ใครเป็นผู้สร้างตารางปกติมาตรฐานแรก

ฉันกำลังจะแนะนำตารางมาตรฐานมาตรฐานในชั้นเรียนสถิติเบื้องต้นของฉันและนั่นทำให้ฉันสงสัยว่า: ใครเป็นผู้สร้างตารางมาตรฐานมาตรฐานแรก พวกเขาทำมันอย่างไรก่อนที่คอมพิวเตอร์จะเข้ามา? ฉันตัวสั่นที่คิดว่าใครบางคนกำลังบังคับให้คำนวณผลรวมของ Riemann หนึ่งพันด้วยมือ

Laplace เป็นคนแรกที่ตระหนักถึงความจำเป็นในการสร้างตารางโดยมีการประมาณ:

$$\begin{align}G(x)&=\int_x^\infty e^{-t^2}dt\\[2ex]&=\small \frac1 x- \frac{1}{2x^3}+\frac{1\cdot3}{4x^5} -\frac{1\cdot 3\cdot5}{8x^7}+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{16x^9}+\cdots\tag{1} \end{align}$$

ตารางที่ทันสมัยแห่งแรกของการแจกแจงแบบปกติถูกสร้างขึ้นในภายหลังโดยนักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศสChristian KrampในAnalyze des Réfractions Astronomiques และ Terrestres (Par le citoyen Kramp, Professeur de Chymie et de Physique expérimentaleàl'école centrale du Département de la Roer, 1799) . จากตารางที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบปกติ: ประวัติโดยย่อผู้แต่ง: เฮอร์เบิร์ตเอเดวิดเดวิดที่มา: นักสถิติชาวอเมริกันปีที่ 19 59, ลำดับที่ 4 (พ.ย. , 2005), หน้า 309-311 :

Kramp ให้ตารางสิบแปด ( D) อย่างทะเยอทะยานถึง D ถึง D ถึงและ D ถึงพร้อมกับความแตกต่างที่จำเป็นสำหรับการแก้ไข การเขียนอนุพันธ์หกตัวแรกของเขาใช้การขยายอนุกรมของเทย์เลอร์ของเกี่ยวกับด้วยจนถึงคำในสิ่งนี้ทำให้เขาสามารถดำเนินการทีละขั้นตอนจากถึงเมื่อคูณโดย$8$$x = 1.24,$ $9$$1.50,$ $10$$1.99,$$11$$3.00$$G(x),$$G(x + h)$$G(x),$$h = .01,$$h^3.$$x = 0$$x = h, 2h, 3h,\dots,$$h\,e^{-x^2}$

$$1-hx+ \frac 1 3 \left(2x^2 - 1\right)h^2 - \frac 1 6 \left(2x^3 - 3x\right)h^3.$$ ดังนั้นที่ผลิตภัณฑ์นี้ลดลงเป็น. ดังนั้นที่$x = 0$ $$.01 \left(1 - \frac 1 3 \times .0001 \right) = .00999967,$$ $G(.01) = .88622692 - .00999967 = .87622725.$

---

$$\vdots$$

แต่ ... เขาจะแม่นยำขนาดไหน? ตกลงเรามาเป็นตัวอย่าง:$2.97$

น่าทึ่ง!

มาดูการแสดงออกของเกาส์เซียนแบบสมัยใหม่

pdf ของคือ:$\mathscr N(0,1)$

$$f_X(X=x)=\large \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac {x^2}{2}}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(\frac {x}{\sqrt{2}}\right)^2}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(z\right)^2}$$

ที่{2}} และด้วยเหตุนี้{2}$z = \frac{x}{\sqrt{2}}$$x = z \times \sqrt{2}$

งั้นไปที่ R แล้วค้นหา ... ตกลงไม่เร็วนัก ครั้งแรกที่เราต้องจำไว้ว่าเมื่อมีการคงการคูณเลขยกกำลังในฟังก์ชั่นการชี้แจง , หนึ่งจะถูกแบ่งออกโดยตัวแทนที่: a เนื่องจากเรามุ่งที่จะจำลองผลลัพธ์ในตารางเก่าเราจึงทำการคูณค่าของด้วยซึ่งจะต้องปรากฏในตัวหาร$P_Z(Z>z=2.97)$$e^{ax}$$1/a$$x$$\sqrt{2}$

