เราจะอธิบายได้อย่างไรว่าตัวประเมินที่ไม่เอนเอียงคืออะไรสำหรับคนธรรมดา?

สมมติว่าเป็นประมาณการที่เป็นกลางสำหรับ\แล้วแน่นอน\ θE[ θ |θ]=$\hat{\theta}$$\theta$$\mathbb{E}[\hat{\theta} \mid \theta] = \theta$

เราอธิบายเรื่องนี้กับคนทั่วไปได้อย่างไร? ในอดีตสิ่งที่ฉันพูดคือถ้าคุณเฉลี่ยค่าของเป็นจำนวนมากเมื่อขนาดตัวอย่างใหญ่ขึ้นคุณจะได้ประมาณดีขึ้น$\hat{\theta}$$\theta$

สำหรับฉันแล้วนี่เป็นปัญหา ฉันคิดว่าสิ่งที่ฉันอธิบายจริง ๆ นี่คือปรากฏการณ์ของการเป็นแบบไม่ลำเอียงแบบไม่มีสัญญาณแทนที่จะเป็นแบบไม่เอนเอียงคือ ที่\ hat {\ theta}มีแนวโน้มที่จะขึ้นอยู่กับn

ดังนั้นเราจะอธิบายได้อย่างไรว่าตัวประมาณที่เป็นกลางคืออะไรกับคนธรรมดา?

ในทางเทคนิคสิ่งที่คุณกำลังอธิบายเมื่อคุณพูดว่าตัวประมาณของคุณเข้าใกล้มูลค่าที่แท้จริงเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้นคือความสอดคล้อง (ตามที่คนอื่นพูดถึง) ความสม่ำเสมอหรือการลู่เข้าของตัวประมาณทางสถิติ การบรรจบกันนี้อาจเป็นการรวมกันของความน่าจะเป็นซึ่งบอกว่าสำหรับหรือเกือบทั้งหมด แน่ใจบรรจบกันที่บอกว่า0 สังเกตว่าขีด จำกัด นั้นอยู่ข้างในอย่างไรε > 0 P ( Lim n →การ∞ | θ n - θ | > ε ) = $\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n - \theta| > \epsilon) = 0$$\epsilon > 0$$P(\lim_{n \to \infty} |\hat{\theta}_n - \theta| > \epsilon) = 0$ความน่าจะเป็นในกรณีที่สอง ปรากฎว่ารูปแบบการบรรจบกันหลังนี้มีความแข็งแกร่งกว่าอีกรูปแบบหนึ่ง แต่ทั้งคู่ก็มีความหมายเหมือนกันซึ่งก็คือค่าประมาณนั้นมีแนวโน้มที่จะเข้าใกล้สิ่งที่เราประเมินมากขึ้นเมื่อเรารวบรวมตัวอย่างมากขึ้น

จุดที่ลึกซึ้งที่นี่คือแม้ในขณะที่ไม่ว่าจะในความเป็นไปได้หรือเกือบจะแน่นอนมันไม่เป็นความจริงโดยทั่วไปว่าดังนั้นความสอดคล้องจึงไม่ได้บ่งบอกถึงความเป็นกลางที่ไม่แสดงอาการเชิงเส้นประสาทตามที่คุณแนะนำ คุณต้องระวังเมื่อย้ายระหว่างลำดับของตัวแปรสุ่ม (ซึ่งเป็นฟังก์ชัน) ไปยังลำดับของความคาดหวัง (ซึ่งเป็นอินทิกรัล)ลิมn→การ∞E( θ n)=$\hat{\theta}_n \to \theta$$\lim_{n \to \infty} \text{E}(\hat{\theta}_n) = \theta$

ทุกสิ่งที่ทางเทคนิคกันเพียงวิธีการที่เป็นกลางว่า\ ดังนั้นเมื่อคุณอธิบายให้ใครบางคนเพียงแค่บอกว่าหากการทดสอบซ้ำภายใต้เงื่อนไขที่เหมือนกันหลายครั้งว่าค่าเฉลี่ยของการประมาณจะใกล้เคียงกับมูลค่าที่แท้จริง$\text{E}(\hat{\theta}_n) = \theta$

