อะไรทำให้ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงบางอย่างไม่ได้กำหนดไว้?

21

PDF จำนวนมากมีตั้งแต่ลบไปจนถึงอินฟินิตี้เป็นบวก แต่มีวิธีการบางอย่างที่กำหนดและบางไฟล์ไม่ใช่ ลักษณะทั่วไปอะไรทำให้มีการคำนวณบ้าง

distributions mean

— Kevin Nowaczyk
แหล่งที่มา

14

อินทิกรัลคอนเวอร์เจนต์

— Sycorax พูดว่า Reinstate Monica

1

การแจกแจงนี้เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์ ถ้าอินทิกรัลไม่ลู่เข้าหากันหมายความว่าไม่ได้นิยาม อย่างไรก็ตามสิ่งที่ไม่ได้กล่าวถึงในคำตอบด้านล่างนี้คือ PDF ที่มีค่าลบอนันต์ถึงบวกไม่สามารถจำลองแหล่งข้อมูลจริงได้ ไม่มีกระบวนการทางกายภาพดังกล่าวในการสร้างข้อมูลดังกล่าวในชีวิตจริง ในความคิดของฉันแหล่งข้อมูลจริงทั้งหมดจะถูก จำกัด ขอบเขตและคุณจะสามารถประมาณค่าเฉลี่ยได้

— Cagdas Ozgenc

3

@Cagdas คำพูดนั้นดูเหมือนจะไม่ถูกต้อง มีกระบวนการที่มีน้ำหนักมาก ความคาดหวังที่แตกต่างกันของพวกเขาแสดงให้เห็นว่ามีความแปรปรวนอย่างมากในค่าเฉลี่ยระยะยาว สำหรับการประยุกต์ใช้การโน้มน้าวใจของรูปแบบ Cauchy เช่นดูโพสต์ดักลาสจนผ่านที่stats.stackexchange.com/a/36037/919

— whuber

2

@CagdasOzgenc: คุณควรอ่าน Black Swan โดย Taleb เพื่อดูว่าเหตุผลนั้นผิดเพียงใด แม้ว่า heuristically อาจไม่มีกระบวนการที่สร้างการกระจายอย่างสมบูรณ์แบบด้วยค่าเฉลี่ยไม่ จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็มีตัวอย่างมากมายที่ผู้คนประเมินค่าต่ำสุดว่าหางมีการกระจายตัวของไขมันและดำเนินการคำนวณอย่างไรในขณะที่การกระจายที่แท้จริงมี หมายความว่าแตกต่างอย่างสิ้นเชิงและมักจะเอียงขวา การใช้เหตุผลที่ไม่เหมาะสมเช่นนี้นำไปสู่การประเมินความเสี่ยงหลายช่องทางในด้านการเงินซึ่งความเสี่ยงนั้นถูกประเมินโดยคำสั่งขนาดใหญ่

— Alex R.

1

@Cagdas Ozgenc: สำหรับการอภิปรายว่าทำไมการโต้แย้งของคุณไม่ถูกต้องโปรดดูstats.stackexchange.com/questions/94402/…

— kjetil b halvorsen

23

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงนั้นถูกนิยามในรูปของอินทิกรัล (ผมจะเขียนมันเหมือนว่าสำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่อง - ในฐานะอินทิกรัลรีมันน์พูด - แต่ปัญหานี้ใช้กันโดยทั่วๆไปเราสามารถดำเนินการ สิ่งเหล่านี้ถูกต้องและพร้อมกัน):

E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

$E(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx$

แต่นั่นหมายความว่าอย่างไร มันเป็นชวเลขอย่างมีประสิทธิภาพ

\overset{lim}{_{a \to \infty, b \to \infty}} \int_{- a}^{b} x f (x) d x

$\stackrel{\lim}{_{a\to\infty,b\to\infty}} \int_{-a}^b x\, f(x)\, dx$

หรือ

\overset{lim}{_{a \to \infty}} \int_{- a}^{0} x f (x) d x + \overset{lim}{_{b \to \infty}} \int_{0}^{b} x f (x) d x

