พล็อตกล่องมีรอยหยักเมื่อเทียบกับช่วง Tukey-Kramer

"การบาก" เอกสารความช่วยเหลือ ( หรือข้อความเดิม ) จาก Boxplot ใน 'R' ให้ต่อไปนี้:

หากรอยหยักของสองแปลงไม่ทับซ้อนกันนี่คือ 'หลักฐานที่ชัดเจน' ซึ่งสื่อกลางทั้งสองนั้นต่างกัน (Chambers et al, 1983, p. 62) ดู boxplot.stats สำหรับการคำนวณที่ใช้

และ ' boxplot.stats ' ให้สิ่งต่อไปนี้:

รอยหยัก (ถ้ามีการร้องขอ) ขยายไปถึง +/- 1.58 IQR / sqrt (n) สิ่งนี้น่าจะเป็นไปตามการคำนวณแบบเดียวกับสูตรที่มี 1.57 ใน Chambers et al (1983, p. 62) ที่กำหนดใน McGill et al (1978, p. 16) พวกเขาจะขึ้นอยู่กับ asymptotic normality ของมัธยฐานและขนาดตัวอย่างที่เท่ากันโดยประมาณสำหรับสองมัธยฐานที่ถูกเปรียบเทียบและถูกกล่าวว่าค่อนข้างไม่สำคัญต่อการแจกแจงพื้นฐานของตัวอย่าง แนวคิดนี้ดูเหมือนจะให้ช่วงความมั่นใจ 95% โดยประมาณสำหรับความแตกต่างในค่ามัธยฐานสองค่า

ตอนนี้ฉันคุ้นเคยกับการใช้รุ่น JMP ของการทดสอบ Tukey-Kramer เพื่อเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของคอลัมน์ เอกสารสำหรับ JMPให้สิ่งนี้:

แสดงการทดสอบที่มีขนาดสำหรับความแตกต่างระหว่างวิธีการทั้งหมด นี่คือการทดสอบ Tukey หรือ Tukey-Kramer HSD (ความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญทางตรง) (Tukey 1953, Kramer 1956) การทดสอบนี้เป็นการทดสอบระดับอัลฟ่าที่แน่นอนถ้าขนาดตัวอย่างเท่ากันและอนุรักษ์ถ้าขนาดตัวอย่างแตกต่างกัน (Hayter 1984)

คำถาม: ธรรมชาติของการเชื่อมต่อระหว่างสองแนวทางคืออะไร? มีวิธีแปลงหนึ่งเป็นอื่น ๆ หรือไม่

ดูเหมือนว่าคน ๆ หนึ่งกำลังมองหาค่าเฉลี่ย CI ประมาณ 95% สำหรับค่ามัธยฐานและพิจารณาว่ามีการทับซ้อนหรือไม่ และอีกอันคือ "การทดสอบอัลฟาที่แน่นอน" (ตัวอย่างของฉันมีขนาดเท่ากัน) สำหรับการพิจารณาว่าค่ามัธยฐานของตัวอย่างสองชุดนั้นอยู่ในช่วงที่เหมาะสมซึ่งกันและกันหรือไม่

ฉันอ้างอิงแพ็คเกจ แต่ฉันสนใจคณิตศาสตร์ในตรรกะ

เท่าที่ boxplot ที่มีรอยบากไปอ้างอิง McGill et al [1] ที่กล่าวถึงในคำถามของคุณมีรายละเอียดที่สมบูรณ์ (ไม่ใช่ทุกสิ่งที่ฉันพูดที่นี่พูดถึงที่นี่อย่างชัดเจน แต่ก็มีรายละเอียดเพียงพอที่จะเข้าใจ)

ช่วงเวลาเป็นช่วงเวลาที่แข็งแกร่ง แต่อาศัยแบบเกาส์เซียน

กระดาษอ้างอิงช่วงเวลาต่อไปนี้สำหรับรอยหยัก (โดยที่คือค่ามัธยฐานตัวอย่างและคือช่วง interquartile ตัวอย่าง):$M$$R$

$$M\pm 1.7 \times 1.25R/(1.35\sqrt{N})$$

ที่อยู่:

