำนวนมากในด้านเศรษฐศาสตร์และการเงิน การตรวจสอบของเขาสำรวจ PLs เอกสารเชิงประจักษ์เกี่ยวกับรายได้และความมั่งคั่งขนาดของเมืองและ บริษัท ผลตอบแทนการลงทุนในตลาดหุ้นปริมาณการซื้อขายการค้าระหว่างประเทศและผู้บริหารจ่าย

ปรีชาสำหรับการแจกแจงพาเรโต

Pareto (วิกิพีเดีย) เดิมอธิบายการจัดสรรความมั่งคั่งในหมู่บุคคล: ส่วนใหญ่ของความมั่งคั่งของสังคมใด ๆ ที่เป็นเจ้าของโดยคนร้อยละขนาดเล็ก ความคิดของเขาแสดงออกได้ง่ายขึ้นว่าเป็นหลักการ Pareto หรือ "กฎ 80-20" กล่าวว่า 20% ของประชากรควบคุม 80% ของความมั่งคั่ง

หางด้านขวาของการกระจายรายได้และความมั่งคั่งมักจะมีลักษณะคล้ายกับพาเรโต

หากการกระจายรายได้คือ Pareto คุณจะได้รับนิพจน์อย่างง่ายสำหรับส่วนแบ่งสูงสุด 1% หรือ 10% สูงสุด จากนั้นส่วนแบ่งเปอร์เซ็นต์ไทล์อันดับสูงสุดของรายได้รวมสามารถรับได้ดังนี้:

$$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$$

$\alpha \geq 1$$\alpha$$\alpha=2$$\alpha=3$

$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$$Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$$X$มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลในสเกลลอการิทึม

$Y$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

We can see from this hazard characterisation that $\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ for any small values of $\ln \delta$. Notice that this probability does not depend on the conditioning value $x$, which is the result of the constant-hazard property. Hence, for any conditioning values $x, x' > x_\min$, and any small value $\ln \delta$, we have:

$$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$$

Hence, we see that the power-law can be characterised by the fact that this conditional probability is approximately the same regardless of the conditioning point. In the context of stock prices, if these follow a power-law then we can say that, the probability that the stock will "rise" by some proportion is not dependent on its present value$^\dagger$.

---

$^\dagger$ We use "rise" loosely here, since we are talking about a single random variable, and we have not modelled a time-series of stock prices. Within out present context we refer to the probability of a "rise" in the stock price in the sense of a conditional probability that the price is within some interval above a lower bound, conditional on this lower bound.