การแจกแจงเบต้าสองครั้งจะกำหนดพารามิเตอร์หรือไม่

หากฉันให้ปริมาณสองค่าและตำแหน่งที่สอดคล้องกัน (แต่ละอัน) ในช่วงเวลาเปิดฉันจะหาพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบเบต้าที่มีปริมาณเหล่านั้นในตำแหน่งที่ระบุได้หรือไม่? $(q_1,q_2)$ $(l_1,l_2)$ $(0,1)$

quantiles curve-fitting beta-distribution

— Bota
แหล่งที่มา

ไม่ตัวอย่างพื้นฐานขั้นพื้นฐาน (q1, q2) = (0,1) และ (l1, l2) = (0,1) โดยไม่คำนึงถึงพารามิเตอร์

— ทิม

@ ฉันคิดว่าฉันเห็นจุดของคุณแล้ว แต่ตัวอย่างของคุณไม่ตรงตามเงื่อนไขที่ฉันระบุ (ตัวอย่างเช่นสถานที่นั้นอยู่ในช่วงเปิด

(0, 1)

$(0,1)$ )

— Bota

ฉันคิดว่าคุณสามารถทำได้เป็นตัวเลข (และจะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน) แต่มันจะเกี่ยวข้องกับความพยายามเล็กน้อย

— Glen_b -Reinstate Monica

ฉันก็คิดเช่นกัน - การแก้ตัวเลขนั้นไม่ยาก แต่มันไม่ง่ายเลยที่จะหาข้อโต้แย้งเกี่ยวกับเอกลักษณ์

— Elvis

@Elvis จริงฉันสงสัยว่าอาจจะมีวิธีที่จะทำโดยดู logits ของตัวแปรทั้งสอง (OP ของและ )

l

$l$

q

$q$

— Glen_b

คำตอบคือใช่โดยที่ข้อมูลจะเป็นไปตามข้อกำหนดความสอดคล้องที่ชัดเจน อาร์กิวเมนต์นั้นตรงไปตรงมาตามโครงสร้างที่เรียบง่าย แต่ต้องมีการตั้งค่าบางอย่าง มันลงมาให้ความจริงอย่างสังหรณ์ใจที่น่าสนใจ: การเพิ่มพารามิเตอร์ในเบต้าการจัดจำหน่ายเพิ่มมูลค่าของความหนาแน่น (PDF) มากขึ้นสำหรับขนาดใหญ่กว่าขนาดเล็ก ; และการเพิ่มจะทำในทางตรงกันข้าม: ยิ่งเล็กไหร่ค่าของ PDF ก็จะยิ่งเพิ่มขึ้น $a$ $(a,b)$ $x$ $x$ $b$ $x$

โดยมีรายละเอียดดังนี้

Let ที่ต้องการ quantile จะและต้องการ quantile จะกับและ (จึง)0 จากนั้นมีและไม่ซ้ำกันซึ่งการแจกแจงเบต้ามีควอนไทล์เหล่านี้ $q_1$ $x_1$ $q_2$ $x_2$ $1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$ $1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$ $a$ $b$ $(a,b)$

ความยากลำบากในการสาธิตสิ่งนี้คือการแจกแจงแบบเบต้านั้นเกี่ยวข้องกับค่าคงที่ผู้ใช้การเหยียดหยาม เรียกคืนคำจำกัดความ: สำหรับและการแจกแจงเบต้ามีฟังก์ชันความหนาแน่น (PDF) $a\gt 0$ $b \gt 0$ $(a,b)$

f (x; a, b) = \frac{1}{B (a, b)} x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} .

$f(x;a,b) = \frac{1}{B(a,b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}.$

ค่าคงที่ normalizing คือฟังก์ชันเบต้า

B (a, b) = \int_{0}^{1} x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} d x = \frac{Γ (a) Γ (b)}{Γ (a + b)} .

