วิธีการกำหนดเขตการปฏิเสธเมื่อไม่มี UMP

พิจารณาโมเดลการถดถอยเชิงเส้น

,$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta}+\mathbf{u}$

,$\mathbf{u}\sim N(\mathbf{0},\sigma^2\mathbf{I})$

0$E(\mathbf{u}\mid\mathbf{X})=\mathbf{0}$

ขอ VS H 1 : σ 2 0 ≠ σ 2$H_0: \sigma_0^2=\sigma^2$$H_1: \sigma_0^2\neq\sigma^2$

เราสามารถอนุมานได้ว่าที่วันที่ฉันm(X)=n×k และเอ็มเอ็กซ์เป็นสัญกรณ์ปกติสำหรับเมทริกซ์สังหาร,MXY= Yที่ YคือตัวแปรYถดถอยบนX$\frac{\mathbf{y}^T\mathbf{M_X}\mathbf{y}}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-k)$$dim(\mathbf{X})=n\times k$$\mathbf{M_X}$$\mathbf{M_X}\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}$$\hat{\mathbf{y}}$$\mathbf{y}$$\mathbf{X}$

หนังสือที่ฉันอ่านระบุดังต่อไปนี้:

ก่อนหน้านี้ฉันเคยถามว่าควรใช้เกณฑ์ใดในการกำหนดเขตการปฏิเสธ (RR) ดูคำตอบสำหรับคำถามนี้และสิ่งสำคัญอันดับแรกคือการเลือก RR ที่ทำให้การทดสอบมีประสิทธิภาพมากที่สุด

ในกรณีนี้หากมีทางเลือกอื่นที่เป็นสมมุติฐานประกอบแบบทวิภาคีมักจะไม่มีการทดสอบ UMP นอกจากนี้จากคำตอบที่ให้ไว้ในหนังสือผู้แต่งจะไม่แสดงว่าพวกเขาศึกษาพลังของ RR ของพวกเขาหรือไม่ อย่างไรก็ตามพวกเขาเลือก RR สองด้าน ทำไมเป็นเช่นนั้นเนื่องจากสมมติฐานไม่ได้กำหนด 'เพียงฝ่ายเดียว' เพื่อกำหนด RR

แก้ไข: ภาพนี้อยู่ในคู่มือการแก้ปัญหาของหนังสือเล่มนี้เป็นวิธีการแก้ปัญหาในการออกกำลังกาย 4.14

ง่ายต่อการทำงานครั้งแรกผ่านกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยเป็นที่รู้จักและสมมติฐานว่างจึงง่าย จากนั้นสถิติที่เพียงพอคือโดยที่zคือส่วนที่เหลือ; การกระจายของตนภายใต้ null ยังเป็นไคสแควร์ปรับขนาดโดยσ 2 0และมีองศาอิสระเท่ากับขนาดของกลุ่มตัวอย่างn$T=\sum z^2$$z$$\sigma^2_0$$n$

เขียนอัตราส่วนของความน่าจะเป็นภายใต้ & σ = σ 2และยืนยันว่ามันเป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นของTสำหรับσ 2 > σ 1 :$\sigma=\sigma_1$$\sigma=\sigma_2$$T$$\sigma_2 > \sigma_1$

$$\ell(\sigma_2;T,n)-\ell(\sigma_1;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right) + \frac{T}{n} \cdot \left(\frac{1}{\sigma_1^2} - \frac{1}{\sigma_2^2}\right) \right]$$ $T$$\sigma_2>\sigma_1$

$H_0:\sigma=\sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$$H_0:\sigma = \sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$$H_0:\sigma = \sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$$\sigma>\sigma_0$$\sigma<\sigma_0$

$\sigma=\hat\sigma$$\sigma$$\sigma=\sigma_0$

$\hat\sigma^2=\frac{T}{n}$

$$\ell(\hat\sigma;T,n)-\ell(\sigma_0;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{n\sigma_0^2}{T}\right) + \frac{T}{n\sigma_0^2} - 1 \right]$$

$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$$H_0:\sigma = \sigma_0$$T$

$\sigma$

$$\frac{\mathrm{d}\,\ell(\sigma;T,n)}{\mathrm{d}\,\sigma}=\frac{T}{\sigma^3} - \frac{n}{\sigma}$$

$\sigma_0$$H_0:\sigma=\sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$

$\alpha$$\phi(T)= 1$$T<c_1$$T>c_2$$\phi(T)= 0$

พล็อตช่วยแสดงอคติในการทดสอบพื้นที่หางเท่ากันและเกิดขึ้นอย่างไร:

$\sigma$$\sigma_0$

การมีความลำเอียงถือเป็นเรื่องดี แต่ก็ไม่ปรากฏชัดว่าตนเองมีพลังงานน้อยกว่าขนาดเล็กน้อยในพื้นที่เล็ก ๆ ของพื้นที่พารามิเตอร์ภายในทางเลือกนั้นแย่มากเมื่อออกกฎการทดสอบโดยสิ้นเชิง

การทดสอบแบบสองด้านสองแบบข้างต้นตรงข้ามกัน (สำหรับกรณีนี้ไม่ใช่แบบทั่วไป):

LRT เป็น UMP ในการทดสอบที่ไม่เอนเอียง ในกรณีที่สิ่งนี้ไม่เป็นความจริง LRT อาจยังไม่เอนเอียง

ฉันคิดว่าทั้งหมดแม้กระทั่งการทดสอบแบบทางด้านเดียวก็ยอมรับได้นั่นคือไม่มีการทดสอบที่ทรงพลังกว่าหรือทรงพลังในทุกทางเลือก - คุณสามารถทำให้การทดสอบมีประสิทธิภาพมากขึ้นเมื่อเทียบกับทางเลือกในทิศทางเดียวเท่านั้นโดยทำให้มันมีประสิทธิภาพน้อยลง ทิศทาง. เมื่อขนาดของตัวอย่างเพิ่มขึ้นการแจกแจงแบบไคสแควร์จะกลายเป็นแบบสมมาตรมากขึ้นและการทดสอบแบบสองด้านทั้งหมดจะจบลงด้วยความเหมือนกันมาก (อีกเหตุผลสำหรับการใช้แบบทดสอบแบบเทลด์แบบง่าย)

ด้วยสมมุติฐานเชิงประกอบเชิงประกอบข้อโต้แย้งมีความซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่ฉันคิดว่าคุณจะได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันโดยสิ้นเชิงโดยอนุโลม โปรดทราบว่าการทดสอบหนึ่งแบบ แต่ไม่ใช่แบบอื่นคือ UMP!

ในกรณีนี้หากมีทางเลือกอื่นที่เป็นสมมุติฐานประกอบแบบทวิภาคีมักจะไม่มีการทดสอบ UMP

ฉันไม่แน่ใจว่าเป็นเรื่องจริงหรือไม่ แน่นอนว่าผลการคลาสสิกจำนวนมาก (Neymon-Pearson, Karlin-Rubin) ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่เรียบง่ายหรือด้านเดียว คุณสามารถค้นหาบันทึกบางอย่างเกี่ยวกับที่นี่และการอภิปรายในตำราเรียนที่นี่

$\chi^2$