$\stackrel{\lim}{_{a\to\infty}} \int_{-a}^0 x f(x)\, dx \, +\, \stackrel{\lim}{_{b\to\infty}} \int_{0}^b x f(x)\, dx$

(แม้ว่าคุณสามารถทำลายมันได้ทุกที่ไม่ใช่แค่ที่ 0)

ปัญหาเกิดขึ้นเมื่อข้อ จำกัด ของอินทิกรัลเหล่านั้นไม่ จำกัด

ยกตัวอย่างเช่นลองพิจารณาความหนาแน่น Cauchy มาตรฐานซึ่งเป็นสัดส่วนกับ ... ทราบว่า $\frac{1}{1+x^2}$

\overset{lim}{_{b \to \infty}} \int_{0}^{b} \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$\stackrel{\lim}{_{b\to\infty}} \int_{0}^b \frac{x}{1+x^2}\, dx$

ให้ดังนั้น $u=1+x^2$ $du=2x\,dx$

= \overset{lim}{_{b \to \infty}} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + b^{2}} \frac{1}{u} d u

$=\,\stackrel{\lim}{_{b\to\infty}}\frac12 \int_{1}^{1+b^2} \frac{1}{u}\, du$

= \overset{lim}{_{b \to \infty}} \frac{_{1}}{^{2}} \ln (u) |_{1}^{1 + b^{2}}

$=\,\stackrel{\lim}{_{b\to\infty}} \frac{_1}{^2}\ln(u)\Bigg |_{1}^{1+b^2}$

= \overset{lim}{_{b \to \infty}} \frac{_{1}}{^{2}} \ln (1 + b^{2})

$=\,\stackrel{\lim}{_{b\to\infty}} \frac{_1}{^2}\ln(1+b^2)$

ซึ่งไม่ จำกัด ขีด จำกัด ในครึ่งล่างยังไม่แน่นอน ความคาดหวังจึงไม่ได้กำหนด

หรือถ้าเรามีตัวแปรสุ่มของเราเป็นค่าสัมบูรณ์ของ Cauchy มาตรฐานความคาดหวังทั้งหมดของมันจะเป็นสัดส่วนกับขีด จำกัด นั้นที่เราเพิ่งดู (เช่น ) $\stackrel{\lim}{_{b\to\infty}} \frac12\ln(1+b^2)$

ในทางกลับกันความหนาแน่นอื่น ๆ บางอย่างยังคงดำเนินต่อไป "ไม่มีที่สิ้นสุด" แต่อินทิกรัลของพวกมันมีขีด จำกัด

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

1

คุณสามารถ (แน่นอน) เห็นสิ่งเดียวกันในการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่คล้ายกัน รับจัดจำหน่ายที่น่าจะเป็นถ้าเกิดขึ้นสำหรับจำนวนเต็มเป็นสัดส่วนกับ2} ผลรวมของความน่าจะเป็นมี จำกัด (ซึ่งก็เช่นกันเนื่องจากมันจำเป็นต้องมีขีด จำกัด 1: ที่จริงแล้วค่าคงที่ของเราต้องเป็นหรืออะไรก็ตาม) แต่เนื่องจากผลรวมของเบี่ยงเบนมันไม่มีค่าเฉลี่ย โดยที่ถ้าเราเลือกความน่าจะเป็นเป็นสัดส่วนกับค่าเฉลี่ยนั้นจะรวมและเราก็โอเคนั่นคือ "เล็กพอ" ที่มาบรรจบกัน

n

$n$

n > 0

$n>0$

\frac{1}{n^{2}}

$\frac{1}{n^2}$

\frac{6}{π^{2}}

$\frac{6}{\pi^2}$

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

\frac{1}{n^{3}}

$\frac{1}{n^3}$

\frac{1}{n^{2}}

$\frac{1}{n^2}$

— สตีฟเจสซอพ

1

ใช่เป็นค่าคงที่การปรับสเกลสำหรับสิ่งนั้น (เพื่อให้ได้ผลรวมเป็น 1)