$B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,\mathrm{d}x = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$

ทุกอย่างยุ่งเหยิงหากเราพยายามแยกความแตกต่างโดยตรงด้วยความเคารพต่อและซึ่งจะเป็นวิธีที่ดุร้ายที่จะพยายามสาธิต $f(x;a,b)$ $a$ $b$

วิธีหนึ่งในการหลีกเลี่ยงการวิเคราะห์ฟังก์ชัน Beta คือการสังเกตว่า quantiles เป็นพื้นที่สัมพัทธ์ นั่นคือ,

q_{i} = F (x_{i}; a, b) = \frac{\int_{0}^{x_{i}} f (x; a, b) d x}{\int_{0}^{1} f (x; a, b) d x}

$q_i = F(x_i;a,b)=\frac{\int_0^{x_i} f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}$

สำหรับiนี่ตัวอย่างเช่นเป็น PDF และฟังก์ชั่นการแจกแจงสะสม (CDF)ของเบต้าการจัดจำหน่ายที่และ1/6 $i=1,2$ $F$ $(1.15, 0.57)$ $x_1=1/3$ $q_1=1/6$

ฟังก์ชันความหนาแน่นถูกพล็อตทางด้านซ้าย เป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งทางด้านซ้ายของซึ่งแสดงเป็นสีแดงเมื่อเทียบกับพื้นที่ทั้งหมดใต้เส้นโค้ง เป็นพื้นที่ที่ด้านซ้ายของเท่ากับผลรวมของภูมิภาคแดงและสีฟ้าอีกครั้งเมื่อเทียบกับพื้นที่ทั้งหมด CDF ทางด้านขวาแสดงให้เห็นว่าและทำเครื่องหมายสองจุดที่แตกต่างกันอย่างไร $x\to f(x;a,b)$ $q_1$ $x_1$ $q_2$ $x_2$ $(x_1,q_1)$ $(x_2,q_2)$

ในรูปนี้ได้รับการแก้ไขที่ ,ถูกเลือกเป็นและจากนั้นพบค่าซึ่งอยู่บนเบต้า CDF $(x_1,q_1)$ $(1/3,1/6)$ $a$ $1.15$ $b$ $(x_1,q_1)$ $(a,b)$

เล็มม่า : สามารถพบเช่นนี้ได้เสมอ $b$

หากต้องการเจาะจงให้ได้รับการแก้ไขทันทีและสำหรับทั้งหมด (พวกเขายังคงเหมือนเดิมในภาพประกอบที่ตามมา: ในทั้งสามกรณีพื้นที่สัมพันธ์ทางด้านซ้ายของเท่ากับ .) สำหรับ , เล็มม่าอ้างว่ามีค่าเฉพาะของ ,เขียนซึ่งเป็น quantile ของเบต้าการจัดจำหน่าย $(x_1, q_1)$ $x_1$ $q_1$ $a\gt 0$ $b$ $b(a),$ $x_1$ $q_1$ $(a,b(a))$

เพื่อดูว่าทำไมโน้ตแรกที่เป็นใกล้ศูนย์ทุกกองน่าจะเป็นค่าใกล้ดังนั้นวิธีที่ 1ในฐานะที่เป็นแนวทางอินฟินิตี้ทุกกองน่าจะเป็นค่าใกล้ดังนั้นแนวทาง0ในระหว่างการทำงาน จะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในข $b$ $0$ $F(x_1;a,b)$ $1$ $b$ $1$ $F(x_1;a,b)$ $0$ $b\to F(x_1;a,b)$ $b$

การอ้างสิทธิ์นี้เห็นได้ชัดในเชิงเรขาคณิต: มันบอกได้ว่าถ้าเราดูพื้นที่ทางด้านซ้ายภายใต้โค้งสัมพันธ์กับพื้นที่ทั้งหมดภายใต้ เส้นโค้งและเปรียบเทียบกับพื้นที่สัมพัทธ์ภายใต้โค้งสำหรับจากนั้นพื้นที่หลังคือค่อนข้างใหญ่ อัตราส่วนของทั้งสองฟังก์ชั่นคือนายกข} นี่คือฟังก์ชั่นเท่ากับเมื่อลดลงอย่างต่อเนื่องเป็นเมื่อ ดังนั้นความสูงของฟังก์ชั่นมีขนาดค่อนข้างใหญ่ $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ $b^\prime \gt b$ $(1-x)^{b^\prime-b}$ $1$ $x=0,$ $0$ $x=1.$ $x\to f(x;a,b^\prime)$ กว่าความสูงของสำหรับทางด้านซ้ายของกว่าพวกเขาสำหรับทางด้านขวาของ ดังนั้นพื้นที่ทางด้านซ้ายของในอดีตจะต้องมีขนาดค่อนข้างใหญ่กว่าพื้นที่ทางด้านขวาของ (สิ่งนี้ตรงไปตรงมาเพื่อแปลเป็นข้อโต้แย้งอย่างเข้มงวดโดยใช้ผลรวม Riemann) $x\to f(x;a,b)$ $x$ $x_1$ $x$ $x_1.$ $x_1$ $x_1.$

