หากฉันมีค่าลอการิทึมที่คาดหวังของ RV ฉันจะได้รับมูลค่าที่คาดหวังของ RV เองได้หรือไม่

สมมติว่าได้รับฉันจะได้รับในรูปแบบปิดหรือไม่ $\text{E}[\log(X)]$ $\text{E}[X]$

expected-value logarithm

คุณรู้จักการกระจายของ log x หรือ x หรือไม่? เช่น. จะเป็นกระจายตามปกติ? ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ที่มีตามการแจกแจงโดยพลการคุณไม่สามารถพูดได้มากนัก

x

$x$

x

$x$

— Matthew Gunn

ไม่เพียงให้ค่าเฉลี่ยของบันทึก (x) เท่านั้น

— Theoden

สวยมากทั้งหมดที่คุณสามารถพูดได้ว่าเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของเซ่น

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$

— Matthew Gunn

เลขที่

ตัวอย่างเช่นถ้าต่อไปนี้เข้าสู่ระบบการกระจายปกติที่แล้วและเป็นอิสระจาก\อย่างไรก็ตามค่าเฉลี่ยของมันคือขวา) เห็นได้ชัดว่าคุณไม่สามารถได้รับจำนวนที่พึ่งพาได้จากจำนวนอิสระ $X$ $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ $E[\log(x)] = \mu$ $\sigma$ $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ $\sigma$ $\sigma$

— jwimberley
แหล่งที่มา

มันสมเหตุสมผลแล้ว ฉันต้องการข้อมูลเพิ่มเติมแล้ว

— Theoden

หรือสำหรับตัวอย่างที่ง่ายสุด ๆ ให้พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบแยกส่วน X (รับค่า 1 ด้วยความน่าจะเป็น 1/3 และ 10 ด้วยความน่าจะเป็น 2/3) และ Y (รับค่า 1 ด้วยความน่าจะเป็น 2/3 และ 100 ด้วยความน่าจะเป็น 1/3) . จากนั้น E [log X] = E [log Y] = 1/3 (หรือตัวเลขอื่น ๆ หากคุณต้องการลอการิทึมของคุณไปยังฐานที่เหมาะสมกว่า 10 แต่ยังคงเท่ากันตั้งแต่ในบันทึกฐาน 100 = 2 บันทึก 10) อย่างไรก็ตาม E [X]! = E [Y]

— Steve Jessop