นอกจากนี้คริสเตียนเครมป์ไม่ปกติดังนั้นเราจึงมีเพื่อแก้ไขผลที่ได้รับจากการวิจัยตามคูณด้วยปี่} การแก้ไขขั้นสุดท้ายจะมีลักษณะดังนี้:$\sqrt{2\pi}$

$$\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2}}\,\mathbb P(X>x)=\sqrt{\pi}\,\,\mathbb P(X>x)$$

ในกรณีดังกล่าวข้างต้นและ\ ตอนนี้ไปที่ R:$z=2.97$$x=z\times \sqrt{2}=4.200214$

(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.00002363235e-05

Fantastic!

ลองไปที่ด้านบนของตารางเพื่อความสนุกพูด ...$0.06$

z = 0.06
(x = z * sqrt(2))

(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.8262988

Kramp พูดว่าอะไร? 0.82629882$0.82629882$

เฉียดฉิว...

---

มันเป็น ... ใกล้แค่ไหนกันแน่? หลังจากได้รับคะแนนโหวตทั้งหมดแล้วฉันก็ไม่สามารถทิ้งคำตอบที่แท้จริงไว้ได้ ปัญหาคือแอพพลิเคชั่นออพติคอลการจดจำตัวอักษร (OCR) ทั้งหมดที่ฉันได้ลองใช้นั้นไม่น่าแปลกใจเลยถ้าไม่ได้ลองดูที่ต้นฉบับ ดังนั้นผมได้เรียนรู้ที่จะชื่นชมคริสเตียนเครมป์สำหรับความดื้อรั้นของการทำงานของเขาในขณะที่ผมเองพิมพ์แต่ละหลักในคอลัมน์แรกของตารางPremière

หลังจากความช่วยเหลือที่มีค่าจาก @Glen_b ตอนนี้มันอาจจะแม่นยำและพร้อมที่จะคัดลอกและวางบนคอนโซล R ในลิงค์ GitHubนี้

นี่คือการวิเคราะห์ความแม่นยำของการคำนวณของเขา รั้งตัวเอง...

1. ความแตกต่างสะสมแน่นอนระหว่างค่า [R] และการประมาณของ Kramp:

$0.000001200764$ - ในการคำนวณครั้งเขาสามารถสะสมข้อผิดพลาดประมาณล้านครั้งได้!$301$$1$

2. หมายถึงข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์ (MAE)หรือmean(abs(difference))ด้วยdifference = R - kramp:

$0.000000003989249$ - เขาจัดการเพื่อทำให้เกิดข้อผิดพลาดที่หนึ่งพันล้านโดยเฉลี่ยที่ไร้สาระ !$3$

ในรายการที่การคำนวณของเขาแตกต่างกันมากที่สุดเมื่อเทียบกับ [R] ค่าตำแหน่งทศนิยมที่แตกต่างกันแรกอยู่ในตำแหน่งที่แปด (ร้อยล้าน) โดยเฉลี่ย (มัธยฐาน) "ความผิดพลาด" ครั้งแรกของเขาอยู่ในหลักสิบที่สิบ (หนึ่งในสิบล้าน! และแม้ว่าเขาจะไม่เห็นด้วยกับ [R] ไม่ว่าในกรณีใด ๆ รายการที่ใกล้เคียงที่สุดจะไม่เบี่ยงเบนจนกว่าจะมีรายการดิจิทัลสิบสามรายการ

3. หมายถึงความแตกต่างญาติหรือmean(abs(R - kramp)) / mean(R)(เหมือนall.equal(R[,2], kramp[,2], tolerance = 0)):

$0.00000002380406$

4. รูทหมายถึงข้อผิดพลาดกำลังสอง (RMSE)หรือการเบี่ยงเบน (ให้น้ำหนักมากกว่าความผิดพลาดใหญ่) โดยคำนวณเป็นsqrt(mean(difference^2)):

