นิยามของความน่าจะเป็นแบบบ่อย มีคำจำกัดความที่เป็นทางการหรือไม่?

มีคำจำกัดความที่เป็นทางการ (ทางคณิตศาสตร์) ของสิ่งที่ผู้ใช้บ่อยเข้าใจภายใต้ '' ความน่าจะเป็น 'หรือไม่ ฉันอ่านว่ามันเป็นความถี่สัมพัทธ์ของการเกิด '' ในระยะยาว '' แต่มีบางวิธีที่เป็นทางการในการกำหนดหรือไม่? มีการอ้างอิงที่รู้จักที่ฉันสามารถค้นหาคำจำกัดความนั้นได้หรือไม่?

แก้ไข:

ด้วยผู้ใช้บ่อย (ดูความคิดเห็นโดย @whuber และความคิดเห็นของฉันต่อคำตอบ @Kodiologist และ @Graeme Walsh ด้านล่างคำตอบนั้น) ฉันหมายถึงผู้ที่เชื่อในความถี่ระยะยาวที่มีอยู่นี้ บางทีนี่ (ส่วนหนึ่ง) ตอบคำถามของ @Tim ด้วย

TL; DRดูเหมือนจะไม่เป็นไปได้ที่จะนิยามคำจำกัดความความน่าจะเป็นแบบสม่ำเสมอที่สอดคล้องกับกรอบ Kolmogorov ซึ่งไม่ได้เป็นแบบวงกลมอย่างสมบูรณ์ (เช่นในแง่ของตรรกะแบบวงกลม)

ไม่นานดังนั้นฉันจึงได้อ่าน:ฉันต้องการที่จะระบุสิ่งที่ฉันเห็นว่าเป็นปัญหาที่อาจเกิดขึ้นกับคำจำกัดความของความน่าจะเป็นผู้สมัครก่อนสามารถตีความได้อย่างสมเหตุสมผลว่าเป็นตัวแปรสุ่มดังนั้นการแสดงออกข้างต้นจึงไม่ได้กำหนดอย่างแม่นยำในความหมายที่เข้มงวด เราจำเป็นต้องระบุโหมดการลู่เข้าสำหรับตัวแปรสุ่มนี้ไม่ว่าจะเป็นความน่าจะเป็นในการแจกแจงค่าเฉลี่ยหรือกำลังสองเฉลี่ย

$$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$$ $n_A$

แต่แนวคิดเรื่องการบรรจบกันทั้งหมดเหล่านี้จำเป็นต้องมีการวัดความน่าจะเป็นในการกำหนดพื้นที่ความน่าจะเป็น แน่นอนว่าตัวเลือกที่ใช้งานง่ายนั้นคือการเลือกลู่เข้าหากันอย่างแน่นอน นี่เป็นคุณสมบัติที่ขีด จำกัด จำเป็นต้องมีอยู่ตามจุดยกเว้นในกรณีที่มีการวัดศูนย์ สิ่งใดที่ก่อให้เกิดชุดของศูนย์การวัดจะตรงกับครอบครัวของมาตรการใด ๆ ที่มีความต่อเนื่องกันด้วยความเคารพซึ่งกันและกัน - สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดแนวคิดของการบรรจบกันเกือบทำให้แน่ใจว่าการ จำกัด ข้างต้นอย่างเข้มงวด การวัดสำหรับพื้นที่ที่สามารถวัดได้ของเหตุการณ์คือ (นั่นเป็นเพราะอาจเป็นการวัดใด ๆ อย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอนด้วยความเคารพต่อการวัดที่เลือกไว้บางส่วน) สิ่งนี้จะป้องกันการเวียนในคำจำกัดความที่จะเกิดขึ้นจากการกำหนดมาตรการที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

อย่างไรก็ตามหากเราใช้การบรรจบกันเกือบจะแน่นอนนั่นหมายความว่าเรากำลัง จำกัด ตัวเองให้เข้ากับสถานการณ์ของกฎหมายจำนวนมาก (ต่อจากนี้ไป SLLN) ผมขอกล่าวทฤษฎีบทนั้น (ตามที่ได้รับในหน้า 133 ของชุง) เพื่อการอ้างอิงที่นี่:

ให้เป็นลำดับของตัวแปรสุ่มแบบอิสระที่กระจายแบบเหมือนกัน จากนั้นเรามีที่X_n$\{X_n\}$

$$\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$$ $$\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

