ปรีชาสำหรับความคาดหวังตามเงื่อนไขของ -algebra

Letมีพื้นที่ความน่าจะเป็นที่ได้รับตัวแปรสุ่มและพีชคณิตเราสามารถสร้างตัวแปรสุ่มใหม่ซึ่งเป็นความคาดหวังตามเงื่อนไข$(\Omega,\mathscr{F},\mu)$$\xi:\Omega \to \mathbb{R}$$\sigma$$\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}$$E[\xi|\mathscr{G}]$

ว่าอะไรคือสัญชาตญาณสำหรับการคิดเกี่ยวกับ ? ฉันเข้าใจสัญชาตญาณสำหรับสิ่งต่อไปนี้:$E[\xi|\mathscr{G}]$

(i) โดยที่คือเหตุการณ์ (ที่มีความน่าจะเป็นบวก)$E[\xi|A]$$A$

(ii) โดยที่เป็นตัวแปรสุ่มแบบแยก$E[\xi|\eta]$$\eta$

แต่ฉันไม่สามารถเห็นภาพ{G}] ฉันเข้าใจคณิตศาสตร์ของมันและฉันเข้าใจว่ามันถูกกำหนดในลักษณะทั่วไปที่ง่ายกว่ากรณีที่เราสามารถเห็นภาพ แต่กระนั้นฉันก็ไม่คิดว่าวิธีนี้มีประโยชน์ มันยังคงเป็นวัตถุลึกลับสำหรับฉัน$E[\xi|\mathscr{G}]$

ตัวอย่างเช่นสมมติเป็นเหตุการณ์ที่มี 0 รูปแบบพีชคณิตหนึ่งที่สร้างขึ้นโดย จากนั้นจะเท่ากับถ้าและเท่ากับถ้าA กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าและถ้า\ omega \ in a ^ค$A$$\mu(A)>0$$\sigma$$\mathscr{G} = \{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$A$$E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$$\frac{1}{\mu(A)} \int_A \xi$$\omega \in A$$\frac{1}{\mu(A^c)} \int_{A^c} \xi$$\omega \not \in A$$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A]$$\omega\in A$$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A^c]$$\omega \in A^c$

ส่วนที่สับสนคือ$\omega \in \Omega$ดังนั้นทำไมเราไม่เขียน$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|\Omega] = E[\xi]$ ? ทำไมเราถึงแทนที่$E[\xi|\mathscr{G}]$ด้วย$E[\xi| A\text{ or } A^c]$ขึ้นอยู่กับว่า$\omega\in A$แต่ไม่ได้รับอนุญาตให้แทนที่$E[\xi|\mathscr{G}]$โดย$E[\xi]$ ?

บันทึก. ในการตอบคำถามนี้ไม่ได้อธิบายโดยใช้คำจำกัดความที่เข้มงวดของการคาดการณ์ตามเงื่อนไข ฉันเข้าใจ. สิ่งที่ฉันต้องการทำความเข้าใจคือสิ่งที่ความคาดหวังตามเงื่อนไขควรจะคำนวณและทำไมเราจึงปฏิเสธอย่างใดอย่างหนึ่งแทนอีกสิ่งหนึ่ง

วิธีหนึ่งที่จะคิดเกี่ยวกับการเป็นตัวแทนเงื่อนไขเป็นฉายลงบนที่$\sigma$พีชคณิตG$\mathscr{G}$

( จาก Wikimedia Commons )

นี่เป็นเรื่องจริงอย่างจริงจังเมื่อพูดถึงตัวแปรสุ่มที่รวมกันเป็นตาราง ในกรณีนี้$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$เป็นจริงประมาณการมุมฉากของตัวแปรสุ่มบนสเปซของประกอบด้วยตัวแปรสุ่มที่วัดด้วยความเคารพ{G} และในความเป็นจริงมันก็กลายเป็นจริงในแง่หนึ่งสำหรับตัวแปรสุ่มผ่านการประมาณค่าโดยตัวแปรสุ่มξ L 2 ( Ω ) G L 1 L $\xi$$L^2(\Omega)$$\mathscr{G}$$L^1$$L^2$

(ดูความคิดเห็นสำหรับการอ้างอิง)

ถ้าใครคิดว่า algebras เป็นตัวแทนของข้อมูลที่เรามีอยู่ (การตีความที่ de rigueur ในทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม) ดังนั้น algebras ที่ใหญ่กว่าหมายถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปได้มากขึ้นและข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้σ - σ - σ $\sigma-$$\sigma-$$\sigma-$ algebras หมายถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปได้น้อยลงและทำให้ข้อมูลเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้น้อยลง

ดังนั้นที่ยื่นออกมา -measurable ตัวแปรสุ่มบนขนาดเล็กพีชคณิตวิธีการเดาที่ดีที่สุดของเราสำหรับค่าของได้รับข้อมูลที่ จำกัด มากขึ้นจากF ξ σ - G ξ $\mathscr{F}$$\xi$$\sigma-$$\mathscr{G}$$\xi$$\mathscr{G}$ .