• $1.35$เป็นตัวแปลงแบบ asymptotic เพื่อเปลี่ยน IQRs ให้เป็นค่าประมาณของ - โดยเฉพาะมันประมาณความแตกต่างระหว่าง 0.75 quantile กับ 0.25 quantile ของ standard standard; ควอไทล์ที่มีประชากรประมาณ 1.35ออกจากกันเพื่อให้ค่าประมาณควรจะเป็นที่สอดคล้องกัน (เป็นกลาง asymptotically) ประมาณการของ (ขึ้นอย่างถูกต้องเกี่ยวกับ 1.349)$\sigma$$\sigma$$R/1.35$$\sigma$

• $1.25$มาเพราะเรากำลังจัดการกับข้อผิดพลาดมาตรฐานของซีมิคโทติคมากกว่าค่าเฉลี่ย โดยเฉพาะความแปรปรวน asymptotic ของมัธยฐานตัวอย่างคือโดยที่คือความหนาแน่นของความสูงที่มัธยฐาน สำหรับการแจกแจงแบบปกติคือดังนั้นข้อผิดพลาดมาตรฐานแบบซีมโทติคของมัธยฐานตัวอย่างคือ{N}$\frac{1}{4nf_0^2}$$f_0$$f_0$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\approx \frac{0.3989}{\sigma}$$\frac{1}{2\sqrt{N}f_0}= \sqrt{\pi/2}\sigma/\sqrt{N}\approx 1.253\sigma/\sqrt{N}$

  ในฐานะที่เป็น StasK กล่าวถึงที่นี่ขนาดเล็กคือยิ่งน่าสงสัยมากขึ้นนี้ (แทนที่เหตุผลที่สามของเขาด้วยหนึ่งเกี่ยวกับความสมเหตุสมผลของการใช้การกระจายปกติในสถานที่แรก$N$

  รวมไปสองเราได้รับการประมาณการ asymptotic ของข้อผิดพลาดมาตรฐานของค่ามัธยฐานของเกี่ยวกับ {N}) McGill et al ให้เครดิตกับ Kendall และ Stuart (ฉันจำไม่ได้ว่าสูตรเฉพาะเกิดขึ้นที่นั่นหรือไม่ แต่ส่วนประกอบจะเป็น)$1.25R/(1.35\sqrt{N})$

• ดังนั้นสิ่งที่เหลือไว้เพื่อหารือคือปัจจัย 1.7

  โปรดทราบว่าถ้าเราเปรียบเทียบหนึ่งตัวอย่างกับค่าคงที่ (พูดว่ามัธยฐานตั้งสมมติฐาน) เราจะใช้ 1.96 สำหรับการทดสอบ 5%; ดังนั้นถ้าเรามีข้อผิดพลาดมาตรฐานที่แตกต่างกันสองข้อ (อันที่ค่อนข้างใหญ่หนึ่งอันเล็กมาก) นั่นจะเกี่ยวกับปัจจัยที่จะใช้ (เนื่องจากถ้าโมฆะเป็นจริงความแตกต่างจะเกือบทั้งหมดเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงในอันที่ใหญ่กว่า ข้อผิดพลาดมาตรฐานและขนาดเล็กสามารถ - ประมาณ - ได้รับการแก้ไขอย่างมีประสิทธิภาพ)

  ในทางกลับกันหากข้อผิดพลาดมาตรฐานทั้งสองเหมือนกัน 1.96 จะเป็นปัจจัยที่มีขนาดใหญ่เกินไปเนื่องจากรอยบากทั้งสองชุดเข้ามา - สำหรับรอยหยักทั้งสองชุดจะไม่ทับซ้อนกันเราจะเพิ่มหนึ่งชุดลงไป นี้จะทำให้ปัจจัยที่เหมาะสม asymptotically$1.96/\sqrt{2}\approx 1.386$

