Bootstrap ช่วงการทำนาย

มีเทคนิค bootstrap ใดบ้างในการคำนวณช่วงการทำนายสำหรับการทำนายจุดที่ได้รับเช่นจากการถดถอยเชิงเส้นหรือวิธีการถดถอยอื่น ๆ (เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด k-tree ที่ถดถอยเป็นต้น)

ยังไงก็เถอะฉันรู้สึกว่าบางครั้งวิธีที่เสนอให้เพียงแค่ดึงรองเท้าทำนายจุด (ดูเช่นช่วงเวลาการทำนายสำหรับการถดถอย kNN ) ไม่ได้ให้ช่วงการทำนาย แต่เป็นช่วงความมั่นใจ

ตัวอย่างใน R

# STEP 1: GENERATE DATA

set.seed(34345)

n <- 100 
x <- runif(n)
y <- 1 + 0.2*x + rnorm(n)
data <- data.frame(x, y)


# STEP 2: COMPUTE CLASSIC 95%-PREDICTION INTERVAL
fit <- lm(y ~ x)
plot(fit) # not shown but looks fine with respect to all relevant aspects

# Classic prediction interval based on standard error of forecast
predict(fit, list(x = 0.1), interval = "p")
# -0.6588168 3.093755

# Classic confidence interval based on standard error of estimation
predict(fit, list(x = 0.1), interval = "c")
# 0.893388 1.54155


# STEP 3: NOW BY BOOTSTRAP
B <- 1000
pred <- numeric(B)
for (i in 1:B) {
  boot <- sample(n, n, replace = TRUE)
  fit.b <- lm(y ~ x, data = data[boot,])
  pred[i] <- predict(fit.b, list(x = 0.1))
}
quantile(pred, c(0.025, 0.975))
# 0.8699302 1.5399179

เห็นได้ชัดว่าช่วง bootstrap พื้นฐาน 95% นั้นตรงกับช่วงความมั่นใจ 95% ไม่ใช่ช่วงการทำนาย 95% ดังนั้นคำถามของฉัน: วิธีการทำอย่างถูกต้อง?

วิธีการที่ออกมาวางข้างล่างนี้เป็นหนึ่งที่อธิบายไว้ในมาตรา 6.3.3 ของเดวิดสันและคลีย์ (1997), วิธีการบูตและการประยุกต์ใช้ของพวกเขา ขอขอบคุณที่ Glen_b และแสดงความคิดเห็นของเขาที่นี่ เนื่องจากมีคำถามหลายข้อเกี่ยวกับการตรวจสอบข้ามในหัวข้อนี้ฉันคิดว่ามันคุ้มค่าที่จะเขียน

ตัวแบบการถดถอยเชิงเส้นคือ:

$$\begin{align} Y_i &= X_i\beta+\epsilon_i \end{align}$$

เรามีข้อมูลที่เราใช้ในการประมาณβ เป็น: β$i=1,2,\ldots,N$$\beta$

$$\begin{align} \hat{\beta}_{\text{OLS}} &= \left( X'X \right)^{-1}X'Y \end{align}$$

ทีนี้เราต้องการทำนายว่าจะเป็นอะไรสำหรับจุดข้อมูลใหม่เนื่องจากเรารู้ว่าXสำหรับมัน นี่คือปัญหาการทำนาย ขอเรียกใหม่X (ซึ่งเรารู้) X N + 1และใหม่Y (ซึ่งเราอยากที่จะคาดการณ์) Y N + 1 การคาดการณ์ตามปกติ (ถ้าเราสมมติว่าϵ iเป็น iid และไม่เกี่ยวข้องกับX ) คือ: Y p N + $Y$$X$$X$$X_{N+1}$$Y$$Y_{N+1}$$\epsilon_i$$X$

$$\begin{align} Y^p_{N+1} &= X_{N+1}\hat{\beta}_{\text{OLS}} \end{align}$$

$$\begin{align} e^p_{N+1} &= Y_{N+1}-Y^p_{N+1} \end{align}$$

$$\begin{align} Y_{N+1} &= Y^p_{N+1} + e^p_{N+1} \end{align}$$

Now, $Y^p_{N+1}$ we have already calculated. So, if we want to bound $Y_{N+1}$ in an interval, say, 90% of the time, all we need to do is estimate consistently the $5^{th}$ and $95^{th}$ percentiles/quantiles of $e^p_{N+1}$, call them $e^5,e^{95}$, and the prediction interval will be $\left[Y^p_{N+1}+e^5,Y^p_{N+1}+e^{95} \right]$.

How to estimate the quantiles/percentiles of $e^p_{N+1}$? Well, we can write:

$$\begin{align} e^p_{N+1} &= Y_{N+1}-Y^p_{N+1}\\ &= X_{N+1}\beta + \epsilon_{N+1} - X_{N+1}\hat{\beta}_{\text{OLS}}\\ &= X_{N+1}\left( \beta-\hat{\beta}_{\text{OLS}} \right) + \epsilon_{N+1} \end{align}$$

The strategy will be to sample (in a bootstrap kind of way) many times from $e^p_{N+1}$ and then calculate percentiles in the usual way. So, maybe we will sample 10,000 times from $e^p_{N+1}$, and then estimate the $5^{th}$ and $95^{th}$ percentiles as the $500^{th}$ and $9,500^{th}$ smallest members of the sample.

