บางคนสามารถอธิบายได้ว่าฉันอายุ 5 ปีเกี่ยวกับปัญหานี้จากหนังสือ ESL ของ Hastie หรือไม่?

ฉันทำงานผ่านหนังสือ ESL ของ Hastie และฉันมีช่วงเวลาที่ยากลำบากสำหรับคำถาม 2.3 คำถามดังต่อไปนี้:

เรากำลังพิจารณาการประมาณเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดที่จุดเริ่มต้นและระยะทางเฉลี่ยจากจุดกำเนิดไปยังจุดข้อมูลที่ใกล้เคียงที่สุดจะได้รับจากสมการนี้ ฉันไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นอย่างไรในแง่ของการพยายามหามา

ฉันรู้ว่าจุดข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ใกล้กับขอบเขตของพื้นที่ตัวอย่างมากกว่าจุดข้อมูลอื่น ๆ (การสาปแช่งของมิติ) แต่ฉันมีปัญหาในการแปลสิ่งนี้เป็นความรู้สึกเชิงพีชคณิต / ความน่าจะเป็นเชิงเส้น

ขอบคุณ!

machine-learning computational-statistics

— แกรี่
แหล่งที่มา

"ELI5" ในชื่อหมายถึงอะไร หากคุณต้องการได้รับสมการนั้นคุณจะต้องเริ่มต้นด้วยแบบจำลองความน่าจะเป็นสำหรับคะแนนในลูกบอล: โมเดลนั้นคืออะไร (โปรดอย่ากำหนดให้ผู้อ่านของคุณอ้างถึงหนังสือหรือเว็บไซต์อื่น ๆ เพื่อทำความเข้าใจคำถามของคุณ)

— whuber

@ เมื่อฉันเห็นด้วย - ตัวย่อเป็นรูปแบบการแฮ็กที่แย่มาก

— Sycorax พูดว่า Reinstate Monica

คุณอายุห้าขวบ เครดิตทั้งหมดสำหรับคุณที่ต้องการเข้าใจ ESL แต่คุณจะต้องรอจนกว่าคุณจะอายุหกขวบ มันเป็นหนังสือสำหรับเด็กชายและเด็กหญิงตัวใหญ่

— Nick Cox

เด็กอายุห้าขวบอาจเริ่มต้นด้วยการดูกรณีหนึ่งมิติ (p = 1) และเมื่ออยู่ในมือให้นำมันออกมาจากที่นั่น

— Mark L. Stone

ถ้าเราจะให้ ELI5 สะกดคำว่า ESL ล่ะ?

— mdewey

ให้เป็นระยะทางจากจุดกำเนิดและปล่อยให้เป็นปริมาตรของหน่วย hypersphere ในมิติจากนั้นปริมาตรที่มีอยู่ใน hypersphere ของรัศมีคือ $r$ $V_0[p]$ $p$ $r$

V [r] = V_{0} [p] r^{p}

$V[r]=V_0[p]r^p$

ถ้าเราปล่อยให้แทนเศษส่วนของปริมาตรภายใน hypersphere นี้และกำหนดจากนั้น $P=V[r]/V_0[p]$ $R=r^p$

P [R] = R

$P[R]=R$

หากจุดข้อมูลที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอภายในลูกหน่วยแล้วสำหรับสูตรข้างต้นเป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) สำหรับRนี้จะเทียบเท่ากับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นชุดสำหรับมากกว่าช่วงเวลาหน่วยคือ 1 ดังนั้นตามคำแนะนำของ Mark Stone ในความคิดเห็นเราสามารถลดขนาด case เป็นปัญหา 1D ที่เทียบเท่ากัน $0\leq R\leq 1$ $R$ $R$ $p[R]= P'[R] =1$ $p$

ตอนนี้ถ้าเรามีจุดเดียวจากนั้นตามนิยามของ CDF เรามีและ . หากเป็นค่าที่น้อยที่สุดจากจุดและจุดทั้งหมดนั้นเป็นอิสระ CDF สำหรับจะได้รับโดย (นี่คือผลลัพธ์มาตรฐานของทฤษฎีค่าสุดขั้วที่ไม่แปรเปลี่ยน) $R$ $\Pr[R\leq \rho]=P[\rho]$ $\Pr[R\geq \rho]=1-P[\rho]$ $R_{\min}$ $n$

Pr [R_{min} \geq ρ] = Pr [R \geq ρ]^{n} = (1 - ρ)^{n}

$\Pr[R_{\min}\geq \rho]=\Pr[R\geq \rho]^n=(1-\rho)^n$

ตามคำนิยามของค่ามัธยฐานเรามี ซึ่งเราสามารถทำได้ เขียนใหม่เป็น ซึ่งเทียบเท่ากับผลลัพธ์ที่ต้องการ

\frac{1}{2} = Pr [(R_{min})_{m e d} \geq R] = (1 - R)^{n}

$\frac{1}{2}=\Pr[(R_{\min})_{\mathrm{med}}\geq R]=(1-R)^n$

(1 - d^{p})^{n} = \frac{1}{2}

$(1-d^p)^n=\frac{1}{2}$

แก้ไข: พยายามที่ " ELI5 " - คำตอบสไตล์ในสามส่วน

สำหรับกรณี 1D มีจุดเดียวระยะทางกระจายอย่างสม่ำเสมอมากกว่าดังนั้นค่ามัธยฐานจะ{2} $[0,1]$ $\frac{1}{2}$
ใน 1D การแจกแจงต่ำสุดจุดเป็นกรณีแรกสำหรับกำลัง -th $n$ $n$
ในมิติระยะทางไม่ได้กระจายอย่างสม่ำเสมอ แต่คือ $p$ $r$ $r^p$

— GeoMatt22
แหล่งที่มา

ฮ่าฮ่าฉันให้ความเห็นว่าอายุ 5 ปีอาจเริ่มต้นด้วยการดูกรณี p = 1 ฉันคิดเกี่ยวกับการเพิ่มความคิดเห็นที่อายุ 4 ปีอาจไม่เพียง แต่เริ่มต้นด้วยกรณี p = 1 แต่ยัง n = 1 แต่ฉันคิดว่าฉันจะให้ตัวเลขอายุ 5 ปีออกมา

— Mark L. Stone

โปรดทราบว่าเมื่อฉันตอบคำถามมันเป็นหลังจากที่ได้รับการชี้แจงโดย @fcop เพื่ออ่าน: "พิจารณาจุดข้อมูล N ที่กระจายอย่างสม่ำเสมอในลูกบอลหน่วย p-มิติที่อยู่กึ่งกลางที่จุดกำเนิดแสดงว่าระยะทางเฉลี่ยจากจุดกำเนิดถึง จุดข้อมูลที่ใกล้เคียงที่สุดมอบให้โดย ... " ดังนั้นหน่วยลูกด้วยความเคารพต่อมาตรฐานในพื้นที่มิติหลังจากนี้คำถามถูกย้อนกลับไปยังต้นฉบับซึ่งแตกต่างและไม่ชัดเจนนัก (ดูเชนความคิดเห็นภายใต้คำถามเดิม)

L_{2}

$L_2$

p

$p$

— GeoMatt22