วิธีที่ง่ายกว่าในการค้นหา


9

พิจารณา 3 ตัวอย่าง iid ที่ดึงมาจากการแจกแจงแบบเดียวกัน โดยที่คือพารามิเตอร์ ฉันต้องการหา ที่เป็นคำสั่งสถิติฉันu(θ,2θ)θ

E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i

ฉันคาดว่าผลลัพธ์จะเป็น แต่วิธีเดียวที่ฉันสามารถแสดงผลลัพธ์นี้ดูเหมือนจะเกินไป ยาวฉันไม่สามารถหาวิธีแก้ปัญหาอย่างง่ายได้หรือไม่ฉันขาดอะไรมีทางลัดบ้างไหม?

E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2

สิ่งที่ฉันทำมีดังต่อไปนี้:

  • ฉันพบความหนาแน่นแบบมีเงื่อนไข

    f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
  • ฉันรวม

E[X(2)|X(1),X(3)]=xf(x|x(1),x(3))dx

รายละเอียด:

ฉันใช้สูตรทั่วไปสำหรับความหนาแน่นของสถิติการสั่งซื้อ (ด้วยตัวบ่งชี้ของชุด )I{A}A

fx(1),,x(n)(x1,,xn)=n!i=1nfx(xi)I{x(1)x(2)x(n)}(x1,,xn)

เพื่อรับกรณีของฉัน

fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1x2xn}(x1,,x3)

ขอบของคือfx(1),x(3)(u,v)

fx(1),x(3)(u,v)=fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2

นั่นคือ

fx(1),x(3)(u,v)=3!1θ3I{x1=ux2x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[vu]

ด้วยเหตุนี้

f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iux2v(u,x2,v)3!1θ3[vu]=[vu]1I{u<x2<v}

ซึ่งจะช่วยให้

E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[vu]1uvxdx=[vu]1[v2u2]2=u+v2

ฉันไม่ได้ดูสิ่งที่คุณทำ แต่คุณได้รับคำตอบของไม่ใช่uv2u+v2
Mark L. Stone

@ MarkL.Stone คุณพูดถูก ... ฉันแก้ไขแล้วบรรทัดสุดท้ายหนึ่งส่วนของไม่ถูกต้อง xdx
พวกเขา

คำตอบ:


5

เนื่องจากทั้งหมดมีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอตัวแปรทั้งหมด (ไม่เรียงลำดับ) ถือว่าเป็นอิสระและไม่มีสถิติการเรียงลำดับอื่น ๆ ระหว่างและ ,มีการแจกแจงแบบตัดทอน การสนับสนุนในช่วงเวลา{(3)}] ค่าเฉลี่ยของมันคือ , QEDXiX(1)X(3) X(2)[X(1),X(3)](X(1)+X(3))/2


หากคุณต้องการการสาธิตอย่างเป็นทางการทราบว่าเมื่อมี IID มีการกระจายอย่างต่อเนื่องอย่างความหนาแน่นเงื่อนไขของ (เงื่อนไขในสถิติการสั่งซื้ออื่น ๆ ทั้งหมด) เป็นซึ่งเป็นการแจกแจงที่ถูกตัดทอน (เมื่อ ,ถูกนำมาเป็นและเมื่อ ,ถูกนำมาเป็น ) สิ่งต่อไปนี้มาจากข้อต่อ pdf ของฟังก์ชันการเรียงลำดับ สถิติตัวอย่างเช่นพร้อมกับคำจำกัดความของความหนาแน่นตามเงื่อนไขXiFX(k)dF(xk)/(F(x(k+1))F(x(k1)))k=1F(x0)0k=nF(xn+1)1


เมื่อคุณเขียนคุณอ้างถึงความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ X ฉันใช่ไหม dF(xk)
พวกเขา

1
ใช่ถูกต้องแล้ว ตามคำนิยาม (โดยทางเทคนิคแล้วฉันควรเรียกสิ่งนี้ว่า "องค์ประกอบความน่าจะเป็น" แทนที่จะเป็น "ความหนาแน่น")
dF(x)=dFdx(x)dx.
whuber
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.