To draw on $X_{N+1}\left( \beta-\hat{\beta}_{\text{OLS}} \right)$, we can bootstrap errors (cases would be fine, too, but we are assuming iid errors anyway). So, on each bootstrap replication, you draw $N$ times with replacement from the variance-adjusted residuals (see next para) to get $\epsilon^*_i$, then make new $Y^*_i=X_i\hat{\beta}_{\text{OLS}}+\epsilon^*_i$, then run OLS on the new dataset, $\left(Y^*,X \right)$ to get this replication's $\beta^*_r$. At last, this replication's draw on $X_{N+1}\left( \beta-\hat{\beta}_{\text{OLS}} \right)$ is $X_{N+1}\left( \hat{\beta}_{\text{OLS}}-\beta^*_r \right)$

Given we are assuming iid $\epsilon$, the natural way to sample from the $\epsilon_{N+1}$ part of the equation is to use the residuals we have from the regression, $\left\{ e^*_1,e^*_2,\ldots,e^*_N \right\}$. Residuals have different and generally too small variances, so we will want to sample from $\left\{ s_1-\overline{s},s_2-\overline{s},\ldots,s_N-\overline{s} \right\}$, the variance-corrected residuals, where $s_i=e^*_i/\sqrt{(1-h_i)}$ and $h_i$ is the leverage of observation $i$.

And, finally, the algorithm for making a 90% prediction interval for $Y_{N+1}$, given that $X$ is $X_{N+1}$ is:

1. Make the prediction $Y^p_{N+1}=X_{N+1}\hat{\beta}_{\text{OLS}}$.
2. Make the variance-adjusted residuals, $\left\{ s_1-\overline{s},s_2-\overline{s},\ldots,s_N-\overline{s}\right\}$, where $s_i=e_i/\sqrt(1-h_{i})$.
3. For replications $r=1,2,\ldots,R$:
   • Draw $N$ times on the adjusted residuals to make bootstrap residuals $\left\{\epsilon^*_1,\epsilon^*_2,\ldots,\epsilon^*_N \right\}$
   • Generate bootstrap $Y^*=X\hat{\beta}_{\text{OLS}}+\epsilon^*$
   • Calculate bootstrap OLS estimator for this replication, $\beta^*_r=\left( X'X \right)^{-1}X'Y^*$
   • Obtain bootstrap residuals from this replication, $e^*_r=Y^*-X\beta^*_r$
   • Calculate bootstrap variance-adjusted residuals from this replication, $s^*-\overline{s^*}$
   • Draw one of the bootstrap variance-adjusted residuals from this replication, $\epsilon^*_{N+1,r}$
   • Calculate this replication's draw on $e^p_{N+1}$, $e^{p*}_r=X_{N+1}\left( \hat{\beta}_{\text{OLS}}-\beta^*_r \right)+\epsilon^*_{N+1,r}$
4. Find $5^{th}$ and $95^{th}$ percentiles of $e^p_{N+1}$, $e^5,e^{95}$
5. 90% prediction interval for $Y_{N+1}$ is $\left[Y^p_{N+1}+e^5,Y^p_{N+1}+e^{95} \right]$.

Here is R code:

# This script gives an example of the procedure to construct a prediction interval
# for a linear regression model using a bootstrap method.  The method is the one
# described in Section 6.3.3 of Davidson and Hinckley (1997),
# _Bootstrap Methods and Their Application_.


#rm(list=ls())
set.seed(12344321)
library(MASS)
library(Hmisc)

# Generate bivariate regression data
x <- runif(n=100,min=0,max=100)
y <- 1 + x + (rexp(n=100,rate=0.25)-4)

my.reg <- lm(y~x)
summary(my.reg)

# Predict y for x=78:
y.p <- coef(my.reg)["(Intercept)"] + coef(my.reg)["x"]*78
y.p

# Create adjusted residuals
leverage <- influence(my.reg)$hat
my.s.resid <- residuals(my.reg)/sqrt(1-leverage)
my.s.resid <- my.s.resid - mean(my.s.resid)


reg <- my.reg
s <- my.s.resid

the.replication <- function(reg,s,x_Np1=0){
  # Make bootstrap residuals
  ep.star <- sample(s,size=length(reg$residuals),replace=TRUE)

  # Make bootstrap Y
  y.star <- fitted(reg)+ep.star

  # Do bootstrap regression
  x <- model.frame(reg)[,2]
  bs.reg <- lm(y.star~x)

  # Create bootstrapped adjusted residuals
  bs.lev <- influence(bs.reg)$hat
  bs.s   <- residuals(bs.reg)/sqrt(1-bs.lev)
  bs.s   <- bs.s - mean(bs.s)

  # Calculate draw on prediction error
  xb.xb <- coef(my.reg)["(Intercept)"] - coef(bs.reg)["(Intercept)"] 
  xb.xb <- xb.xb + (coef(my.reg)["x"] - coef(bs.reg)["x"])*x_Np1
  return(unname(xb.xb + sample(bs.s,size=1)))
}

# Do bootstrap with 10,000 replications
ep.draws <- replicate(n=10000,the.replication(reg=my.reg,s=my.s.resid,x_Np1=78))

# Create prediction interval
y.p+quantile(ep.draws,probs=c(0.05,0.95))

# prediction interval using normal assumption
predict(my.reg,newdata=data.frame(x=78),interval="prediction",level=0.90)


# Quick and dirty Monte Carlo to see which prediction interval is better
# That is, what are the 5th and 95th percentiles of Y_{N+1}
# 
# To do it properly, I guess we would want to do the whole procedure above
# 10,000 times and then see what percentage of the time each prediction 
# interval covered Y_{N+1}

y.np1 <- 1 + 78 + (rexp(n=10000,rate=0.25)-4)
quantile(y.np1,probs=c(0.05,0.95))