การรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มปกติหลายตัวแปรแบบพึ่งพาหลายตัวแปร

สมมติว่าเรามีสองเวกเตอร์ของตัวแปรสุ่มทั้งเป็นปกติเช่นและSigma_Y) เราสนใจการกระจายตัวของการรวมกันเชิงเส้นของพวกเขาโดยที่และคือเมทริกซ์คือเวกเตอร์ ถ้าและมีความเป็นอิสระ,T) คำถามคือในกรณีที่ขึ้นอยู่กับสมมติว่าเรารู้ว่าความสัมพันธ์ของทั้งคู่ใด ๆY_i) ขอบคุณ. $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ $Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ $Z = A X + B Y + C$ $A$ $B$ $C$ $X$ $Y$ $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ $(X_i, Y_i)$

ด้วยความปรารถนาดี Ivan

probability normal-distribution multinomial

— อีวาน
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ในกรณีนี้คุณต้องเขียน (ด้วยเครื่องหมายที่ชัดเจนหวังว่า) ( แก้ไข:สมมติว่าข้อต่อของ ) จากนั้น และ ie

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N [(\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), Σ_{X, Y}]

$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$

(X, Y)

$(X,Y)$

A X + B Y = (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$

A X + B Y + C \sim N [(\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}) + C, (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) Σ_{X, Y} (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$

A X + B Y + C \sim N [A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X X} A^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{Y Y} B^{T}]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$

— ซีอาน
แหล่งที่มา

ในกรณีที่มันมองข้ามโปรดทราบว่าด้ายความคิดเห็นที่จะตอบอีกบ่งชี้ (ก) การคำนวณความแปรปรวนเหล่านี้จะมีการปรับ (การทำความเข้าใจว่าพวกเขาเกี่ยวข้องกับสัญกรณ์บล็อกเมทริกซ์ธรรมชาติ แต่อันเป็น) แต่ (ข) เราไม่สามารถสั่งจ่ายสรุปได้ว่าผลรวมเชิงเส้นเป็นปกติแจกจ่ายจนกว่าเราจะทำการสันนิษฐานเพิ่มเติม กล่าวคือและนั้นมีการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปรร่วม

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

คุณช่วยอธิบายได้อย่างไรว่าคุณได้รับจากถึงในบรรทัดสุดท้ายหรือไม่ ฉันคิดว่าและ ผลลัพธ์ไม่ได้ทำให้ง่ายขึ้นอีก นี่คือไม่เมทริกซ์สมมาตรตั้งแต่องค์ประกอบ -th เป็นขณะที่องค์ประกอบ -th เป็นและไม่มีเหตุผลว่าทำไมความแปรปรวนร่วมเหล่านี้จะต้องเท่ากัน

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T$

2 A Σ_{X Y} B^{T}

$2A\Sigma_{XY}B^T$

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} = (A Σ_{X Y} B^{T})^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T = (A\Sigma_{XY}B^T)^T + A\Sigma_{XY}B^T$

Σ_{X Y}

$\Sigma_{XY}$

(i, j)

$(i,j)$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

(j, i)

$(j,i)$

cov (X_{j}, Y_{i})

$\text{cov}(X_j,Y_i)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: (+1) คุณถูกต้องในกรณีทั่วไปไม่มีเหตุผลที่คำสองคำนี้จะเท่ากัน

— ซีอาน

คำถามของคุณไม่ได้มีคำตอบที่ไม่เหมือนใครโพสต์ในขณะนี้จนกว่าคุณจะคิดว่าและจะร่วมกันกระจายตามปกติที่มีความแปรปรวนบนบล็อกด้านขวา{} ฉันคิดว่าคุณหมายถึงสิ่งนี้เพราะคุณบอกว่าคุณมีความแปรปรวนร่วมกันระหว่าง X และ Y ในกรณีนี้เราสามารถเขียนซึ่งก็เป็นตัวแปรหลายตัวแปรเช่นกัน จากนั้นก็ให้ในรูปของเป็น: $X$ $Y$ $\Sigma_{XY}$ $W=(X^T,Y^T)^T$ $Z$ $W$

