ทำไมเป็น

ในหน้ากลาง AP นี้ตัวแปรสุ่มเทียบกับตัวแปรเชิงพีชคณิตผู้เขียนปีเตอร์ฟลานาแกน - ไฮด์ดึงดูดความแตกต่างระหว่างตัวแปรพีชคณิตและสุ่ม

ในส่วนที่เขาพูดว่า

$x + x = 2x$แต่ $X + X \neq 2X$

- ในความเป็นจริงมันเป็นคำบรรยายของบทความ

อะไรคือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างตัวแปรพีชคณิตและตัวแปรสุ่ม?

ดังนั้นให้ตอบคำถามนี้ก่อน: '' อะไรคือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างตัวแปรพีชคณิตและตัวแปรสุ่ม? ''

ตัวแปรสุ่มไม่ได้เป็นตัวแปรพีชคณิตเลย อย่างเป็นทางการมันถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชั่นจากพื้นที่น่าจะเป็นΩจะR$X$$\Omega$$\mathbb R$

ตกลง ... สิ่งที่จริงหมายถึงคือคุณทำการทดลองแบบสุ่ม (เช่นการขว้างลูกเต๋าเลือกมนุษย์แบบสุ่ม) และคุณทำการวัดการทดลองเหล่านี้ (เช่นจำนวนบนใบหน้าลูกเต๋าความสูงเพศระดับคอเลสเตอรอลของมนุษย์ ) ชุดเป็นชุดของการทดลองที่เป็นไปได้ทั้งหมด ในการทดลองโดยเฉพาะอย่างยิ่งω ∈ Ω , คุณทำมาตรการX ( ω ) : นั่นเป็นเหตุผลอย่างเป็นทางการว่าจะเป็นฟังก์ชั่นจากΩจะR$\Omega$$\omega\in\Omega$$X(\omega)$$\Omega$$\mathbb R$

ตอนนี้โดยทั่วไปเราทั้งหมดลืมเกี่ยวกับΩตัวแปรสุ่มถูกกำหนดไว้ในรูปของกฎความน่าจะเป็น ในกรณีของลูกเต๋าที่ยุติธรรมคุณแค่พูด$\Omega$

• สำหรับk=1,…,6(ความน่าจะเป็นของXเท่ากับkคือ 1/6 สำหรับkจาก 1 ถึง 6)$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$$k=1,\dots,6$$X$$k$$k$

แทน

• (ชุดลูกเต๋าโยนที่วัด X - ใบหน้าบน - เป็น kมีความน่าจะเป็น 1/6) ...$\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$$X$$k$

มันง่ายกว่า คุณยังทั้งหมดสามารถหลีกเลี่ยงการรบกวนนักศึกษาที่มีΩ$\Omega$

ฉันหวังว่านี่จะให้แสงสว่างบางอย่าง

$X + X \ne 2X$X 1 X 2 X 1 + X 2 2 X $X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$$X_1 + X_2$$2 X_1$

[คำถามรุ่นก่อนหน้านี้ถามหาคำตอบที่หลีกเลี่ยงคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์; คำตอบนี้เป็นความพยายามที่จะให้แรงบันดาลใจบางอย่างในระดับเดียวกันกับเอกสารที่ถูกถาม]

หน้าเชื่อมโยงที่ไม่ถูกต้องเมื่อมันบอกว่า2X$X+X\neq 2X$

ในตัวอย่างคือตัวแปรสุ่มหมายถึงจำนวนที่แสดงบนใบหน้าของแม่พิมพ์ - ผลของการทดลองเช่น "ม้วนแม่พิมพ์หกด้านหนึ่งครั้งและบันทึกที่หมายเลขบนใบหน้าของแม่พิมพ์"$X$

ดังนั้นคุณจะต้องตายและเขียนสิ่งที่คุณเห็น หมายเลขใดก็ตามที่คุณจะบันทึกคือ ... ดังนั้นแสดงถึงผลลัพธ์ที่เพิ่มเข้าไปในตัวของมันเอง หากคุณกลิ้งตายอีกจำนวนที่คุณจะได้เขียนลงก่อนที่จะไม่เปลี่ยนX + $X$$X+X$

ต่อมาในหน้ามันบอกว่า:

เมื่อทอยลูกเต๋าสองลูกแล้วผลลัพธ์จะแตกต่างกัน เรียกตัวแปรสุ่มที่แสดงผลลัพธ์ของกระบวนการสองลูกเต๋า (สำหรับ "สอง") เราสามารถเขียนX สมการนี้แสดงถึงความจริงที่ว่าเป็นผลมาจากอินสแตนซ์อิสระสองตัวของตัวแปรสุ่มT = X + X T $T$$T = X + X$$T$$T$

ท้ายที่สุดของคำพูดนั้นน่าจะเป็นข้อผิดพลาดในการพิมพ์พวกเขาหมายถึงไม่ใช่ (เพราะถ้าเป็นพวกเขาเพิ่งบอกว่าเป็นผลมาจากสองกรณีของตัวเอง) แต่ด้วยการเปลี่ยนที่มันยังไม่ถูกต้องT T $X$$T$$T$$T$

หากคุณมีสองอินสแตนซ์ที่เป็นอิสระของการทดสอบ (หมุนตายบันทึกหมายเลขที่แสดง) คุณกำลังเผชิญกับตัวแปรสุ่มสองแบบที่แตกต่างกัน

ลองจินตนาการว่าฉันมีแดงตายและตายสีน้ำเงิน จากนั้นฉันก็สามารถพูดได้ว่า "ให้ผลสีแดงเป็นและผลที่ได้จากสีน้ำเงินตายคือ " จากนั้นเราสามารถทำตามตัวอย่างได้ที่หน้าเชื่อมโยงว่าด้วยการกำหนดจะเป็นผลรวมของตัวเลขที่แสดงบนทั้งสองลูกเต๋าดังนั้นTหากลูกเต๋าและกระบวนการรีดมีความยุติธรรมการกระจายของและเหมือนกัน แต่และ - ตัวแปรสุ่ม - จะแตกต่างกันX 2 T T = X 1 + X 2 X 1 X 2 X 1 X $X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$

[มีการสนทนาที่ดีเยี่ยมโดย whuber ของตัวแปรสุ่ม (และผลรวมของพวกเขา) เป็นที่นี่และแนวคิดของตัวแปรสุ่มจะครอบคลุมในรายละเอียดมากขึ้นเล็กน้อย (ถ้าในสถานที่ทางเทคนิคเพิ่มเติม) ที่นี่ ฉันแนะนำคุณอย่างน้อยอ่านคำตอบได้ที่ลิงค์แรก]

ปัญหานี้เกิดขึ้นเพราะผู้เขียนสับสนกับตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจง คุณสามารถดูได้ที่นี่:

ในกรณีนี้นักเรียนคิดว่าตัวแปรสุ่ม X เป็นตัวแทนของค่าเดียวที่ไม่รู้จักในลักษณะเดียวกับที่พวกเขาคิดเกี่ยวกับตัวแปรพีชคณิต แต่ X หมายถึงการกระจายตัวของค่าที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้อง

เขาเปิดเผยตัวแปรสุ่มอย่างชัดเจนด้วยการแจกแจง

ในความเป็นจริงตัวแปรสุ่มมีหลายวิธีเช่นเดียวกับตัวแปรพีชคณิตอื่น ๆ และมักจะถูกจัดการในลักษณะเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวแปรสุ่มแบบตัวแปรเดียวที่ไม่ได้มีผลต่อปริมาณที่แตกต่างกันสองแบบ (เช่นผลลัพธ์จากสองม้วนที่แตกต่างกัน) ในเวลาเดียวกัน จริงๆคือ2X2 $X+X$$2X$

หน้าเว็บที่คุณเชื่อมโยงไปถึงผิดพลาด เขาเขียนแม้ว่าเขาจะกล่าวว่าเขากำลังหมุนลูกเต๋าสองตัวแยกอิสระ นี่หมายความว่าเขาควรเขียนโดยที่และเป็นผลลัพธ์ของลูกเต๋าสองลูกT = X + Y X $T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

การเรียกทั้งสองนั้นผิดพลาดเนื่องจากตัวแปรสุ่มต้องทำให้เกิดการสังเกตการโยนลูกเต๋าไม่ใช่สองคนหรือมากกว่านั้นX o n $X$$X$$one$

สำหรับตัวแปรสุ่มมันเป็นเรื่องจริงที่$X+X=2X$