  อยู่ที่ไหนสักแห่งระหว่างเรามี 1.7 เป็นปัจจัยประนีประนอมอย่างคร่าวๆ McGill และคณะอธิบายว่า "เลือกโดยประจักษ์" มันค่อนข้างใกล้เคียงกับสมมติว่าอัตราส่วนของความแปรปรวนที่เฉพาะเจาะจงดังนั้นฉันเดา (และมันก็ไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น) คือการเลือกเชิงประจักษ์ (ขึ้นอยู่กับการจำลองบางอย่าง) อยู่ระหว่างชุดของอัตราส่วนค่ารอบสำหรับความแปรปรวน 1: 1, 2: 1,3: 1, ... ) ที่ "ดีที่สุดประนีประนอม"จากอัตราส่วนเสียบแล้วเป็นปัดเศษให้สองร่าง . อย่างน้อยก็เป็นวิธีที่เป็นไปได้ที่จะจบลงที่ 1.7$r$$r:1$$1.96/\sqrt{1+1/r}$

นำพวกเขาทั้งหมด (1.35,1.25 และ 1.7) เข้าด้วยกันให้ประมาณ 1.57 บางแหล่งได้รับ 1.58 โดยการคำนวณ 1.35 หรือ 1.25 (หรือทั้งสองอย่าง) ถูกต้องมากขึ้น แต่เมื่อประนีประนอมระหว่าง 1.386 และ 1.96 นั้น 1.7 นั้นไม่แม่นยำแม้แต่สองร่างที่สำคัญ (เป็นเพียงค่าประนีประนอม ballpark) ดังนั้นความแม่นยำเพิ่มเติมคือ ไม่มีจุดหมาย (พวกมันอาจจะแค่ปัดเศษทั้งหมดเป็น 1.6 แล้วก็ทำได้)

โปรดทราบว่าไม่มีการปรับสำหรับการเปรียบเทียบหลาย ๆ ที่นี่

---

มีการเปรียบเทียบที่แตกต่างกันในขีด จำกัด ของความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างในTukey-Kramer HSD :

$$\bar{y}_{i\bullet}-\bar{y}_{j\bullet} \pm \frac{q_{\alpha;k;N-k}}{\sqrt{2}}\widehat{\sigma}_\varepsilon \sqrt{\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}}$$

แต่ทราบว่า

• นี้เป็นช่วงเวลารวมกันไม่ได้ทั้งสองผลงานที่แยกต่างหากเพื่อความแตกต่าง (เพื่อให้เรามีวาระในมากกว่าสองเอื้อแยกและและเราถือว่าความแปรปรวนคงที่ (ดังนั้นเราจึงไม่ได้เกี่ยวข้องกับการประนีประนอมกับ - เมื่อเราอาจมีความแปรปรวนแตกต่างกันมาก - แทนที่จะเป็นกรณีแบบ asymptotic )$c.\sqrt{\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}}$$k.\sqrt{\frac{1}{n_{i}}}$$k.\sqrt{\frac{1}{n_j}}$$1.96$$1.96/\sqrt{2}$

• มันขึ้นอยู่กับวิธีการไม่ใช่ค่ามัธยฐาน (ไม่ใช่ 1.35)

• มันขึ้นอยู่กับซึ่งขึ้นอยู่กับความแตกต่างของค่าเฉลี่ยที่มากที่สุด (ดังนั้นจึงไม่มีแม้แต่ส่วนใดของ 1.96 ในส่วนนี้แม้แต่ส่วนที่หารด้วย ) ในทางตรงกันข้ามเมื่อเปรียบเทียบกับพล็อตกล่องหลาย ๆ แบบไม่มีการพิจารณาถึงรอยหยักบนความแตกต่างที่ใหญ่ที่สุดของค่ามัธยฐาน$q$$\sqrt{2}$

ดังนั้นในขณะที่แนวคิดหลายประการที่อยู่เบื้องหลังรูปแบบขององค์ประกอบนั้นคล้ายคลึงกัน แต่จริงๆแล้วพวกเขาแตกต่างกันมากในสิ่งที่พวกเขาทำ

[1] McGill, R. , Tukey, JW และ Larsen, WA (1978) การเปลี่ยนแปลงของกล่องแปลง นักสถิติชาวอเมริกัน 32, 12–16