$0.000000007283493$

---

หากคุณพบรูปภาพหรือแนวตั้งของ Chistian Kramp โปรดแก้ไขโพสต์นี้และวางไว้ที่นี่

ตามที่ HA David [1] Laplace ตระหนักถึงความต้องการตารางการกระจายแบบปกติ "เร็วเท่าที่ 1783" และ Kramp ที่ผลิตในตารางแรกในปี ค.ศ. 1799

Laplace แนะนำการประมาณสองชุดหนึ่งสำหรับอินทิกรัลจากถึงของ (ซึ่งเป็นสัดส่วนกับการแจกแจงแบบปกติที่มีความแปรปรวน ) และอีกอันสำหรับหางด้านบน$0$$x$$e^{-t^2}$$\frac{_1}{^2}$

อย่างไรก็ตาม Kramp ไม่ได้ใช้ชุด Laplace เหล่านี้เนื่องจากมีช่องว่างในช่วงเวลาที่สามารถนำไปใช้ประโยชน์ได้

ผลก็คือเขาเริ่มต้นด้วยอินทิกรัลสำหรับพื้นที่ท้ายจาก 0 จากนั้นใช้การขยายตัวเทย์เลอร์เกี่ยวกับอินทิกรัลที่คำนวณล่าสุด - นั่นคือในขณะที่เขาคำนวณค่าใหม่ในตารางเขาเลื่อนของการขยายเทย์เลอร์ (โดยที่คืออินทิกรัลให้พื้นที่หางส่วนบน)$x$$G(x+h)$$G$

หากต้องการเจาะจงให้ระบุประโยคที่เกี่ยวข้องสองประโยค:

เขาก็ใช้การขยายตัวซีรีส์เทย์เลอร์เกี่ยวกับกับขึ้นไปในระยะ 3 สิ่งนี้ทำให้เขาสามารถดำเนินการทีละขั้นตอนจากถึง , เมื่อคูณโดยดังนั้นที่ผลิตภัณฑ์นี้ลดลงเป็น.ดังนั้นที่ . เทอมถัดไปทางด้านซ้ายของ (4) สามารถแสดงเป็นเพื่อให้การละเว้นนั้นเป็นธรรม$G(x + h)$$G(x)$$h = .01$$h^3$$x = 0$$x = h, 2h, 3h,...$$he^{-x^2}$ x=0.01(1-

$$1-hx+ \frac13(2x^2 - 1)h^2 - \frac16(2x^3 - 3x)h^3.$$ $x = 0$G ( .01 ) = .88622692 - .00999967 = .87622725 10 - $$.01 (1 - \frac13 \times .0001 ) = .00999967,\qquad\qquad (4)$$ $G(.01) = .88622692 - .00999967 = .87622725$$10^{-9}$

เดวิดบ่งชี้ว่ามีการใช้ตารางอย่างกว้างขวาง

ดังนั้นมากกว่า Riemann หลายพันผลรวมมันเป็นขยายเทย์เลอร์หลายร้อย

---

ในบันทึกย่อขนาดเล็กในหยิก (ติดอยู่กับเครื่องคิดเลขและค่าจำไม่กี่จากตารางปกติ) ฉันได้ใช้กฎของ Simpson (และกฎที่เกี่ยวข้องสำหรับการรวมตัวเลข) เพื่อให้ได้ค่าประมาณที่ดี ไม่ใช่ทั้งหมดที่น่าเบื่อที่จะสร้างตารางย่อ * เพื่อความแม่นยำ [การสร้างตารางของสเกลและความแม่นยำของ Kramp จะเป็นงานที่ค่อนข้างใหญ่แม้ว่าจะใช้วิธีที่ฉลาดกว่าเดิมเหมือนที่เขาทำ]

