ต้องการใช้และเมื่อใด

ดังนั้นเราจึงมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต (AM), ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต (GM) และค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก (HM) สูตรทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาเป็นที่รู้จักกันดีพร้อมกับตัวอย่างแบบแผนที่เกี่ยวข้องของพวกเขา (เช่นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกและการประยุกต์ใช้กับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ 'ความเร็ว')

อย่างไรก็ตามคำถามที่ทำให้ฉันรู้สึกทึ่งอยู่เสมอคือ "ฉันจะตัดสินใจได้อย่างไรว่าค่าเฉลี่ยใดเหมาะสมที่สุดที่จะใช้ในบริบทที่กำหนด" อย่างน้อยจะต้องมีกฎง่ายๆที่จะช่วยให้เข้าใจการบังคับใช้และยังมีคำตอบที่พบบ่อยที่สุดที่ฉันเจอคือ: "มันขึ้นอยู่กับ" (แต่ขึ้นอยู่กับอะไร)

นี่อาจดูเหมือนจะเป็นคำถามที่ค่อนข้างเล็กน้อย แต่ตำราระดับมัธยมก็ล้มเหลวในการอธิบายสิ่งนี้ - พวกมันให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์เท่านั้น!

ฉันชอบคำอธิบายภาษาอังกฤษมากกว่าการทดสอบทางคณิตศาสตร์อย่างใดอย่างหนึ่ง - การทดสอบอย่างง่ายจะเป็น "แม่ / ลูกของคุณจะเข้าใจหรือไม่?"

คำตอบนี้อาจมีการคำนวณทางคณิตศาสตร์งอเล็กน้อยกว่าที่คุณกำลังมองหา

สิ่งสำคัญที่ต้องตระหนักคือว่าทั้งหมดของวิธีการเหล่านี้เป็นเพียงค่าเฉลี่ยในการปลอมตัว

คุณลักษณะที่สำคัญในการระบุว่า (ถ้ามี!) ของวิธีการทั่วไปทั้งสาม (เลขคณิตเรขาคณิตหรือฮาร์มอนิก) คือ "ขวา" หมายถึงการหา "โครงสร้างเสริม" ในคำถามที่อยู่ในมือ

กล่าวอีกนัยหนึ่งสมมติว่าเราได้รับปริมาณนามธรรมซึ่งฉันจะเรียกว่า "การวัด" ซึ่งค่อนข้างจะเป็นการละเมิดคำศัพท์ด้านล่างนี้เพื่อความมั่นคง สามวิธีเหล่านี้สามารถหาได้โดย (1) เปลี่ยนแต่ละบางส่วน(2) รับค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้ว (3) เปลี่ยนกลับไปเป็นระดับการวัดดั้งเดิม$x_1, x_2,\ldots,x_n$$x_i$$y_i$

ค่ามัชฌิมเลขคณิต : เห็นได้ชัดว่าเราจะใช้ "ตัวตน" การเปลี่ยนแปลง:x_i ดังนั้นขั้นตอน (1) และ (3) เล็กน้อย (ไม่มีอะไรจะทำ) และY$y_i = x_i$$\bar x_{\mathrm{AM}} = \bar y$

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต : ที่นี่โครงสร้างเพิ่มเติมอยู่บนลอการิทึมของการสังเกตเดิม ดังนั้นเราจึงใช้และเพื่อให้ได้ GM ในขั้นตอนที่ (3) เราแปลงกลับผ่านฟังก์ชั่นผกผันของเช่น{y})$y_i = \log x_i$$\log$$\bar x_{\mathrm{GM}} = \exp(\bar{y})$

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก : ที่นี่โครงสร้างเพิ่มเติมอยู่บนส่วนกลับของการสังเกตของเรา ดังนั้นไหน{y}$y_i = 1/x_i$$\bar x_{\mathrm{HM}} = 1/\bar{y}$

ในปัญหาทางกายภาพเหล่านี้มักจะเกิดขึ้นผ่านกระบวนการดังต่อไปนี้: เรามีปริมาณบางที่ยังคงได้รับการแก้ไขในความสัมพันธ์กับเราวัดและบางส่วนปริมาณอื่น ๆ พูดz_1ตอนนี้เราเล่นเกมต่อไปนี้: เก็บค่าคงที่และและลองหาเช่นนั้นถ้าเราแทนที่การสังเกตการณ์แต่ละตัวของเราด้วยความสัมพันธ์ "รวม" จะยังคงอนุรักษ์ไว้ .$w$$x_1,\ldots,x_n$$z_1,\ldots,z_n$$w$$z_1+\cdots+z_n$$\bar x$$x_i$$\bar x$

