จากการแจกแจงแบบสม่ำเสมอจนถึงการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังและในทางกลับกัน


20

นี้น่าจะเป็นคำถามเล็กน้อย แต่การค้นหาของฉันได้รับการไร้ผลเพื่อให้ห่างไกลรวมทั้งบทความวิกิพีเดียนี้และ "บทสรุปของการกระจาย" เอกสาร

ถ้ามีการแจกแจงแบบเดียวกันนั่นหมายความว่าตามการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลหรือไม่?XeX

ในทำนองเดียวกันถ้าตามการแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียลมันหมายถึงตามการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอหรือไม่?Yln(Y)


3
ทำไมคุณคาดหวังว่ามันจะเป็นเช่นนั้น? เพราะชื่อ ตรวจสอบen.wikipedia.org/wiki/…เพื่อดูว่าการแจกแจงแบบอื่น ๆ เกี่ยวข้องกับเลขชี้กำลังอย่างไร นอกจากนี้ ...exp(X)[0,)
ทิม

ไม่ฉันคิดว่าฉันกำลังติดตามความคล้ายคลึงกับการแปลงฟังก์ชั่นมาตรฐานโดยลืมไปว่าการกระจายสิ่งต่าง ๆ
luchonacho

คำตอบ:


25

ไม่ใช่กรณีที่การเอ็กซ์โพเนนเชียลตัวแปรสุ่มแบบเอกซ์โพเนนเชียลให้ค่าเอ็กซ์โพเนนเชียลและไม่บันทึกล็อกของตัวแปรสุ่มเอ็กซ์โพเนนเชียล

Letจะเหมือนกันในและปล่อยให้X = ประสบการณ์( U )( 0 , 1 )U(0,1)X=exp(U)

FX(x)=P(Xx)=P(exp(U)x)=P(Ulnx)=lnx,1<x<e

ดังนั้นอีfx(x)=ddxlnx=1x,1<x<e

นี่ไม่ใช่ตัวแปรที่อธิบาย การคำนวณที่คล้ายกันแสดงว่าบันทึกของเลขชี้กำลังไม่สม่ำเสมอ

ให้เป็นเลขชี้กำลังมาตรฐานดังนั้นF Y ( y ) = P ( Y y ) = 1 - e - yY 0FY(y)=P(Yy)=1ey,y>0

Let Y จากนั้นF V ( v ) = P ( V v ) = P ( ln Y v ) = P ( Y e v ) = 1 - e - e vV=lnY 0FV(v)=P(Vv)=P(lnYv)=P(Yev)=1eev,v<0

นี่ไม่ใช่เครื่องแบบ (อันที่จริงคือตัวแปรสุ่มGumbel -distributed ดังนั้นคุณอาจเรียกการแจกแจงของV a 'flumb Gumbel')VV

อย่างไรก็ตามในแต่ละกรณีเราสามารถดูได้เร็วขึ้นโดยเพียงแค่พิจารณาขอบเขตของตัวแปรสุ่ม ถ้าเป็นชุด (0,1) มันอยู่ระหว่าง 0 และ 1 ดังนั้นX = exp ( U ) จะอยู่ระหว่าง1และe ... ดังนั้นจึงไม่ใช่เลขชี้กำลัง ในทำนองเดียวกันสำหรับYเลขชี้กำลังln Yเปิดอยู่( - , )ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นชุด (0,1) หรือเครื่องแบบอื่น ๆUX=exp(U)1eYlnY(,)

เราสามารถจำลองและดูได้ทันที:

ก่อนอื่นยกกำลังเครื่องแบบ -

histogram of exponentiated uniform with the theoretical density superimposed

[เส้นโค้งสีน้ำเงินคือความหนาแน่น (1 / x ตามช่วงเวลาที่ระบุ) ที่เราหาได้เหนือ ...

ประการที่สองบันทึกของชี้แจง:

histogram of log of an exponential variate

ซึ่งเราสามารถเห็นได้ไกลจากเครื่องแบบ! (ถ้าเราแยก cdf ที่เราเคยทำมาก่อนซึ่งจะให้ความหนาแน่นมันตรงกับรูปร่างที่เราเห็นที่นี่)

อันที่จริงวิธีการ cdf แบบผกผันแสดงว่าการลบค่าลบของบันทึกของชุดรูปแบบ (0,1) ให้ค่าความแปรปรวนแบบมาตรฐานและในทางกลับกันการลบค่าลบของเลขชี้กำลังมาตรฐานจะให้รูปแบบเหมือนกัน [ดูความน่าจะเป็นที่การแปลงอินทิกรัล ]

U=FY(Y)Y=F1(U)UFY

UP(Uu)=uY=ln(1U)1UY=lnU

P(Yy)=P(ln(1U)y)=P(1Uey)=P(U1ey)=1ey

log


คำตอบที่ดี! ขอบคุณ ฉันเห็นมันตอนนี้ ฉันคำนวณ CDF ในทั้งสองกรณีและฉันได้รับค่าลบของบันทึกในกรณีเก่าและค่าสัมบูรณ์ของค่าผกผันในกรณีหลัง ฉันคิดว่าความสับสนของฉันคือการคิดในแง่ของการแปลงฟังก์ชั่นมาตรฐานซึ่งไม่ได้ปฏิบัติตามเมื่อมันมาถึงการกระจาย +1 สำหรับกราฟ!
luchonacho

6

คุณเกือบจะได้มันกลับมาด้านหน้า คุณถาม:

  • XeX

  • Yln(Y)

ในความเป็นจริง

  • X[0,1]loge(X)1
  • Y1eY[0,1]

โดยทั่วไปคุณอาจพูดว่า:

  • X[a,b]1kloge(Xaba)k
  • YkekY[0,1]a+(ba)ekY[a,b]
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.