\frac{6}{π^{2}}

$\frac{6}{\pi^2}$

— Glen_b -Reinstate Monica

8

คำตอบอื่น ๆ เป็นสิ่งที่ดี แต่อาจไม่โน้มน้าวใจทุกคนโดยเฉพาะอย่างยิ่งคนที่มองการ แจกจ่าย Cauchy (ที่มี ) และบอกว่ามันยังคงชัดเจนว่าค่าเฉลี่ยควรเป็นศูนย์ $x_0 = 0$

เหตุผลที่ใช้งานง่ายคำตอบไม่ถูกต้องจากมุมมองทางคณิตศาสตร์คือสาเหตุที่Riemann สายใยทฤษฎีบท (วิดีโอ)

อย่างมีประสิทธิภาพสิ่งที่คุณทำเมื่อคุณดู Cauchy และบอกว่า "ควรจะเป็นศูนย์" หมายความว่าคุณกำลังแยก "ศูนย์" ที่ศูนย์และจากนั้นอ้างช่วงเวลาของความสมดุลสองขนาด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าคุณกำลังทำผลรวมอนันต์ด้วย "ครึ่ง" ของคำศัพท์เชิงบวก (ช่วงเวลาที่แต่ละจุดไปทางขวา) และ "ครึ่ง" ข้อกำหนดเชิงลบ (ช่วงเวลาที่แต่ละจุดไปทางซ้าย) และอ้างสิทธิ์ ผลรวมเป็นศูนย์ (สำหรับความคิดทางเทคนิค: ) $\int_{0}^\infty f(x_0+r)r\, dr - \int_{0}^{\infty} f(x_0-r)r\, dr = 0$

ทฤษฎีการจัดเรียง Riemann กล่าวว่าผลรวมอนันต์ประเภทนี้ (หนึ่งที่มีทั้งคำบวกและลบ) จะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่อทั้งสองซีรีส์ (เงื่อนไขเชิงบวกเท่านั้นและเงื่อนไขเชิงลบเท่านั้น) จะมาบรรจบกันเมื่อถ่ายอย่างอิสระ หากทั้งสองข้าง (บวกและลบ) มีความแตกต่างของตัวเองแล้วคุณสามารถมากับคำสั่งของผลรวมของข้อตกลงดังกล่าวว่าสรุปการใด ๆจำนวน (วิดีโอด้านบนเริ่มต้นที่ 6:50)

ดังนั้นใช่ถ้าคุณทำการสรุปในลักษณะที่สมดุลจาก 0 out ช่วงเวลาแรกจากการแจกแจง Cauchy จะถูกยกเลิก อย่างไรก็ตามคำจำกัดความของมาตรฐาน (มาตรฐาน) ไม่ได้บังคับใช้คำสั่งของการรวมนี้ คุณควรจะสามารถสรุปช่วงเวลาในลำดับใดก็ได้และมีความถูกต้องเท่ากัน ดังนั้นความหมายของการกระจาย Cauchy จึงไม่ได้ถูกกำหนด - โดยการเลือกอย่างรอบคอบว่าคุณรวมช่วงเวลาอย่างไรคุณสามารถทำให้พวกเขา "สมดุล" (หรือไม่) ในทางใดทางหนึ่ง

ดังนั้นเพื่อให้ค่าเฉลี่ยของการกระจายที่กำหนดไว้ทั้งสองปริพันธ์ช่วงเวลาที่ต้องการให้แต่ละเป็นอิสระมาบรรจบกัน ( จำกัด ) รอบที่เสนอค่าเฉลี่ย (ซึ่งเมื่อคุณทำคณิตศาสตร์เป็นจริงเพียงวิธีที่บอกอีกว่าหนึ่งเล่ม ( ) จะต้องมีการรวมกัน) หากก้อยเป็น "อ้วน" มากพอที่จะทำให้ช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดด้านใดด้านหนึ่งแสดงว่าคุณทำเสร็จแล้ว คุณไม่สามารถสร้างความสมดุลกับช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอีกด้านหนึ่ง $\int_{-\infty}^\infty f(x)x\, dx$