* โดยตารางย่อฉันหมายถึงตารางที่คุณสามารถแก้ไขได้โดยการแก้ไขระหว่างค่าแบบตารางโดยไม่สูญเสียความแม่นยำมากเกินไป ถ้าคุณต้องการพูดประมาณ 3 ความถูกต้องร่างคุณจริงๆไม่ต้องคำนวณทุกค่าที่หลาย ๆ ฉันใช้การแก้ไขพหุนามอย่างมีประสิทธิภาพ (แม่นยำยิ่งขึ้นโดยใช้เทคนิคผลต่างอันตะ) ซึ่งช่วยให้ตารางที่มีค่าน้อยกว่าการประมาณเชิงเส้นถ้าใช้ความพยายามมากกว่าในขั้นตอนการประมาณ - และทำการแก้ไขด้วยการแปลงโลจิตด้วย ทำให้การแก้ไขเชิงเส้นมีประสิทธิภาพมากกว่ามาก แต่ใช้ได้เฉพาะเมื่อคุณมีเครื่องคิดเลขที่ดีเท่านั้น)

[1] เฮอร์เบิร์ตเอ. เดวิด (2548),
"ตารางที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบปกติ: ประวัติโดยย่อ"
นักสถิติชาวอเมริกันอัตรา 59, ฉบับที่ 4 (พ.ย. ), หน้า 309-311

[2] Kramp (1799),
วิเคราะห์ des Réfractions Astronomiques และ Terrestres,
Leipzig: Schwikkert

ปัญหาที่น่าสนใจ! ฉันคิดว่าความคิดแรกไม่ได้มาจากการรวมสูตรที่ซับซ้อน ค่อนข้างเป็นผลมาจากการใช้ asymptotics ใน combinatorics วิธีการปากกาและกระดาษอาจใช้เวลาหลายสัปดาห์ ไม่ยากสำหรับ Karl Gauss เทียบกับการคำนวณพายสำหรับรุ่นก่อนของเขา ฉันคิดว่าความคิดของเกาส์นั้นกล้าหาญ การคำนวณเป็นเรื่องง่ายสำหรับเขา

ตัวอย่างของการสร้างตาราง z มาตรฐานจากศูนย์ -
นำประชากร n (พูด n คือ 20) ตัวเลขและแสดงรายการตัวอย่างทั้งหมดที่เป็นไปได้ของขนาด r (พูด r คือ 5) จากนั้น
2. คำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่าง คุณได้รับตัวอย่าง nCr (ที่นี่, 20c5 = 15504 หมายถึง)
3. ค่าเฉลี่ยของพวกเขาเหมือนกับค่าเฉลี่ยของประชากร ค้นหา stdev ของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
4. ค้นหาคะแนน z ของค่าเฉลี่ยตัวอย่างโดยใช้ค่าเฉลี่ยป๊อปและ stdev ของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
5. เรียงลำดับ z ตามลำดับจากน้อยไปหามากและค้นหาความน่าจะเป็นที่ z อยู่ในช่วงในค่า nCr z ของคุณ
6. เปรียบเทียบค่ากับตารางปกติ เล็กกว่าดีสำหรับการคำนวณด้วยมือ n ที่ใหญ่กว่าจะทำให้ค่าตารางใกล้เคียงกันมากขึ้น

รหัสต่อไปนี้เป็น r:

n <- 20  
r <- 5  

p <- sample(1:40,n)  # Don't be misled!! Here, 'sample' is an r function  
                     used to produce n random numbers between 1 and 40.  
                     You can take any 20 numbers, possibly all different.  

c <- combn(p, r)     # all the nCr samples listed  
cmean <- array(0)  

for(i in 1:choose(n,r)) {  
    cmean[i] <- mean(c[,i])  
                }  

z <- array(0)  
for(i in 1:choose(n,r)) {  
    z[i] <- (cmean[i]-mean(c))/sd(cmean)  
                }  

ascend <- sort(z, decreasing = FALSE)  

ความน่าจะเป็นของ z ที่ตกลงระหว่าง 0 และค่าบวก q ด้านล่าง; เปรียบเทียบกับตารางที่รู้จัก จัดการ q ด้านล่างระหว่าง 0 ถึง 3.5 เพื่อเปรียบเทียบ

q <- 1  
probability <- (length(ascend[ascend<q])-length(ascend[ascend<0]))/choose(n,r)   
probability   # For example, if you use n=30 and r=5, then for q=1, you  
              will get probability is 0.3413; for q=2, prob is 0.4773