ค่าที่คาดหวังกับค่าที่น่าจะเป็นที่สุด (โหมด)

15

ค่าที่คาดหวังของการแจกแจงคือค่าเฉลี่ยนั่นคือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก $f(x)$

E [x] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$

ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดคือโหมดซึ่งเป็นค่าที่น่าจะเป็นที่สุด

อย่างไรก็ตามเราคาดหวังว่าจะเห็นหลายครั้ง? ข้อความจากที่นี่ : $E[x]$

หากผลลัพธ์ไม่น่าจะเท่ากันดังนั้นค่าเฉลี่ยอย่างง่ายจะต้องถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักซึ่งคำนึงถึงความจริงที่ว่าผลลัพธ์บางอย่างมีแนวโน้มมากกว่าคนอื่น ๆ สัญชาตญาณ แต่ยังคงเหมือนเดิม: มูลค่าที่คาดหวังของคือสิ่งหนึ่งที่คาดว่าจะเกิดขึ้นโดยเฉลี่ย $x_i$ $x$

ฉันไม่สามารถเข้าใจสิ่งที่ "เกิดขึ้นโดยเฉลี่ย" หมายความว่านี่หมายถึงว่าสำหรับ istance ใช้เวลานานมากในการคาดหวังว่าจะเห็นมากกว่าค่าอื่น ๆ ของหรือไม่? แต่นี่ไม่ใช่นิยามของโหมดใช่ไหม $E[x]$ $x$

ดังนั้นวิธีการตีความคำสั่งหรือไม่ ความหมายความน่าจะเป็นของคืออะไร? $E[x]$

ฉันต้องการแสดงตัวอย่างที่ทำให้สับสน การศึกษาการฉันได้เรียนรู้ว่าโหมด นี้คือในขณะที่โดยที่คือองศาของอิสระของข้อมูล $\chi^2$ $\chi^2_{mode}=\nu-2$ $E[\chi^2]=\nu$ $\nu$

ผมได้ยินที่มหาวิทยาลัยว่าเมื่อทำทดสอบหลังการใช้สแควน้อยวิธีการเพื่อให้พอดีกับชุดของข้อมูลที่ฉันควรคาดหวังว่าจะได้รับเพราะ "ว่าสิ่งที่เกิดขึ้นโดยทั่วไป" $\chi^2$ $\chi^2 \approx \nu$

ฉันเข้าใจผิดทั้งหมดหรือคิดว่าเป็นค่าที่คาดว่าจะเป็นไปได้หรือไม่? (แม้ว่าค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดคือโหมด)

— โซเรน
แหล่งที่มา

4

ฉันชอบพลังของการเปรียบเทียบคำสั่งซื้อตั๋วในกล่องสำหรับคำถามนี้เพราะมันให้คำตอบง่าย ๆ ชัดเจนคำตอบ: ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มคือผลรวมของค่า (ตามที่วาดบนตั๋ว) หารด้วย จำนวนตั๋ว แค่นั้นแหละ. คำแถลงใด ๆ ที่ไม่ได้ปฏิบัติตามคำจำกัดความนี้ (หรือเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น) เป็นเพียงการแก้ปัญหาและอาจไม่ถูกต้องในบางสถานการณ์

— whuber

18

สำหรับการแจกแจงแบบปกติค่าที่คาดหวังหรือที่รู้จักคือค่าเฉลี่ยเท่ากับโหมด

โดยทั่วไปแล้วไม่เพียง แต่เป็นค่าที่คาดหวังไม่เพียง แต่เป็นไปได้มากที่สุด (หรือที่ความหนาแน่นสูงสุด) แต่มันอาจไม่มีโอกาสเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่นพิจารณาตัวแปรสุ่ม X ซึ่งเท่ากับ 0 หรือ 2 โดยแต่ละค่ามีความน่าจะเป็น 0.5 จากนั้น EX = 1 แต่ค่าที่คาดไว้คือ 1 มีความน่าจะเป็น 0 ที่เกิดขึ้นในขณะที่ 0 และ 2 เป็นทั้งสองโหมดของการแจกแจง

ข้อความอ้างอิง "ค่าคาดหวังของ x คือสิ่งที่คนคาดหวังว่าจะเกิดขึ้นโดยเฉลี่ย" เป็นภาษาของคนธรรมดาที่ไม่ใช่ด้านเทคนิคซึ่งเห็นได้ชัดจากความสับสนของคุณเพียงทำหน้าที่สร้างความสับสนให้กับเรื่อง ค่าที่คาดหวังมีความหมายเฉพาะมากในความน่าจะเป็นเป็นค่าเฉลี่ยทางคณิตศาสตร์ ในขณะที่ภาษาของคนธรรมดาค่าคาดหวังหรือ "โดยเฉลี่ย" อาจเป็นสิ่งที่คาดว่าจะเกิดขึ้น สิ่งเหล่านี้สามารถกระทบยอดได้หาก "โดยเฉลี่ย" ถูกตีความว่าเป็นค่าเฉลี่ยทางคณิตศาสตร์ของสิ่งที่เกิดขึ้น

ขอแสดงความนับถือ

โจเฉลี่ย

— หินมาร์คแอล
แหล่งที่มา

1

คำถามเริ่ม: แล้วค่ามัธยฐานซึ่งรับประกันได้ว่าเป็นไปได้ ?