Z = (A, B) W + C

$Z=(A,B)W+C$

จากนั้นคุณใช้สูตรปกติสำหรับการผสมเชิงเส้น โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยไม่เปลี่ยนแปลง แต่เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมมีการเพิ่มสองเทอมพิเศษ $A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

— probabilityislogic
แหล่งที่มา

ขอบคุณที่ชี้ให้เห็นถึงปัญหานี้ในความเป็นจริงฉันไม่ได้คิดเกี่ยวกับมัน แต่ดูเหมือนว่าตัวแปรสามารถดูได้ในกรณีของฉันตามปกติกระจายร่วมกันแม้ว่าองค์ประกอบของพวกเขาจะมีความสัมพันธ์

— อีวาน

ฉันยอมรับว่าคำถามนี้ไม่สามารถแก้ไขได้ตามที่วางไว้ มันสามารถแก้ไขได้อย่างตรงไปตรงมาหากมีใครสมมติว่าคำตอบของ @ ซีอานทำเช่นนั้นและนั้นจะถูกกระจายไปด้วยกันตามปกติ มันสามารถแก้ไขได้สันนิษฐานว่ามีความยากลำบากมากขึ้นถ้าการกระจายข้อต่อถูกระบุเป็นสิ่งอื่นนอกเหนือจากข้อต่อปกติ แต่เพียงแค่รู้สำหรับทุก , ไม่ได้หมายความว่าเป็นปกติหลายตัวแปร ตัวแปรสุ่มสองตัวใด ๆ ที่มีผลต่าง จำกัด มีความแปรปรวนร่วม ความแปรปรวนร่วมไม่ได้กำหนดเฉพาะสำหรับตัวแปรสุ่มปกติหรือร่วมกันปกติ

X

$X$

Y

$Y$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

i, j

$i, j$ $W = (X^T,Y^T)^T$

— Dilip Sarwate

ในกรณีของฉัน X และ Y เป็นเรื่องปกติฉันจะพยายามอธิบายว่าทำไมโปรดแก้ไขให้ฉันด้วยถ้าฉันผิด สมมติว่ามีชุดของ rv ปกติอิสระ univariate แต่ละองค์ประกอบของ X และ Y เป็นการรวมกันเชิงเส้นโดยพลการของตัวแปร univariate เหล่านี้จากชุด ดังนั้นเนื่องจากตัวแปรเริ่มต้นมีความเป็นอิสระและเกี่ยวข้องกับการแปลงเชิงเส้นเท่านั้นเวกเตอร์ที่ได้คือ X, Y และ Z ล้วนเป็นตัวแปรปกติหลายตัวแปร มันเป็นไปตามความหมายของ RV ปกติหลายตัวแปรที่ที่ควรจะเป็น RV ปกติ univariate สำหรับเวกเตอร์ มันสมเหตุสมผลหรือไม่

a^{T} X

$a^T X$

a

$a$

— อีวาน

@Ivan คำอธิบายของคุณสมเหตุสมผล แต่การร้องเรียนนั้นเกี่ยวกับคำแถลงว่า "เรามีเวกเตอร์ของตัวแปรสุ่มสองตัวซึ่งเป็นเรื่องปกตินั่นคือและ "ซึ่งไม่ได้หมายความว่าและมีกันปกติ และไม่ได้บอกว่า "เรารู้ว่าความสัมพันธ์ของคู่ใด ๆ " หมายความว่าและนั้นเป็นเรื่องปกติแม้ว่าคุณจะระบุไว้อย่างถูกต้องก็ตามหมายความว่านั้นเป็นเรื่องปกติ (และในทำนองเดียวกันสำหรับ .) ค่านิยมทั่วไปแบบไม่เปลี่ยนแปลง

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

Y \sim N (μ_{Y}, Σ_{Y})

$Y\sim N(\mu_Y,\Sigma_Y)$

X

$X$

Y

$Y$

(X_{i}, Y_{i})

$(X_i,Y_i)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$ ไม่ได้บ่งบอกถึงความปกติของการมีส่วนร่วม ดูการอ้างอิงด้านล่าง

— Dilip Sarwate

@Ivan ดูการสนทนาตามคำถามนี้

— Dilip Sarwate