ตัวอย่างระยะทาง - ความเร็ว - เวลาดูเหมือนจะเป็นที่นิยมดังนั้นลองใช้กันดู

ระยะทางที่คงที่

พิจารณาเป็นระยะทางคงเดินทางdตอนนี้สมมติว่าเราเดินทางระยะทางนี้เวลาที่ต่างกันที่ความเร็วสละเวลาt_1ตอนนี้เราเล่นเกมของเรา สมมติว่าเราต้องการแทนที่ความเร็วของแต่ละบุคคลด้วยความเร็วคงที่อย่างเพื่อให้เวลารวมคงที่ โปรดทราบว่าเราได้ เพื่อให้0 เราต้องการความสัมพันธ์ทั้งหมดนี้(เวลารวมและระยะทางทั้งหมดที่เดินทาง) ได้รับการอนุรักษ์เมื่อเราแทนที่ด้วยในเกมของเรา ดังนั้น $d$$n$$v_1,\ldots,v_n$$t_1,\ldots,t_n$$\bar v$

$$d - v_i t_i = 0 \>,$$ $\sum_i (d - v_i t_i) = 0$$v_i$$\bar v$ $$n d - \bar v \sum_i t_i = 0 \>,$$ และเนื่องจากแต่ละเราได้รับ $t_i = d / v_i$ $$\bar v = \frac{n}{\frac{1}{v_1}+\cdots+\frac{1}{v_n}} = \bar v_{\mathrm{HM}} \>.$$

โปรดทราบว่า "โครงสร้างเพิ่มเติม" ที่นี่เกี่ยวข้องกับแต่ละครั้งและการวัดของเรามีความสัมพันธ์แบบผกผันดังนั้นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจึงถูกนำมาใช้

ระยะทางแปรผันเวลาคงที่

ทีนี้มาเปลี่ยนสถานการณ์กัน สมมติว่าสำหรับกรณีที่เราเดินทางเวลาที่กำหนดที่ความเร็วในระยะทางd_1ตอนนี้เราต้องการอนุรักษ์ระยะทางทั้งหมด เรามี และระบบทั้งหมดเป็นป่าสงวนถ้า0 เล่นเกมของเราอีกครั้งเราหาเช่นนั้น แต่เนื่องจากเราได้รับ $n$$t$$v_1,\ldots,v_n$$d_1,\ldots,d_n$

$$d_i - v_i t = 0 \>,$$ $\sum_i (d_i - v_i t) = 0$$\bar v$ $$\sum_i (d_i - \bar v t) = 0 \>,$$ $d_i = v_i t$ $$\bar v = \frac{1}{n} \sum_i v_i = \bar v_{\mathrm{AM}} \>.$$

ที่นี่โครงสร้างเพิ่มเติมที่เราพยายามรักษานั้นเป็นสัดส่วนกับการวัดที่เรามีดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะถูกนำมาใช้

คิวบ์วอลุ่มที่เท่ากัน

สมมติว่าเราได้สร้างกล่อง Dimensional พร้อมปริมาตรกำหนดและการวัดของเราคือความยาวด้านข้างของกล่อง จากนั้น และสมมติว่าเราต้องการสร้างคิวบ์ -dimensional (ไฮเปอร์) ที่มีปริมาตรเท่ากัน นั่นก็คือเราต้องการแทนที่ด้านความยาวของเราแต่ละโดยทั่วไปด้านยาวด้านx จากนั้น $n$$V$

$$V = x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \>,$$ $n$$x_i$$\bar x$ $$V = \bar x \cdot \bar x \cdots \bar x = \bar x^n \>.$$

นี้ได้อย่างง่ายดายแสดงให้เห็นว่าเราควรจะใช้{GM}}$\bar x = (x_i \cdots x_n)^{1/n} = \bar x_{\mathrm{GM}}$

โปรดสังเกตว่าโครงสร้างเพิ่มเติมอยู่ในลอการิทึมนั่นคือและเราพยายามที่จะอนุรักษ์ปริมาณทางซ้าย$\log V = \sum_i \log x_i$

วิธีการใหม่จากเก่า

ลองคิดดูว่าค่าเฉลี่ยของ "ธรรมชาติ" คืออะไรในสถานการณ์ที่คุณปล่อยให้ระยะทางและเวลาแตกต่างกันไปในตัวอย่างแรก นั่นก็คือเรามีระยะทาง , ความเร็วและเวลาt_iเราต้องการอนุรักษ์ระยะทางทั้งหมดและเวลาที่เดินทางไปและหาค่าคงที่เพื่อให้ได้สิ่งนี้$d_i$$v_i$$t_i$$\bar v$

