พิจารณา 3 ตัวอย่าง iid ที่ดึงมาจากการแจกแจงแบบเดียวกัน โดยที่คือพารามิเตอร์ ฉันต้องการหา
ที่เป็นคำสั่งสถิติฉันu(θ,2θ)θ
E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i
ฉันคาดว่าผลลัพธ์จะเป็น
แต่วิธีเดียวที่ฉันสามารถแสดงผลลัพธ์นี้ดูเหมือนจะเกินไป ยาวฉันไม่สามารถหาวิธีแก้ปัญหาอย่างง่ายได้หรือไม่ฉันขาดอะไรมีทางลัดบ้างไหม?
E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2
สิ่งที่ฉันทำมีดังต่อไปนี้:
ฉันพบความหนาแน่นแบบมีเงื่อนไข
f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
ฉันรวม
E[X(2)|X(1),X(3)]=∫xf(x|x(1),x(3))dx
รายละเอียด:
ฉันใช้สูตรทั่วไปสำหรับความหนาแน่นของสถิติการสั่งซื้อ (ด้วยตัวบ่งชี้ของชุด )I{A}A
fx(1),…,x(n)(x1,⋯,xn)=n!∏i=1nfx(xi)I{x(1)≤x(2)≤⋯≤x(n)}(x1,⋯,xn)
เพื่อรับกรณีของฉัน
fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1≤x2≤⋯≤xn}(x1,⋯,x3)
ขอบของคือfx(1),x(3)(u,v)
fx(1),x(3)(u,v)=∫fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2
นั่นคือ
fx(1),x(3)(u,v)=∫3!1θ3I{x1=u≤x2≤x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[v−u]
ด้วยเหตุนี้
f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iu≤x2≤⋯≤v(u,x2,v)3!1θ3[v−u]=[v−u]−1I{u<x2<v}
ซึ่งจะช่วยให้
E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[v−u]−1∫vuxdx=[v−u]−1[v2−u2]2=u+v2