— ดาวสว่างไสวใน

ดังที่ @TrevorAlexander กล่าวว่าโหมดไม่รับประกันใด ๆ พิจารณาโหมดการกระจายอย่างต่อเนื่อง

— ทิม

3

P (X \leq m) \geq 1 / 2

$P(X \le m) \ge 1/2$

P (X \geq m) \geq 1 / 2

$P(X \ge m) \ge 1/2$

5

P (X = E (X)) = 0

$P( X = E(X) ) = 0$

X

$X$

เหตุผลเดียวสำหรับค่าที่คาดหวังและเหตุผลที่เรา "คาดหวังที่จะเห็นมันบ่อย ๆ " คือกฎของคนจำนวนมาก :

$n$ $X_i$

\frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n} \to E (X)

$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$

$\to$

$p> \frac 12$ $1$ $1-p$ $0$

E (X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p

$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$

ตอนนี้ชัดเจน "p" จะไม่เกิดขึ้น (ไม่ว่าจะเป็นหัวหรือส่วนท้ายทั้ง 0 หรือ 1)

$E(X) = p$

— มด
แหล่งที่มา

ฉันจะไม่พูดว่ากฎของคนจำนวนมากเป็นเหตุผลเดียวสำหรับค่าที่คาดหวัง ตัวอย่างเช่นen.wikipedia.org/wiki/…เป็นข้ออ้างในการพิจารณาค่าฟังก์ชันยูทิลิตี้ที่คาดหวัง (ฉันยังไม่ได้ศึกษาหลักฐาน แต่ฉันประหลาดใจถ้ามันขึ้นอยู่กับกฎหมายจำนวนมาก)

— Juho Kokkala

3

ฉันไม่ชอบคำว่า "มูลค่าที่คาดหวัง" และไม่ได้ใช้เมื่อสอนความน่าจะเป็น "ค่าเฉลี่ยเลขคณิต" นั้นดีกว่าในความคิดของฉันเพราะค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 6-die die คือ 3.5 แต่ตัวเลขดังกล่าวไม่เกิดขึ้น ฉันเคยได้ยินคำว่า "ค่าคาดหวัง" สำหรับแนวคิดเมื่ออยู่ในวิทยาลัย ข้อกำหนดทางเทคนิคจำนวนมากไม่เห็นด้วยกับความหมายที่ไม่ใช่ด้านเทคนิคที่ชัดเจน ("หรือ" อยู่ในใจ)

โปรดทราบว่าการแจกแจงอาจมีมากกว่าหนึ่งโหมด แต่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตนั้นไม่ซ้ำกัน โหมดค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานจะแตกต่างกันและมีการใช้ที่แตกต่างกัน

— TTW
แหล่งที่มา

1

นีซบน "หรือ" นั่นทำให้ฉันคิดถึงหลักสูตรของฉันในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นซึ่งเราศึกษาทฤษฎีทางเลือกหลายประการ พวกเขาอยู่ในรูปแบบ "E เป็น A จริงหรือ B จริง แต่ไม่ใช่ทั้งสอง" มันง่ายกว่ามากที่จะแสดงมันเป็น A xor B ฉันไม่ได้ยินการใช้ xor ในการสนทนาแบบสตรีท

— Mark L. Stone

2

ความแตกต่างนั้นง่ายที่สุดที่จะเห็นด้วยการแจกแจงแบบแยก:

พิจารณาสองชุดของค่าที่แต่ละหมายเลขมีแนวโน้มที่จะวาดเท่ากัน: {1,2,2,2,10} และ {1,2,2,2,3}

ทั้งสองมีโหมดเดียวกัน (2) แต่ค่าที่คาดหวังจะแตกต่างกัน ค่าที่คาดไว้ทำให้น้ำหนักเพิ่มเป็นพิเศษสำหรับค่าขนาดใหญ่ในขณะที่โหมดค้นหาสิ่งที่เกิดขึ้นบ่อยครั้ง ดังนั้นถ้าคุณดึงการแจกแจงนี้มาหลายครั้งค่าเฉลี่ยตัวอย่างของคุณจะใกล้เคียงกับค่าที่คาดไว้ในขณะที่จำนวนเต็มที่เกิดขึ้นโดยทั่วไปจะใกล้เคียงกับโหมด

$mode=arg{\max{f(x)}}$ $x*f(x)$

การใช้ภาษาเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างการวัดแนวโน้มกลางเป็นปัญหาทั่วไปเมื่อเรียนรู้สถิติ ตัวอย่างเช่นค่ามัธยฐานเป็นตัวชี้วัดอื่นที่ไม่ได้เอียงตามค่าขนาดใหญ่เช่นค่าเฉลี่ย

— VCG
แหล่งที่มา