กล่าวอีกอย่างหนึ่งคือให้ข้อมูลจากเท่านั้นและไม่ใช่ข้อมูลทั้งหมดจาก ,ซึ่งเป็นสิ่งที่ดีที่สุดของเรา เดาเป็นไปได้สำหรับสิ่งที่เป็นตัวแปรสุ่มคือ$\mathscr{G}$$\mathscr{F}$$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\xi$

จากตัวอย่างของคุณฉันคิดว่าคุณอาจสับสนกับตัวแปรสุ่มและค่าของตัวแปรเหล่านั้น ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นพื้นที่เหตุการณ์ มันไม่ใช่ตัวเลข กล่าวอีกนัยหนึ่ง ,ในขณะที่ ,{R}$X$$X: \Omega \to \mathbb{R}$$X \in \{f\ |\ f: \Omega \to \mathbb{R} \}$$\omega \in \Omega$$X(\omega)\in\mathbb{R}$

สัญกรณ์สำหรับความคาดหวังที่มีเงื่อนไขในความคิดของฉันไม่ดีจริงๆเพราะมันเป็นตัวแปรสุ่มตัวเองเช่นนี้ยังมีฟังก์ชั่น ในทางตรงกันข้าม (ปกติ) ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มเป็นจำนวน ความคาดหวังตามเงื่อนไขของตัวแปรสุ่มเป็นปริมาณที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบเดียวกันคือไม่แม้แต่ "พิมพ์เช็ค" ด้วย$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\mathbb{E}[\xi]$Xi]

กล่าวอีกนัยหนึ่งโดยใช้สัญลักษณ์$\mathbb{E}$เพื่อแสดงถึงความคาดหวังทั้งแบบปกติและแบบมีเงื่อนไขเป็นการใช้สัญลักษณ์ขนาดใหญ่มาก

จากทั้งหมดที่กล่าวไว้โปรดทราบว่าคือตัวเลข (ค่าของตัวแปรสุ่มประเมินที่ค่า ) แต่เป็นตัวแปรสุ่ม แต่มันกลับกลายเป็นตัวแปรสุ่มคงที่ (เช่น trivial degenerate) เพราะ -algebra ที่สร้างขึ้นโดย ,เป็นเรื่องไร้สาระ / เสื่อมโทรมแล้วเทคนิคการพูดค่าคงที่ของตัวแปรสุ่มคงที่นี้คือที่นี่$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}](\omega)$$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\omega$$\mathbb{E}[\xi|\Omega]$$\sigma$$\Omega$$\{ \emptyset, \Omega\}$$\mathbb{E}[\xi]$$\mathbb{E}$ หมายถึงความคาดหวังปกติและตัวเลขไม่ใช่ความคาดหวังตามเงื่อนไขและไม่ใช่ตัวแปรสุ่ม

คุณดูเหมือนจะสับสนกับสัญกรณ์หมายถึงอะไร; ในทางเทคนิคการพูดเป็นไปได้ที่จะมีเงื่อนไขใน algebras ไม่ใช่ในแต่ละเหตุการณ์เนื่องจากการวัดความน่าจะเป็นจะถูกกำหนดเฉพาะกับ algebras ที่สมบูรณ์เท่านั้นไม่ใช่ในแต่ละเหตุการณ์ ดังนั้นเป็นเพียงย่อ (ขี้เกียจ) สำหรับ , ที่หมายถึงพีชคณิตที่สร้างขึ้น โดยเหตุการณ์ซึ่งเป็น\} โปรดสังเกตว่า ; กล่าวอีกนัยหนึ่ง ,$\mathbb{E}[\xi|A]$$\sigma-$$\sigma-$$\mathbb{E}[\xi|A]$$\mathbb{E}[\xi|\sigma(A)]$$\sigma(A)$$\sigma-$$A$$\{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$\sigma(A) = \mathscr{G} = \sigma(A^c)$$\mathbb{E}[\xi|A]$$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$และมีวิธีการที่แตกต่างกันทั้งหมดเพื่อแสดงถึงวัตถุเดียวกันแน่นอน$\mathbb{E}[\xi|A^c]$

