ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์

สมมติว่ากระจายอย่างสม่ำเสมอบน ]Let และ Xแสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่างและเป็นศูนย์ $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

ดูเหมือนว่าฉันจะต้องรู้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของไซน์และโคไซน์และความแปรปรวนร่วมของพวกมัน ฉันจะคำนวณสิ่งเหล่านี้ได้อย่างไร

ฉันคิดว่าฉันต้องถือว่ามีการกระจายชุดและดูที่ตัวแปรเปลี่ยนและ )จากนั้นกฎของนักสถิติที่ไม่รู้สึกตัวจะให้คุณค่าที่คาดหวัง $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

และ

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(ความหนาแน่นเป็นค่าคงที่เนื่องจากเป็นการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอและสามารถเคลื่อนย้ายออกจากอินทิกรัล)

อย่างไรก็ตามอินทิกรัลเหล่านั้นไม่ได้นิยามไว้ (แต่มีค่าหลักของ Cauchy เป็นศูนย์ที่ฉันคิด)

ฉันจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร ฉันคิดว่าฉันรู้วิธีแก้ปัญหา (สหสัมพันธ์เป็นศูนย์เพราะไซน์และโคไซน์มีเฟสตรงข้าม) แต่ฉันไม่สามารถหาวิธีหามันได้

— uklady
แหล่งที่มา

ตามที่ระบุไว้ปัญหาของคุณมีการกำหนดไม่เพียงพอ ความสัมพันธ์เป็นแนวคิดที่ใช้กับตัวแปรสุ่มไม่ใช่หน้าที่ (อย่างเป็นทางการตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันชนิดหนึ่งคือฟังก์ชันที่วัดได้จากพื้นที่ความน่าจะเป็นไปยังตัวเลขจริงที่ติดตั้งการวัด Borel แต่เพียงแค่พูดว่า "ฟังก์ชันไซน์" ไม่ได้บอกอะไรคุณเกี่ยวกับการวัดความน่าจะเป็นใน โดเมนซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้คุณได้รับข้อมูลที่น่าจะรวมถึงการกระจายร่วม).

— Kodiologist

หากฉันถือว่าเวลาเป็นตัวแปรสุ่มแบบสม่ำเสมอ (

ในข้อความของฉัน) มันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำเช่นนี้? ฉันหมายถึงฉันจะดูความสัมพันธ์ของตัวแปรสุ่มสองตัวที่แปลงแล้ว

X

$X$

— uklady

คุณต้องการให้

กระจายอย่างสม่ำเสมอแล้วคุณกำหนด

และ

? ไม่เป็นไรยกเว้นคุณต้องระบุการรองรับความหนาแน่นของ

เนื่องจากไม่มีการกระจายที่สม่ำเสมอตลอดช่วง

หรือช่วงเวลาอื่น ๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— ประสาทวิทยา

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

หากคุณทำเช่นนั้นคุณจะต้องวาดแผนการกระจาย - ไม่จำเป็นต้องรวมเข้าด้วยกัน แผนการกระจายนั่นคือการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนวงกลมหน่วย (ชัด) ตั้งแต่วงกลมสมมาตรภายใต้การสะท้อนใด ๆ ผ่านทางแหล่งกำเนิดความสัมพันธ์เท่ากับลบดังนั้นมันจะต้องเป็นศูนย์QED

— whuber

ตั้งแต่

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

ความสัมพันธ์จะต้องเป็น 0

— Kodiologist
แหล่งที่มา

ฉันจริง ๆชอบโต้แย้ง @ whuber จากสมมาตรและไม่ต้องการที่จะหายไปเป็นความคิดเห็นเพื่อให้ที่นี่เป็นบิตของรายละเอียด

$(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

$\text{Cov} (X, Y) = 0$

เป็นเพียงการโต้แย้งทางเรขาคณิตที่สวยงาม

— Matthew Drury
แหล่งที่มา