ฉันควรพูดถึงว่าพฤติกรรม "ต่อต้านสัญชาตญาณ" ของสิ่งต่าง ๆ เช่นการแจกจ่าย Cauchy นั้นเกิดจากปัญหาเมื่อคิดถึงเรื่องอนันต์ ใช้การกระจาย Cauchy และตัดหาง - แม้โดยพลการไกลออกไปเช่นที่บวก / ลบหมายเลข xkcd - และ (เมื่อปรับมาตรฐานอีกครั้ง) คุณจะได้รับสิ่งที่ประพฤติดีและมีค่าเฉลี่ยที่กำหนดไว้ ไม่ใช่หางไขมันที่มีปัญหาในตัวของมันเองและเป็นหางที่มีพฤติกรรมเมื่อคุณเข้าใกล้อนันต์

— RM
แหล่งที่มา

ดี ฉันสงสัยว่ามันเป็นไปได้หรือไม่ที่จะให้ "ลำดับการรวม" ที่น่าตื่นเต้นซึ่งนำไปสู่การพูดสอง

— Matthew Drury

@MatthewDrury: p_i และ n_i แสดงถึงจำนวนบวกและลบ ค้นหา p_i และ n_i อย่างต่อเนื่องดังนั้นอินทิกรัลของ [n_i, p_i] คือ 2+ (1 / i) และอินทิกรัลเหนือ [n_ {i + 1}, p_i] คือ 2- (1 / i) เราสามารถทำสิ่งนี้ได้อย่างชัดเจนโดยใช้ R, matlab หรือ mathematica แต่สำหรับเงื่อนไขจำนวน จำกัด เท่านั้น

— David Epstein

7

Abrial ทั่วไปและ Glen_b มีคำตอบที่สมบูรณ์แบบ ฉันต้องการเพิ่มการสาธิตขนาดเล็กเพื่อแสดงให้คุณเห็นค่าเฉลี่ยของการกระจาย Cauchy ไม่มีอยู่ / ไม่มาบรรจบกัน

ในการทดสอบต่อไปนี้คุณจะเห็นแม้ว่าคุณจะได้รับตัวอย่างจำนวนมากและทำการคำนวณค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์จากตัวอย่าง แต่ตัวเลขนั้นค่อนข้างแตกต่างจากการทดสอบไปจนถึงการทดสอบ

set.seed(0)
par(mfrow=c(1,2))
experiments=rep(1e5,100)
mean_list_cauchy=sapply(experiments, function(n) mean(rcauchy(n)))
mean_list_normal=sapply(experiments, function(n) mean(rnorm(n)))
plot(mean_list_cauchy,ylim=c(-10,10))
plot(mean_list_normal,ylim=c(-10,10))

คุณสามารถสังเกตได้ว่าเรามีการทดลองครั้งและในแต่ละการทดลองเราสุ่มตัวอย่างคะแนนจากการแจกแจงสองครั้งด้วยขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่ค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์ในการทดลองที่แตกต่างกันควรใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยจริง ผลลัพธ์แสดงการกระจาย Cauchy ไม่มีค่าเฉลี่ยการรวมตัว แต่การกระจายปกติมี $100$ $1\times 10^5$

แก้ไข:

ตามที่ @ mark999 ที่กล่าวถึงในการแชทเราควรโต้แย้งว่าการแจกแจงสองแบบที่ใช้ในการทดสอบมี "ความแปรปรวน" ที่คล้ายกัน (เหตุผลที่ฉันใช้เครื่องหมายคำพูดคือ นี่คือเหตุผล: PDF ของพวกเขาคล้ายกัน