เราได้เห็นแล้วว่าฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจโดย จำกัด ค่าที่และเป็นและตามลำดับ มันเป็น (ชัดเจน) ต่อเนื่อง ดังนั้นจึงมีตัวเลขโดยที่และตัวเลขนั้นไม่ซ้ำกันพิสูจน์บทแทรก $b\to f(x_1;a,b)$ $0$ $1$ $b\to 0$ $b\to\infty,$ $b(a)$ $f(x_1;a,b(a))=q_1$

อาร์กิวเมนต์เดียวกันแสดงให้เห็นว่าเมื่อเพิ่มขึ้นพื้นที่ทางด้านซ้ายของจะเพิ่มขึ้น $b$ $x_2$ ดังนั้นค่าของช่วงกว่าช่วงเวลาบางส่วนของตัวเลขเป็นความคืบหน้าจากเกือบเกือบ ขีด จำกัด ของเป็นคือ $f(x_2;a, b(a))$ $a$ $0$ $\infty.$ $f(x_2;a,b(a))$ $a\to 0$ $q_1.$

นี่คือตัวอย่างที่อยู่ใกล้กับ (มันเท่ากับ ) ด้วยและ (ดังในรูปก่อนหน้า), แทบจะไม่มีพื้นที่ระหว่างถึง $a$ $0$ $0.1$ $x_1=1/3$ $q_1=1/6$ $b(a) \approx 0.02.$ $x_1$ $x_2:$

CDF ค่อนข้างแบนระหว่างถึงดังนั้นจึงอยู่เหนือ ในขีด จำกัด เป็น , $x_1$ $x_2,$ $q_2$ $q_1.$ $a\to 0$ $q_2 \to q_1.$

ที่มาก ๆ ค่ามากพอของนำไปสู่การพลใกล้กับ นี่คือตัวอย่างที่มีเป็นมาก่อน $a$ $F(x_2;a,b(a))$ $1.$ $(x_1,q_1)$

นี่คือและเกือบ ตอนนี้เป็นหลักแทบจะไม่มีพื้นที่ทางด้านขวาของ $a=8$ $b(a)$ $10.$ $F(x_2;a,b(a))$ $1:$ $x_2.$

ดังนั้นคุณอาจเลือกที่ใด ระหว่างและและปรับจนกว่า เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ต้องไม่ซ้ำกันQED $q_2$ $q_1$ $1$ $a$ $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ $a$

ทำงานRโค้ดเพื่อหาแนวทางแก้ไขปัญหาคือการโพสต์ที่กำหนดพารามิเตอร์กระจายเบต้าและจากสองจุดโดยพลการ $\alpha$ $\beta$ (quantiles)

— whuber
แหล่งที่มา

คำตอบนี้แสดงว่าถ้าเราเลือกหรือคงเราจะพบค่าที่สอดคล้องกันที่ไม่ซ้ำกัน มันจะเป็นไปได้ที่จะสร้างฟังก์ชั่นที่มีการแก้ไขในพื้นที่ ,และ[x_2,1]ฉันไม่เห็นเลยว่าทำไมสิ่งนี้ถึงรับประกันได้ว่าชุดของและนั้นไม่เหมือนใคร คุณเต็มใจที่จะอธิบายและให้ความรู้แก่ฉันหรือไม่?

a

$a$

b

$b$

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

[x_{1}, x_{2}]

$[x_1,x_2]$

[x_{2}, 1]

$[x_2,1]$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— ม.ค.

@Jan สามารถอธิบายสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "ชุดของและ "? สัญลักษณ์เหล่านั้นไม่ปรากฏที่ใดก็ได้ในชุดข้อความนี้

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber