สถิติที่เพียงพอต่อความสำเร็จร่วมกัน: เครื่องแบบ (a, b)

Letเป็นตัวอย่างที่สุ่มจากการกระจายชุดบนที่<bให้และเป็นสถิติการสั่งซื้อที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด แสดงให้เห็นว่าสถิติเป็นสถิติที่เพียงพอสมบูรณ์ร่วมกันสำหรับพารามิเตอร์B) $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$ $(a,b)$ $a < b$ $Y_1$ $Y_n$ $(Y_1, Y_n)$ $\theta = (a, b)$

ไม่มีปัญหาสำหรับฉันที่จะแสดงความพอเพียงโดยใช้การแยกตัวประกอบ

คำถาม:ฉันจะแสดงความสมบูรณ์ได้อย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันต้องการคำใบ้

ความพยายาม:ฉันสามารถแสดงหมายถึงสำหรับการแจกชุดพารามิเตอร์แบบเดียว แต่ฉันติดอยู่กับการแจกชุดพารามิเตอร์ทั้งสอง $\mathbb E[g(T(x))] = 0$ $g(T(x)) = 0$

ฉันลองเล่นกับและใช้การกระจายแบบร่วมของและแต่ฉันไม่แน่ใจว่าถ้าฉันไปในทิศทางที่ถูกต้องเนื่องจากแคลคูลัสกำลังทำให้ฉันสะดุด $\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$ $Y_1$ $Y_n$

— emlu
แหล่งที่มา

กรุณาเพิ่ม[self-study]แท็กและอ่านของ วิกิพีเดีย โปรดทราบว่าคุณสามารถใช้น้ำยางสำหรับการจัดรูปแบบทางคณิตศาสตร์โดยการวางดอลลาร์รอบเช่น $x$ ผลิตxฉันพยายามเรียงคณิตศาสตร์ของคุณแล้ว แต่สามารถเปลี่ยนหรือคืนได้ถ้าคุณไม่พอใจกับผลลัพธ์ คุณอาจต้องการที่สัญกรณ์สำหรับแทนสำหรับx

x

$x$ $\vec x$

\vec{x}

$\vec x$ $\mathbf x$

x

$\mathbf x$

— Silverfish

มาดูแลแคลคูลัสตามปกติเพื่อคุณจะได้เป็นหัวใจของปัญหาและสนุกไปกับการแก้ปัญหา มันลงมาเพื่อสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสหภาพและความแตกต่างของรูปสามเหลี่ยม

ก่อนอื่นเลือกค่าของและที่ทำให้รายละเอียดง่ายที่สุด $a$ $b$ ฉันเช่น : ความหนาแน่น univariate ส่วนประกอบใด ๆเป็นเพียงฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ของช่วง[0,1] $a=0,b=1$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $[0,1]$

ลองหาฟังก์ชั่นการกระจายของy_n) $F$ $(Y_1,Y_n)$ ตามคำจำกัดความของจำนวนจริงใด ๆนี่คือ $y_1 \le y_n$

\begin{matrix} (1) & F (y_{1}, y_{n}) = Pr (Y_{1} \leq y_{1} and Y_{n} \leq y_{n}) . \end{matrix}

$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$

เห็นได้ชัดว่าค่าของนั้นมีค่าหรือในกรณีที่หรืออยู่นอกช่วงดังนั้นสมมติว่าพวกมันทั้งคู่อยู่ในช่วงเวลานี้ (ลองสมมติว่าเพื่อหลีกเลี่ยงการพูดคุยเรื่องไม่สำคัญ) ในกรณีนี้เหตุการณ์สามารถอธิบายได้ในแง่ของตัวแปรดั้งเดิมเป็น "อย่างน้อยหนึ่งในน้อยกว่าหรือเท่ากับและเกิน " เท่ากับทั้งหมดอยู่ใน $F$ $0$ $1$ $y_1$ $y_n$ $[a,b] = [0,1]$ $n\ge 2$ $(1)$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $X_i$ $y_1$ $X_i$ $y_n$ $X_i$ $[0,y_n]$ แต่มันไม่ได้เป็นกรณีที่ทั้งหมดของพวกเขาอยู่ในy_n] $(y_1,y_n]$

เนื่องจากมีความเป็นอิสระความน่าจะเป็นของพวกเขาจะทวีคูณและมอบและตามลำดับสำหรับเหตุการณ์สองเหตุการณ์นี้ที่กล่าวถึง ดังนั้น, $X_i$ $(y_n-0)^n = y_n^n$ $(y_n-y_1)^n$

F (y_{1}, y_{n}) = y_{n}^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n} .

$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$

ความหนาแน่นเป็นอนุพันธ์บางส่วนผสมของ , $f$ $F$

f (y_{1}, y_{n}) = \frac{\partial^{2} F}{\partial y_{1} \partial y_{n}} (y_{1}, y_{n}) = n (n - 1) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$

กรณีทั่วไปเครื่องชั่งน้ำหนักตัวแปรโดยปัจจัยที่และการเปลี่ยนแปลงสถานที่ตั้งโดย $(a,b)$ $b-a$ $a$ ดังนั้นสำหรับ , $a \lt y_1 \le y_n \lt b$

F (y_{1}, y_{n}; a, b) = ({(\frac{y_{n} - a}{b - a})}^{n} - {(\frac{y_{n} - a}{b - a} - \frac{y_{1} - a}{b - a})}^{n}) = \frac{(y_{n} - a)^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n}}{(b - a)^{n}} .

$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$

สร้างความแตกต่างเหมือน แต่ก่อน

f (y_{1}, y_{n}; a, b) = \frac{n (n - 1)}{(b - a)^{n}} (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$

พิจารณาคำจำกัดความของความสมบูรณ์ ให้เป็นฟังก์ชันที่วัดได้ของตัวแปรสองตัวจริง ตามคำจำกัดความ $g$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} E [g (Y_{1}, Y_{n})] & = \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) f (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \\ \propto \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} d y_{1} d y_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$

เราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่าเมื่อความคาดหวังนี้เป็นศูนย์ทั้งหมดแล้วก็มั่นใจได้ว่าสำหรับการใด ๆB) $(a,b)$ $g=0$ $(a,b)$

นี่คือคำใบ้ของคุณ ขอจะใด ๆฟังก์ชั่นที่สามารถวัดได้ ผมอยากจะแสดงมันออกมาในรูปแบบที่แนะนำโดยเป็น{n-2} ต้องการทำเช่นนั้นเห็นได้ชัดว่าเราจะต้องแบ่งโดย{n-2} แต่น่าเสียดายสำหรับนี้ไม่ได้ถูกกำหนดเมื่อใดก็ตามที่YX กุญแจสำคัญคือชุดนี้มีค่าเป็นศูนย์เพื่อให้เราสามารถละเลยได้ $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $(2)$ $h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$ $h$ $(y-x)^{n-2}$ $n\gt 2$ $y-x$

ตามที่กำหนดให้ใด ๆ ที่วัดได้กำหนด $h$

g (x, y) = {\begin{matrix} h (x, y) / (y - x)^{n - 2} & x \neq y \\ 0 & x = y \end{matrix}

$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$

จากนั้นจะกลายเป็น $(2)$

\begin{matrix} (3) & \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} h (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \propto E [g (Y_{1}, Y_{n})] . \end{matrix}

$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$

(เมื่องานแสดงให้เห็นว่ามีบางสิ่งบางอย่างเป็นศูนย์เราอาจเพิกเฉยต่อค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ของสัดส่วนได้ที่นี่ฉันลบจากด้านซ้ายมือ) $n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

นี่คือหนึ่งในช่วงสามเหลี่ยมขวากับด้านตรงข้ามมุมฉากยื่นออกมาจากเพื่อและจุดสุดยอดที่B) ลองแสดงสามเหลี่ยมเช่นนี้ $(a,a)$ $(b,b)$ $(a,b)$ $\Delta(a,b)$

Ergo , สิ่งที่คุณต้องแสดงคือว่าถ้าหนึ่งของฟังก์ชั่นโดยพลการวัดผลกว่าทุกรูปสามเหลี่ยมเป็นศูนย์แล้วสำหรับการใด ๆ , (เกือบแน่นอน ) สำหรับทุกB) $h$ $\Delta(a,b)$ $a\lt b$ $h(x,y)=0$ $(x,y)\in \Delta(a,b)$

แม้ว่ามันอาจจะดูเหมือนเราไม่ได้รับการเพิ่มเติมใด ๆ พิจารณาสี่เหลี่ยมใด ๆที่มีอยู่ในเครือในช่วงครึ่งระนาบx มันสามารถแสดงในรูปของสามเหลี่ยม: $[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$ $y \gt x$

[u_{1}, u_{2}] \times [v_{1}, v_{2}] = Δ (u_{1}, v_{2}) ∖ (Δ (u_{1}, v_{1}) \cup Δ (u_{2}, v_{2})) \cup Δ (u_{2}, v_{1}) .

$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$

ในรูปนี้สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือสิ่งที่เหลือจากสามเหลี่ยมขนาดใหญ่เมื่อเราลบสามเหลี่ยมสีแดงและสีเขียวที่ซ้อนกัน

ดังนั้นคุณอาจอนุมานได้ทันทีว่าอินทิกรัลของเหนือสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดนั้นเป็นศูนย์ $h$ มันยังคงอยู่เพียงเพื่อแสดงให้เห็นว่าต้องเป็นศูนย์ (นอกเหนือจากค่านิยมที่ตั้งของวัดเป็นศูนย์บางคน) เมื่อใดก็ตามที่x หลักฐานยืนยันนี้ (ชัดเจนโดยสังเขป) ยืนยันขึ้นอยู่กับวิธีการที่คุณต้องการใช้กับคำนิยามของการรวม $h(x,y)$ $y \gt x$

— whuber
แหล่งที่มา

ฉันพยายามตั้งสมการ 3 เท่ากับศูนย์เอาอนุพันธ์ทั้งสองข้างและแลกเปลี่ยนสัญญาณ (เป็นการกระทำที่สะท้อนกลับที่ฉันเดา) แต่ผลลัพธ์ดูน่ากลัวทีเดียว [1] มีวิธีที่เหมาะสมกว่านี้ไหม? [1] en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Higher_dimensions

— mugen

ลองพิจารณาคอลเล็กชั่น จำกัด ของสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าและเล็กกว่าทั้งหมดที่อยู่ตามด้านตรงข้ามมุมฉากในภาพและใช้ขีด จำกัด เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดในคอลเลกชันนั้นเป็นศูนย์

— whuber