โปรดสังเกตว่าโดยการดู PDF ของการแจกแจง Cauchy เราจะเดาว่าเป็นแต่จากการทดลองที่เราเห็นมันไม่มีอยู่จริง นั่นคือประเด็นของการสาธิต $0$

curve(dnorm, -8,8)
curve(dcauchy, -8,8)

— ไห่เทาดู
แหล่งที่มา

4

ฉันไม่คิดว่านี่แสดงให้เห็นว่าการกระจาย Cauchy ไม่มีความหมาย คุณสามารถได้ผลลัพธ์ที่คล้ายกันหากคุณแทนที่การกระจาย Cauchy ด้วยการแจกแจงแบบปกติด้วยความแปรปรวนขนาดใหญ่ที่เหมาะสม

— mark999

จุดดี @ mark999 ฉันจะแก้ไขคำตอบเพื่อแก้ไขปัญหานี้

— Haitao Du

เป็นไปได้ไหมที่จะหาจาก PDF ของการกระจาย Cauchy ว่ามันไม่มีความหมายเลยโดยดูจากหางอ้วน

— ks1322

บางทีคุณอาจมีบางอย่างเช่นนี้ในใจ? stats.stackexchange.com/questions/90531/…

— Sycorax พูดว่า Reinstate Monica

2

ตามคำนิยามของ Lebesgue-Stieltjes อินทิกรัลค่าเฉลี่ยจะอยู่ถ้า:

\int | x | d F (x) < \infty .

$\int \vert x\vert dF(x)<\infty.$

https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)#Significance_of_the_moments

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration

— ตะวันตก
แหล่งที่มา

2

$d\theta/2\pi$ $\theta$ $A\subset \mathbb S^1$ $\mathtt{length}(A)/2\pi$ $U(-\pi,\pi)$ $\pi$ $\pi-\varepsilon$ $-\pi+\varepsilon\ (=\pi+\varepsilon \mod 2\pi)$ $\pi$ $U(-\pi,\pi)$ $\varepsilon/2\pi$

เนื่องจากการกระจายบนวงกลมนั้นสมมาตรแบบหมุนจึงไม่สามารถมีค่าเฉลี่ยมัธยฐานหรือโหมดบนวงกลมได้ ในทำนองเดียวกันช่วงเวลาที่สูงขึ้นเช่นความแปรปรวนไม่สามารถเข้าใจได้ การกระจายนี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติในหลายบริบท ตัวอย่างเช่นโครงการปัจจุบันของฉันเกี่ยวข้องกับภาพกล้องจุลทรรศน์ของเนื้อเยื่อมะเร็ง วัตถุจำนวนมากในภาพไม่สมมาตรและ "ทิศทาง" สามารถกำหนดให้กับแต่ละวัตถุได้ สมมติฐานว่างเปล่าที่ชัดเจนคือทิศทางเหล่านี้มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ

$\mathbb S^1$ $p=(0,1)\in\mathbb S^1$ $x$ $\theta$ $p$ $x$ $x=\tan(\theta/2)$ $d\theta/2 = dx/(1+x^2)$ $\frac{d\theta}{\pi(1+x^2)}$

$\mathbb S^1 \setminus \{p\}$ $p$ $p\in\mathbb S^1$ $p$ $-p = (0,-1)$ $0\in\mathbb R$

— David Epstein
แหล่งที่มา

2

การกระจาย Cauchy มีค่ามัธยฐานและโหมด

— jkabrg

ค่อนข้างถูก ฉันถูกพาไปเล็กน้อย แต่อาร์กิวเมนต์สำหรับการไม่มีค่าเฉลี่ยนั้นถูกต้อง .. ฉันจะแก้ไขคำตอบของฉัน

— David Epstein

θ \sim U (- π, π)

$\theta \sim U(-\pi,\pi)$

X = \tan (θ / 2)

$X = \tan(\theta/2)$

E [θ] = 0

$\mathbb E[\theta] = 0$

@jkabrg: ฉันหวังว่าแก้ไขใหม่นี้ทำให้เข้าใจมากขึ้น

— เดวิด Epstein