จากการแจกแจงแบบสม่ำเสมอจนถึงการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังและในทางกลับกัน

นี้น่าจะเป็นคำถามเล็กน้อย แต่การค้นหาของฉันได้รับการไร้ผลเพื่อให้ห่างไกลรวมทั้งบทความวิกิพีเดียนี้และ "บทสรุปของการกระจาย" เอกสาร

ถ้ามีการแจกแจงแบบเดียวกันนั่นหมายความว่าตามการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลหรือไม่?$X$$e^X$

ในทำนองเดียวกันถ้าตามการแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียลมันหมายถึงตามการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอหรือไม่?$Y$$ln(Y)$

ไม่ใช่กรณีที่การเอ็กซ์โพเนนเชียลตัวแปรสุ่มแบบเอกซ์โพเนนเชียลให้ค่าเอ็กซ์โพเนนเชียลและไม่บันทึกล็อกของตัวแปรสุ่มเอ็กซ์โพเนนเชียล

Letจะเหมือนกันในและปล่อยให้X = ประสบการณ์( U )( 0 , 1 $U$$(0,1)$$X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

ดังนั้นอี$f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

นี่ไม่ใช่ตัวแปรที่อธิบาย การคำนวณที่คล้ายกันแสดงว่าบันทึกของเลขชี้กำลังไม่สม่ำเสมอ

ให้เป็นเลขชี้กำลังมาตรฐานดังนั้นF Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = 1 - e - $Y$ 0$F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Let Y จากนั้นF V ( v ) = P ( V ≤ v ) = P ( ln Y ≤ v ) = P ( Y ≤ e v ) = 1 - e - e $V=\ln Y$ 0$F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

นี่ไม่ใช่เครื่องแบบ (อันที่จริงคือตัวแปรสุ่มGumbel -distributed ดังนั้นคุณอาจเรียกการแจกแจงของV a 'flumb Gumbel')$-V$$V$

อย่างไรก็ตามในแต่ละกรณีเราสามารถดูได้เร็วขึ้นโดยเพียงแค่พิจารณาขอบเขตของตัวแปรสุ่ม ถ้าเป็นชุด (0,1) มันอยู่ระหว่าง 0 และ 1 ดังนั้นX = exp ( U ) จะอยู่ระหว่าง1และe ... ดังนั้นจึงไม่ใช่เลขชี้กำลัง ในทำนองเดียวกันสำหรับYเลขชี้กำลังln Yเปิดอยู่( - ∞ , ∞ )ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นชุด (0,1) หรือเครื่องแบบอื่น ๆ$U$$X=\exp(U)$$1$$e$$Y$$\ln Y$$(-\infty,\infty)$

เราสามารถจำลองและดูได้ทันที:

ก่อนอื่นยกกำลังเครื่องแบบ -

[เส้นโค้งสีน้ำเงินคือความหนาแน่น (1 / x ตามช่วงเวลาที่ระบุ) ที่เราหาได้เหนือ ...

ประการที่สองบันทึกของชี้แจง:

ซึ่งเราสามารถเห็นได้ไกลจากเครื่องแบบ! (ถ้าเราแยก cdf ที่เราเคยทำมาก่อนซึ่งจะให้ความหนาแน่นมันตรงกับรูปร่างที่เราเห็นที่นี่)

อันที่จริงวิธีการ cdf แบบผกผันแสดงว่าการลบค่าลบของบันทึกของชุดรูปแบบ (0,1) ให้ค่าความแปรปรวนแบบมาตรฐานและในทางกลับกันการลบค่าลบของเลขชี้กำลังมาตรฐานจะให้รูปแบบเหมือนกัน [ดูความน่าจะเป็นที่การแปลงอินทิกรัล ]

$U=F_Y(Y)$$Y = F^{-1}(U)$$U$$F_Y$

$U$$P(U\leq u) = u$$Y=-\ln (1-U)$$1-U$$Y=-\ln U$

$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

$\log$

คุณเกือบจะได้มันกลับมาด้านหน้า คุณถาม:

• $X$$e^X$

• $Y$$\ln(Y)$

ในความเป็นจริง

• $X$$[0,1]$$-\log_e(X)$$1$
• $Y$$1$$e^{-Y}$$[0,1]$

โดยทั่วไปคุณอาจพูดว่า:

• $X$$[a,b]$$-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$$k$
• $Y$$k$$e^{-kY}$$[0,1]$$a+(b-a)e^{-kY}$$[a,b]$