ในที่สุดฉันแค่อยากจะเพิ่มว่าคำอธิบายที่เข้าใจง่ายที่ฉันให้ไว้ข้างต้นอธิบายว่าทำไมค่าคงที่ของตัวแปรสุ่มเป็นเพียงหมายเลข - theพีชคณิตแสดงถึงจำนวนข้อมูลที่เป็นไปได้น้อยที่สุดที่เราสามารถทำได้ ในความเป็นจริงเป็นหลักไม่มีข้อมูลดังนั้นภายใต้สถานการณ์ที่รุนแรงนี้เดาที่ดีที่สุดเราจะได้มีที่ตัวแปรสุ่มคือเป็นตัวแปรสุ่มคงมีค่าคงที่คือXi]$\mathbb{E}[\xi|\Omega]=\mathbb{E}[\xi|\sigma(\Omega)]= \mathbb{E}[\xi| \{ \emptyset, \Omega\}]$$\mathbb{E}[\xi]$$\sigma-$$\{ \emptyset, \Omega\}$$\xi$$\mathbb{E}[\xi]$

หมายเหตุว่าทุกตัวแปรสุ่มคงมีตัวแปรสุ่มและพวกเขาทั้งหมดที่วัดด้วยความเคารพต่อเล็กน้อยพีชคณิตดังนั้นแน่นอนเราไม่ได้ว่าคงสุ่มเป็นการประมาณการมุมฉากของไปยังพื้นที่ย่อยของประกอบด้วยตัวแปรสุ่มที่วัดได้ด้วยความเคารพตามที่อ้างไว้$L^2$$\sigma$$\{\emptyset, \Omega\}$$\mathbb{E}[\xi]$$\xi$$L^2(\Omega)$$\{\emptyset, \Omega\}$

ฉันจะพยายามอธิบายรายละเอียดตามที่ William แนะนำ

ให้Ωเป็นพื้นที่ตัวอย่างของการโยนเหรียญสองครั้ง กำหนดวิ่ง var ξเป็นตัวการ ของหัวที่เกิดขึ้นในการทดสอบ เห็นได้ชัดว่าE [ ξ ] = 1 วิธีหนึ่งในการคิดว่า1คือ expec คุ้มค่าหมายถึงเป็นประมาณการที่ดีที่สุดสำหรับξ ถ้าเราต้องใช้เวลาคาดเดาสิ่งที่คุ้มค่าξจะใช้เวลาที่เราจะคาดเดา1 นี่เป็นเพราะE [ ( ξ - 1 ) 2 ] ≤ E [ ( ξ - a ) $\Omega$$\xi$$E[\xi] = 1$$1$$\xi$$\xi$$1$]สำหรับการใด ๆ จำนวนจริง$E[(\xi - 1)^2] \leq E[(\xi - a)^2]$$a$

แสดงโดยA = { H T , H H }เป็นเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์แรกคือหัว ให้G = { ∅ , A , A , C , Ω }เป็นσ -alg Gen โดย เราคิดว่าGเป็นตัวแทนของสิ่งที่เรารู้หลังจากการโยนครั้งแรก หลังจากโยนครั้งแรกหัวทั้งสองเกิดขึ้นหรือหัวไม่เกิดขึ้น ดังนั้นเราอยู่ในเหตุการณ์AหรือA cหลังจากการทอยครั้งแรก$A = \{ HT, HH \}$$\mathscr{G} = \{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$\sigma$$A$$\mathscr{G}$$A$$A^c$

หากเราอยู่ในเหตุการณ์Aค่าประมาณที่ดีที่สุดสำหรับξคือE [ ξ | A ] = 1.5 , และถ้าเราอยู่ในเหตุการณ์A cดังนั้นการประมาณที่ดีที่สุดสำหรับξคือE [ ξ | ค ] = 0.5$A$$\xi$$E[\xi|A] = 1.5$$A^c$$\xi$$E[\xi|A^c] = 0.5$

ตอนนี้กำหนดวิ่ง var η ( ω )ที่จะเป็นได้ทั้ง1.5หรือ0.5ขึ้นอยู่กับว่าหรือไม่ω ∈ สิ่งนี้วิ่ง var ηเป็นประมาณดีกว่า1 = E [ ξ ]ตั้งแต่E [ ( ξ - η ) 2 ] ≤ E [ ( ξ - 1 ) 2 ]$\eta(\omega)$$1.5$$0.5$$\omega\in A$$\eta$$1 = E[\xi]$$E[(\xi - \eta)^2] \leq E[(\xi -1)^2]$