การออกกำลังกาย : "ธรรมชาติ" หมายถึงอะไรในสถานการณ์นี้

การขยายความคิดเห็นที่ยอดเยี่ยมของ @Brandon (ซึ่งฉันคิดว่าควรได้รับการส่งเสริมให้ตอบ):

ควรใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเมื่อคุณสนใจในความแตกต่างแบบทวีคูณ Brandon ตั้งข้อสังเกตว่าควรใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเมื่อช่วงแตกต่างกัน ซึ่งมักจะถูกต้อง เหตุผลก็คือเราต้องการทำให้ช่วงเท่ากัน ตัวอย่างเช่นสมมติว่าผู้สมัครวิทยาลัยได้รับการจัดอันดับคะแนน SAT (0 ถึง 800) คะแนนเฉลี่ยระดับ HS (0 ถึง 4) และกิจกรรมนอกหลักสูตร (1 ถึง 10) หากวิทยาลัยต้องการที่จะเฉลี่ยสิ่งเหล่านี้และทำให้เท่าเทียมกันในช่วง (นั่นคือน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นในแต่ละคุณภาพเทียบกับช่วง) แล้วค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจะเป็นวิธีที่จะไป

แต่นี่ไม่เป็นความจริงเสมอเมื่อเรามีเครื่องชั่งที่มีช่วงที่แตกต่างกัน หากเราเปรียบเทียบรายได้ในประเทศต่าง ๆ (รวมถึงคนจนและคนรวย) เราอาจไม่ต้องการค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต แต่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (หรือมีแนวโน้มมากขึ้นคือค่ามัธยฐานหรือค่าเฉลี่ยตัด)

การใช้งานอย่างเดียวที่ฉันเห็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกคือการเปรียบเทียบอัตรา ตัวอย่าง: หากคุณขับรถจากนิวยอร์กไปบอสตันที่ 40 ไมล์ต่อชั่วโมงและกลับมาที่ 60 ไมล์ต่อชั่วโมงค่าเฉลี่ยโดยรวมของคุณไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 50 ไมล์ต่อชั่วโมง แต่ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

AM = HM =$(40 + 60)/2 = 50$$2/(1/40 + 1/60) = 48$

เพื่อตรวจสอบว่าสิ่งนี้ถูกต้องสำหรับตัวอย่างง่ายๆนี้ลองนึกภาพว่ามันอยู่ห่างจาก NYC ถึง Boston เป็นระยะทาง 120 ไมล์ จากนั้นไดรฟ์จะใช้เวลา 3 ชั่วโมงบ้านของไดรฟ์ใช้เวลา 2 ชั่วโมงรวมเป็น 5 ชั่วโมงและระยะทาง 240 ไมล์ $240/5 = 48$

ฉันจะพยายามต้มให้เหลือเพียง 3-4 กฎง่ายๆและยกตัวอย่างเพิ่มเติมของ Pythagorean

ความสัมพันธ์ระหว่าง 3 วิธีคือหือ <GM <AM ข้อมูลที่ไม่ใช่เชิงลบที่มีการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง พวกเขาจะเท่ากันถ้าหากไม่มีการเปลี่ยนแปลงเลยในข้อมูลตัวอย่าง

สำหรับข้อมูลในระดับให้ใช้ AM ราคาเป็นตัวอย่างที่ดี สำหรับอัตราส่วนให้ใช้ GM ผลตอบแทนการลงทุนราคาสัมพัทธ์เช่นดัชนี Bloomberg Billy (ราคาของชั้นวางหนังสือ Billy ของ Ikea ในหลายประเทศเมื่อเทียบกับราคาสหรัฐ) และดัชนีการพัฒนามนุษย์ของสหประชาชาติเป็นตัวอย่างทั้งหมด HM มีความเหมาะสมเมื่อต้องรับมือกับอัตรา นี่คือตัวอย่างที่ไม่ใช่รถยนต์ที่ได้รับความอนุเคราะห์จากDavid Giles :

ตัวอย่างเช่นพิจารณาข้อมูลเกี่ยวกับ "ชั่วโมงทำงานต่อสัปดาห์" (อัตรา) สมมติว่าเรามีสี่คน (การสังเกตตัวอย่าง) แต่ละคนทำงานรวม 2,000 ชั่วโมง อย่างไรก็ตามมันใช้งานได้หลายชั่วโมงต่อสัปดาห์ดังนี้:

Person      Total Hours       Hours per Week          Weeks Taken
1                  2,000                  40                   50
2                  2,000                  45                   44.4444
3                  2,000                  35                   57.142857
4                  2,000                  50                   40

Total:           8,000                                       191.587297

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าในคอลัมน์ที่สามคือ AM = 42.5 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ อย่างไรก็ตามให้สังเกตว่าค่านี้มีความหมายว่าอย่างไร การหารจำนวนสัปดาห์ทั้งหมดที่สมาชิกตัวอย่างทำงาน (8,000) โดยค่าเฉลี่ยนี้ให้ค่าเป็น 188.2353 เนื่องจากจำนวนทั้งหมดของสัปดาห์ที่ทำงานโดยคนทั้งสี่

ตอนนี้ดูที่คอลัมน์สุดท้ายในตารางด้านบน ในความเป็นจริงค่าที่ถูกต้องสำหรับจำนวนสัปดาห์ทั้งหมดที่ทำงานโดยสมาชิกตัวอย่างคือ 191.5873 สัปดาห์ หากเราคำนวณค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสำหรับค่าชั่วโมงต่อสัปดาห์ในคอลัมน์ที่สามของตารางเราจะได้รับ HM = 41.75642 ชั่วโมง (<AM) และการหารจำนวนนี้เป็น 8,000 ชั่วโมงให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องของ 191.5873 สำหรับจำนวนทั้งหมด ของสัปดาห์ทำงาน นี่คือกรณีที่ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นตัววัดที่เหมาะสมสำหรับค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

เดวิดยังได้อธิบายถึงน้ำหนักถ่วงน้ำหนักของค่าเฉลี่ยทั้งสามซึ่งทำขึ้นในดัชนีราคาที่ใช้วัดเงินเฟ้อ

นอกเหนือจากจี้:

ROT เหล่านี้ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่นฉันมักจะพบว่ามันยากที่จะคิดออกว่าบางสิ่งบางอย่างเป็นอัตราหรืออัตราส่วน ผลตอบแทนจากการลงทุนมักจะได้รับการปฏิบัติเป็นอัตราส่วนเมื่อคำนวณวิธีการ แต่ก็เป็นอัตราเนื่องจากพวกเขามักจะอยู่ใน "x% ต่อหน่วยเวลา" "จะใช้ HM เมื่อข้อมูลเป็นระดับต่อหน่วยของเวลา" จะเป็นฮิวริสติกที่ดีขึ้นหรือไม่

หากคุณต้องการสรุปดัชนี Big Macสำหรับประเทศในยุโรปเหนือคุณจะใช้ GM หรือไม่

คำตอบที่เป็นไปได้สำหรับคำถามของคุณ ( "ฉันจะตัดสินใจซึ่งหมายความว่าเป็นที่เหมาะสมที่สุดที่จะใช้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่") เป็นคำนิยามของค่าเฉลี่ยตามที่กำหนดโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนออสการ์ Chisini

นี่คือกระดาษที่มีคำอธิบายโดยละเอียดและตัวอย่างบางส่วน (หมายถึงความเร็วในการเดินทางและอื่น ๆ )

ฉันคิดว่าวิธีง่ายๆในการตอบคำถามคือ:

1. หากโครงสร้างทางคณิตศาสตร์คือ xy = k (ความสัมพันธ์แบบผกผันระหว่างตัวแปร) และคุณกำลังมองหาค่าเฉลี่ยคุณต้องใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก - ซึ่งมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก - พิจารณา

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก = 2ab / (a ​​+ b) = a (b / a + b) + b (a / (a ​​+ b)

ตัวอย่างเช่น: ค่าเฉลี่ยของต้นทุนดอลลาร์อยู่ในหมวดหมู่นี้เนื่องจากจำนวนเงินที่คุณลงทุน (A) ยังคงที่ แต่ราคาต่อหุ้น (P) และจำนวนหุ้น (N) แตกต่างกันไป (A = PN) ในความเป็นจริงถ้าคุณคิดว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นตัวเลขที่อยู่กึ่งกลางระหว่างสองตัวเลขเท่ากันค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกก็คือจำนวนที่อยู่กึ่งกลางระหว่างตัวเลขสองตัวเท่ากัน แต่ (และนี่ก็ดี) "ศูนย์กลาง" คือที่ เท่ากัน. นั่นคือ: (x - a) / a = (b -x) / b โดยที่ x คือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

2. หากโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เป็นรูปแบบโดยตรง y = kx คุณใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - ซึ่งเป็นสิ่งที่ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกลดลงในกรณีนี้