ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์


11

สมมติว่ากระจายอย่างสม่ำเสมอบน[ 0 , 2 π ] Let Y = บาปXและZ = cos X แสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่างYและZเป็นศูนย์X[0,2π]Y=sinXZ=cosXYZ


ดูเหมือนว่าฉันจะต้องรู้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของไซน์และโคไซน์และความแปรปรวนร่วมของพวกมัน ฉันจะคำนวณสิ่งเหล่านี้ได้อย่างไร

ฉันคิดว่าฉันต้องถือว่ามีการกระจายชุดและดูที่ตัวแปรเปลี่ยนY = บาป( X )และZ = cos ( X ) จากนั้นกฎของนักสถิติที่ไม่รู้สึกตัวจะให้คุณค่าที่คาดหวังXY=sin(X)Z=cos(X)

และE[Z]=1

E[Y]=1basin(x)dx
E[Z]=1bacos(x)dx

(ความหนาแน่นเป็นค่าคงที่เนื่องจากเป็นการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอและสามารถเคลื่อนย้ายออกจากอินทิกรัล)

อย่างไรก็ตามอินทิกรัลเหล่านั้นไม่ได้นิยามไว้ (แต่มีค่าหลักของ Cauchy เป็นศูนย์ที่ฉันคิด)

ฉันจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร ฉันคิดว่าฉันรู้วิธีแก้ปัญหา (สหสัมพันธ์เป็นศูนย์เพราะไซน์และโคไซน์มีเฟสตรงข้าม) แต่ฉันไม่สามารถหาวิธีหามันได้


1
ตามที่ระบุไว้ปัญหาของคุณมีการกำหนดไม่เพียงพอ ความสัมพันธ์เป็นแนวคิดที่ใช้กับตัวแปรสุ่มไม่ใช่หน้าที่ (อย่างเป็นทางการตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันชนิดหนึ่งคือฟังก์ชันที่วัดได้จากพื้นที่ความน่าจะเป็นไปยังตัวเลขจริงที่ติดตั้งการวัด Borel แต่เพียงแค่พูดว่า "ฟังก์ชันไซน์" ไม่ได้บอกอะไรคุณเกี่ยวกับการวัดความน่าจะเป็นใน โดเมนซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้คุณได้รับข้อมูลที่น่าจะรวมถึงการกระจายร่วม).
Kodiologist

หากฉันถือว่าเวลาเป็นตัวแปรสุ่มแบบสม่ำเสมอ ( ในข้อความของฉัน) มันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำเช่นนี้? ฉันหมายถึงฉันจะดูความสัมพันธ์ของตัวแปรสุ่มสองตัวที่แปลงแล้ว X
uklady

3
คุณต้องการให้กระจายอย่างสม่ำเสมอแล้วคุณกำหนดY = sin XและZ = cos X ? ไม่เป็นไรยกเว้นคุณต้องระบุการรองรับความหนาแน่นของXเนื่องจากไม่มีการกระจายที่สม่ำเสมอตลอดช่วงหรือช่วงเวลาอื่น ๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด XY=sinXZ=cosXX
ประสาทวิทยา

[0,2pi]f=1

10
หากคุณทำเช่นนั้นคุณจะต้องวาดแผนการกระจาย - ไม่จำเป็นต้องรวมเข้าด้วยกัน แผนการกระจายนั่นคือการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนวงกลมหน่วย (ชัด) ตั้งแต่วงกลมสมมาตรภายใต้การสะท้อนใด ๆ ผ่านทางแหล่งกำเนิดความสัมพันธ์เท่ากับลบดังนั้นมันจะต้องเป็นศูนย์QED
whuber

คำตอบ:


23

ตั้งแต่

Cov(Y,Z)=E[(YE[Y])(ZE[Z])]=E[(Y02πsinxdx)(Z02πcosxdx)]=E[(Y0)(Z0)]=E[YZ]=02πsinxcosxdx=0,

ความสัมพันธ์จะต้องเป็น 0


12

ฉันจริง ๆชอบโต้แย้ง @ whuber จากสมมาตรและไม่ต้องการที่จะหายไปเป็นความคิดเห็นเพื่อให้ที่นี่เป็นบิตของรายละเอียด

(X,Y)X=cos(U)Y=sin(U)UU(0,2π)θ(cos(θ),sin(θ))(X,Y)(X,Y)(X,Y)

Cov(X,Y)=Cov(X,Y)=Cov(X,Y)

Cov(X,Y)=0

เป็นเพียงการโต้แย้งทางเรขาคณิตที่สวยงาม

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.