อะไรηจะทำคือการให้คำตอบสำหรับคำถาม: สิ่งที่เป็นประมาณการที่ดีที่สุดของξหลังจากที่โยนครั้งแรก? เนื่องจากเราไม่ทราบข้อมูลหลังจากที่โยนแรกηจะขึ้นอยู่กับ เมื่อเหตุการณ์Gถูกเปิดเผยให้เราหลังจากที่โยนแรกค่าของηจะถูกกำหนดและให้ประมาณการที่ดีที่สุดสำหรับξ $\eta$$\xi$$\eta$$A$$\mathscr{G}$$\eta$$\xi$

ปัญหาเกี่ยวกับการใช้ξเป็นค่าประมาณของตัวเองเช่น0 = E [ ( ξ - ξ ) 2 ] ≤ E [ ( ξ - η ) 2 ]มีดังนี้ ξไม่ได้ถูกกำหนดอย่างชัดเจนหลังจากการโยนครั้งแรก พูดว่าผลลัพธ์ของการทดสอบคือωโดยมีผลลัพธ์แรกเป็นหัวหน้าเราอยู่ในเหตุการณ์Aแต่อะไรคือξ ( ω ) = ? เราไม่ทราบว่าจากเพียงแค่โยนแรกว่าค่าไม่ชัดเจนกับเราและเพื่อ$\xi$$0=E[(\xi - \xi)^2] \leq E[(\xi - \eta)^2]$$\xi$$\omega$$A$$\xi(\omega)=?$$\xi$ไม่ได้กำหนดไว้อย่างดี อย่างเป็นทางการมากขึ้นเราบอกว่าξไม่ใช่G -measme เช่นค่าของมันไม่ได้กำหนดอย่างชัดเจนหลังจากการโยนครั้งแรก ดังนั้นηเป็นค่าประมาณที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ของξหลังจากการโยนครั้งแรก$\xi$$\mathscr{G}$$\eta$$\xi$

บางทีบางคนที่นี่อาจมีตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ได้โดยใช้พื้นที่ตัวอย่าง[ 0 , 1 ] , ด้วยξ ( ω ) = ω , และGบางตัวที่ไม่น่าสนใจσ -algebra$[0,1]$$\xi (\omega) = \omega$$\mathscr{G}$$\sigma$

แม้ว่าคุณจะไม่ขอให้ใช้คำจำกัดความที่เป็นทางการ แต่ฉันคิดว่าคำจำกัดความที่เป็นทางการน่าจะเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการอธิบาย

Wikipedia - conditional expectation:

Then a conditional expectation of X given $\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$, denoted as $\displaystyle \scriptstyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$, is any $\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$-measurable function ( $\displaystyle \scriptstyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$) which satisfies:

$\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\;dP=\int _{H}X\;dP\qquad {\text{for each}}\quad H\in {\mathcal {H}}$

ประการแรกมันเป็นฟังก์ชั่นH-วัดได้ ประการที่สองก็มีเพื่อให้ตรงกับความคาดหวังมากกว่าทุกที่วัด (ย่อย) ที่ตั้งอยู่ในH ดังนั้นสำหรับเหตุการณ์, A, พีชคณิตซิกคือ{ , C , ∅ , Ω }ดังนั้นเห็นได้ชัดว่ามีการตั้งค่าที่คุณระบุไว้ในคำถามของคุณสำหรับโอห์ม∈ /ค ในทำนองเดียวกันสำหรับตัวแปรสุ่มแบบแยก (และชุดค่าผสม) เราจะแสดงรายการเหตุการณ์ดั้งเดิมทั้งหมดและกำหนดความคาดหวังของเหตุการณ์ดั้งเดิมนั้น$\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$$\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$$\{A,A^C,\emptyset, \Omega\}$$\omega \in A/A^c$

Now consider tossing a coin an infinite number of times, where at each toss i, you get $1/2^i$, if your coin is tails then your total winnings are $X=\sum _{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}c_i$ where $c_i$ = 1 for tails and 0 for heads. Then X is a real random variable on $[0,1]$. After n coin tosses, you know the value of X to precision $1/2^n$, eg after 2 coin tosses it is in [0,1/4], [1/4,1/2], [1/2,3/4] or [3/4,1] - after every coin toss, your associated sigma algebra is getting finer and finer, and similarly the conditional expectation of X is getting more and more precise.

Hopefully this example of a real valued random variable with a sequence of sigma algebras getting finer and finer (Filtration) gets you away from the purely event based intuition you are used to, and clarifies its purpose.