สมมุติว่าเรามีพื้นที่ที่สามารถวัดได้และเราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยความเคารพต่อความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องกันบางครอบครัวI} จากนั้นโดยทฤษฎีบทส่วนขยายของ Kolmogorov หรือทฤษฎีการขยาย Ionescu Tulcea (ฉันคิดว่าทั้งสองงาน) เราสามารถสร้างตระกูลของพื้นที่ผลิตภัณฑ์หนึ่งสำหรับแต่ละ\(โปรดสังเกตว่าการมีอยู่ของช่องว่างของผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเป็นบทสรุปของทฤษฎีบทของ Kolmogorov กำหนดให้การวัดแต่ละช่องว่างเป็นดังนั้นเหตุใดฉันจึงจำกัดความเป็นไปได้แทนที่จะเป็นมาตรการโดยพลการ) จากนั้นกำหนด$(X, \mathscr{F})$$A \in \mathscr{F}$$\{\mu_i\}_{i \in I}$$\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$$\mu_i$$1$$\mathbb{1}_{A_j}$เป็นตัวแปรสุ่มตัวบ่งชี้คือซึ่งเท่ากับหากเกิดขึ้นในการคัดลอก th และหากไม่ได้กล่าวอีกนัยหนึ่งเห็นได้ชัดว่า (โดยที่หมายถึงความคาดหวังที่เกี่ยวกับ ) ดังนั้นกฎหมายที่เข้มแข็งของคนจำนวนมาก ใช้กับ (เพราะจากการก่อสร้าง$1$$A$$j$$0$

$$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$$ $0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$$\mathbb{E}_i$$\mu_i$$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$$\mathbb{1}_{A_j}$มีการกระจายอย่างอิสระและเหมือนกัน - โปรดทราบว่าการกระจายอย่างอิสระหมายความว่าการวัดพื้นที่ของผลิตภัณฑ์นั้นคูณด้วยความเคารพต่อมาตรการพิกัด) ดังนั้นเราจึงได้รับและทำให้ความหมายของเราสำหรับความน่าจะเป็นของด้วยความเคารพธรรมชาติควรจะ{A} $$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$$ $A$$\mu_i$$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

ฉันเพิ่งรู้ว่าถึงแม้ว่าลำดับของตัวแปรแบบสุ่มจะมาบรรจบกันเกือบแน่นอนด้วยความเคารพถ้าหากว่ามันมาบรรจบกับ , ( ที่ ) ที่ไม่ได้หมายความว่ามันจะมาบรรจบกันเพื่อค่าเดียวกัน ; ในความเป็นจริง SLLN รับประกันว่าจะไม่เว้นแต่ซึ่งไม่เป็นความจริงทั่วไป$\frac{n_A}{n}$$\mu_{i_1}$$\mu_{i_2}$$i_1, i_2 \in I$$\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

หากเป็น "บัญญัติพอ" อย่างใดพูดเช่นกระจายเครื่องแบบสำหรับชุด จำกัด แล้วอาจจะได้ผลดี แต่ไม่ได้ให้ข้อมูลเชิงลึกใหม่ ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการจัดจำหน่ายเครื่องแบบคือความน่าจะเป็นของเป็นเพียงสัดส่วนของจุดหรือเหตุการณ์ประถมศึกษาในซึ่ง เป็นของซึ่งดูเหมือนว่าค่อนข้างกลมสำหรับฉัน สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องฉันไม่เห็นว่าเราจะเห็นด้วยกับทางเลือก "canonical" ของได้อย่างไร$\mu$$\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$$A$$X$$A$$\mu$

คือดูเหมือนว่าเหมาะสมที่จะกำหนดความถี่ของเหตุการณ์เป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ดูเหมือนจะไม่เหมาะสมที่จะกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ให้เป็นความถี่ (อย่างน้อยไม่มีวงกลม) นี่เป็นปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากในชีวิตจริงเราไม่รู้จริง ๆ ว่าความน่าจะเป็นคืออะไร เราต้องประเมินมัน

โปรดทราบว่าคำจำกัดความของความถี่นี้สำหรับส่วนย่อยของพื้นที่ที่วัดได้นั้นขึ้นอยู่กับการวัดที่เลือกว่าเป็นพื้นที่น่าจะเป็น เช่นไม่มีมาตรการสินค้าหลายวท์สำเนาของ endowed กับเกอวัดตั้งแต่\ในทำนองเดียวกันการวัดโดยใช้การวัดผลิตภัณฑ์ที่ได้รับการยอมรับคือซึ่งทั้งระเบิดขึ้นไปไม่มีที่สิ้นสุดหากหรือไปที่ศูนย์ถ้ากล่าวคือทฤษฎีบทส่วนขยายของ Kolmogorov และ Tulcea นั้นเป็นผลลัพธ์ที่พิเศษมากโดยเฉพาะกับมาตรการความน่าจะเป็น$\mathbb{R}$$\mu(\mathbb{R})=\infty$$\prod_{j=1}^n X$$(\mu(X))^n$$\mu(X) >1$$\mu(X) <1$

ฉันไม่คิดว่าจะมีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์หรือเปล่า ความแตกต่างระหว่างการตีความความน่าจะเป็นต่าง ๆ นั้นไม่แตกต่างกันในการกำหนดความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นอาจจะหมายทางคณิตศาสตร์ด้วยวิธีนี้: ถ้าเป็นพื้นที่วัดกับแล้วน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆเป็นเพียง(S) ฉันหวังว่าคุณยอมรับว่าคำจำกัดความนี้เป็นกลางสำหรับคำถามเช่นว่าเราควรตีความความน่าจะเป็นในแบบประจำหรือแบบเบย์$(Ω, Σ, μ)$$μ(Ω) = 1$$S ∈ Σ$$μ(S)$