เราจะได้การแจกแจงแบบปกติเป็นอย่างไรถ้าช่วงของค่าของตัวแปรสุ่มของเราถูก จำกัด ขอบเขต

สมมติว่าเรามีตัวแปรสุ่มที่มีช่วงของค่าที่ล้อมรอบด้วยและโดยที่คือค่าต่ำสุดและคือค่าสูงสุด $a$ $b$ $a$ $b$

ฉันบอกว่าเป็นโดยที่คือขนาดตัวอย่างของเราการกระจายตัวตัวอย่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่างของเราคือการแจกแจงแบบปกติ นั่นคือการที่เราเพิ่มเราได้ใกล้ชิดและใกล้ชิดกับการกระจายปกติ แต่ขีด จำกัด ที่เกิดขึ้นจริงเป็นคือเท่ากับการกระจายปกติ $n \to \infty$ $n$ $n$ $n \to \infty$

อย่างไรก็ตามไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความของการแจกแจงแบบปกติที่จะต้องขยายจากเป็น ? $- \infty$ $\infty$

ถ้าสูงสุดของช่วงของเราคือแล้วตัวอย่างค่าเฉลี่ยสูงสุด (โดยไม่คำนึงถึงขนาดของกลุ่มตัวอย่าง) เป็นไปได้เท่ากับและตัวอย่างขั้นต่ำเฉลี่ยเท่ากับ $b$ $b$ $a$

ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าฉันว่าแม้ว่าเราจะใช้วงเงินเป็นแนวทางอินฟินิตี้จัดจำหน่ายของเราไม่ได้มีการกระจายปกติที่เกิดขึ้นจริงเพราะมันมีขอบเขตโดยและข $n$ $a$ $b$

ฉันกำลังคิดถึงอะไร

— jeremy radcliff
แหล่งที่มา

คำตอบ:

นี่คือสิ่งที่คุณขาดหายไป การกระจาย asymptotic ไม่ได้เป็นของ (ตัวอย่างค่าเฉลี่ย) แต่ของที่เป็นค่าเฉลี่ยของX $\bar{X}_n$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$ $\theta$ $X$

ให้จะ IID ตัวแปรสุ่มดังกล่าวที่และมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน 2 ดังนั้นจึงสนับสนุนขอบเขต CLT บอกว่า $X_1, X_2, \dots$ $a < X_i <b$ $X_i$ $\theta$ $\sigma^2$ $X_i$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$

โดยที่คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ตอนนี้ $\bar{X}_n$

\begin{aligned} a < & X_{i} < b \\ a < & {\bar{X}}_{n} < b \\ a - θ < & {\bar{X}}_{n} - θ < b - θ \\ \sqrt{n} (a - θ) < & \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) < \sqrt{n} (b - θ) . \end{aligned}

$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$

เมื่อขอบล่างและขอบบนมีแนวโน้มที่จะและตามลำดับและเมื่อการสนับสนุนของเป็นเส้นจริงทั้งหมด $n \to \infty$ $-\infty$ $\infty$ $n \to \infty$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

เมื่อใดก็ตามที่เราใช้ CLT ในทางปฏิบัติเราจะพูดว่าและสิ่งนี้จะเป็นการประมาณ $\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

แก้ไข:ฉันคิดว่าส่วนหนึ่งของความสับสนมาจากการตีความผิด ๆ ของทฤษฎีขีด จำกัด กลาง คุณถูกต้องว่าการกระจายตัวตัวอย่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ

{\bar{X}}_{n} \approx N (θ, σ^{2} / n) .

$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$

อย่างไรก็ตามการกระจายการสุ่มตัวอย่างเป็นคุณสมบัติตัวอย่างที่ จำกัด อย่างที่คุณพูดเราต้องการให้ ; เมื่อเราทำเช่นนั้นแล้วสัญญาณจะเป็นผลลัพธ์ที่แน่นอน อย่างไรก็ตามหากเราปล่อยเราจะไม่สามารถมีอยู่ทางด้านขวามืออีกต่อไป (เนื่องจากคือตอนนี้ ) ดังนั้นข้อความต่อไปนี้จึงไม่ถูกต้อง $n \to \infty$ $\approx$ $n \to \infty$ $n$ $n$ $\infty$

{\bar{X}}_{n} \overset{d}{\to} N (θ, σ^{2} / n) as n \to \infty .

$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$

[ที่นี่ย่อมาจากการบรรจบกันในแง่ของการกระจาย] เราต้องการเขียนผลลัพธ์ให้ถูกต้องดังนั้นไม่อยู่ทางด้านขวามือ ตอนนี้เราใช้คุณสมบัติของตัวแปรสุ่มเพื่อรับ $\overset{d}{\to}$ $n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$

เพื่อดูว่าพีชคณิตทำงานออกมาให้ดูที่คำตอบที่นี่

— Greenparker
แหล่งที่มา

ขอบคุณ. ฉันเข้าใจพีชคณิตของคุณไม่เท่ากัน แต่ฉันยังมีความสับสนเกี่ยวกับย่อหน้าแรกของคุณ: "การแจกแจงเชิงเส้นกำกับนั้นไม่ใช่ (ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง) แต่เป็น ... " ฉันคิดว่า CLT กล่าวว่าการกระจายตัวตัวอย่างของกลุ่มตัวอย่างหมายถึงการกระจายตัวแบบปกติที่และฉันคิดว่าคือ RV ที่ใช้ค่าตัวอย่างที่เป็นไปได้ขนาดทั้งหมด ที่ไหนมาจากไหน? ทำไมเราถึงสนใจในการกระจายนั้นและไม่ใช่การกระจายของ ?

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

n \to \infty

$n \to \infty$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

n

$n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

— jeremy radcliff

(ต่อ) นี่เกี่ยวกับการทำให้การกระจายตัวของตัวอย่างเป็นปกติหรือไม่? นี่คือรากที่สองที่มาจากไหน? มันเกี่ยวกับคะแนนหรือไม่?

Z

$Z$

— jeremy radcliff

@ jeremyradcliff ฉันได้แก้ไขคำตอบของฉันแล้วและมีลิงก์ที่อธิบายรายละเอียดบางอย่าง หวังว่านี่จะสมเหตุสมผลมากกว่านี้

— Greenparker

ขอบคุณมากที่สละเวลาแก้ไขลิงก์ที่คุณให้ไว้เป็นสิ่งที่ฉันกำลังมองหา และคุณกำลังขวาปัญหาคือการที่ฉันมีปัญหาในการกลับมาคืนดีธรรมชาติ จำกัด ของการกระจายการสุ่มตัวอย่างและความจริงที่ว่าเราจะพาจะ\

n

$n$

\infty

$\infty$

— jeremy radcliff

หากคุณอ้างถึงทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางโปรดทราบว่าวิธีหนึ่งที่เหมาะสมในการเขียนออกมาคือ

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

ภายใต้สภาวะปกติ (เป็นค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ) $\mu, \sigma$ $x_i$

ที่มีความหมายอย่างเป็นทางการนี้คุณสามารถดูได้ทันทีว่าด้านซ้ายมือสามารถใช้เวลาในการค่าสำหรับช่วง จำกัด ใดก็ตามที่มีขนาดใหญ่พอที่n $n$

เพื่อช่วยในการเชื่อมต่อกับแนวคิดที่ไม่เป็นทางการว่า "ค่าเฉลี่ยใกล้การแจกแจงแบบปกติสำหรับขนาดใหญ่" เราจำเป็นต้องตระหนักว่า "การกระจายแบบปกติ" หมายถึงการที่ CDF เข้าใกล้การแจกแจงแบบปกติโดยพลการเมื่อมีขนาดใหญ่ แต่เมื่อมีขนาดใหญ่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการกระจายโดยประมาณนี้จะลดลงดังนั้นความน่าจะเป็นของหางที่รุนแรงที่สุดของค่าประมาณปกติก็เท่ากับ 0 $n$ $n$ $n$

ตัวอย่างเช่นสมมติว่า0.5) จากนั้นคุณสามารถใช้การประมาณแบบไม่เป็นทางการเพื่อบอกว่า $X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

ดังนั้นในขณะที่มันเป็นความจริงว่าสำหรับ จำกัด ใด ๆ , $n$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

(หมายความประมาณอย่างชัดเจนไม่เคยสมบูรณ์แบบ) เช่น , $n \rightarrow \infty$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

ดังนั้นความคลาดเคลื่อนระหว่างการแจกแจงจริงกับการแจกแจงโดยประมาณนั้นก็หายไปอย่างที่ควรจะเกิดขึ้นกับการประมาณ

— Cliff AB
แหล่งที่มา