การแพร่กระจายของรูปแบบสมการกำลังสอง

ฉันพยายามหาการกระจายของ ที่Z_i \ sim \ mathcal {N} (0,1) , iid ฉันรู้ว่าการแยกแต่ละเงื่อนไข, \ sum_ {i = 1} ^ n Z_i ^ 2 \ sim \ chi ^ 2 (n) และ \ frac {1} {n} \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n Z_i \ right) ^ 2 \ sim \ chi ^ 2 (1) แต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับการกระจายของ (*)

$$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$$ $Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$ $$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$$ $$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$$

นี่คือความพยายาม :

พิจารณาเช่นและ ด้วย$Z=X-Y$$X \sim \chi^2(\alpha)$$Y \sim \chi^2(\beta)$$\alpha \geq \beta$

$$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$$

$$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$$

$$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$$

$$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$$

ฉันไม่แน่ใจว่าสามารถลดลงเป็น MGF ที่หยั่งรู้ได้หรือไม่