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณสับสนและมั่นคงหรือไม่

ความสอดคล้อง:ยิ่งขนาดตัวอย่างใหญ่เท่าใดความแปรปรวนของตัวประมาณก็จะน้อยลง

• ขึ้นอยู่กับขนาดตัวอย่าง

ความเป็นกลาง:ค่าที่คาดหวังของตัวประมาณเท่ากับค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์

• ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดตัวอย่าง

ดังนั้นประโยคของคุณ

ถ้าคุณเฉลี่ยค่าของจำนวนเมื่อขนาดของกลุ่มตัวอย่างใหญ่ขึ้นคุณจะได้ประมาณดีขึ้น$\hat\theta$$\theta$

ไม่ถูกต้อง. แม้ว่าขนาดตัวอย่างจะไม่มีที่สิ้นสุดตัวประมาณที่เป็นกลางจะยังคงตัวประมาณแบบเอนเอียงเช่นถ้าคุณประมาณค่าเฉลี่ยว่า "หมายถึง +1" คุณสามารถเพิ่มการสังเกตหนึ่งพันล้านครั้งในตัวอย่างของคุณและตัวประมาณของคุณจะไม่ให้คุณค่าที่แท้จริง

ที่นี่คุณสามารถค้นหาการสนทนาที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างความสอดคล้องและความเป็นกลาง

อะไรคือความแตกต่างระหว่างตัวประมาณค่าที่สอดคล้องกันและตัวประมาณที่ไม่เอนเอียง?

@Ferdiได้ให้คำตอบที่ชัดเจนสำหรับคำถามของคุณแล้ว แต่ขอให้เป็นทางการขึ้นอีกหน่อย

ให้เป็นตัวอย่างของคุณของอิสระและกันกระจายตัวแปรสุ่มจากการกระจายFคุณมีความสนใจในการประมาณไม่ทราบ แต่คงปริมาณใช้ประมาณการเป็นฟังก์ชั่นของX_1,เนื่องจากเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มให้ประมาณ$X_1,\dots,X_n$$F$$\theta$g X 1 , … , X n g $g$$X_1,\dots,X_n$$g$

ก็เป็นตัวแปรสุ่ม เรากำหนดอคติเป็น

ประมาณการเป็นกลางเมื่อ\$\mathbb{E}_\theta(\hat\theta_n) = \theta$

การพูดเป็นภาษาอังกฤษธรรมดา: เรากำลังเผชิญกับตัวแปรสุ่มดังนั้นถ้ามันแย่ลงถ้าเราสุ่มตัวอย่างที่แตกต่างกันเราอาจคาดว่าจะสังเกตข้อมูลที่แตกต่างกันและประมาณต่างกัน อย่างไรก็ตามเราสามารถคาดหวังว่าในตัวอย่างที่แตกต่างกัน "โดยเฉลี่ย" โดยประมาณจะเป็น "ถูกต้อง" หากตัวประมาณไม่มีอคติ ดังนั้นมันจะไม่ถูกต้องเสมอไป แต่ "โดยเฉลี่ย" มันจะถูกต้อง มันไม่สามารถเป็น "ถูกต้อง" เสมอไปได้เนื่องจากการสุ่มที่เกี่ยวข้องกับข้อมูล$\hat\theta_n$

เป็นคนอื่น ๆ ที่ระบุไว้แล้วความจริงที่ว่าประมาณการของคุณได้รับ "ใกล้ชิด" กับปริมาณประมาณเป็นตัวอย่างของคุณเติบโตขึ้นเช่นว่าในลู่ในความน่าจะเป็น

เกี่ยวข้องกับตัวประมาณความสม่ำเสมอไม่ใช่ความเป็นกลาง ความลำเอียงเพียงอย่างเดียวไม่ได้บอกอะไรเราเกี่ยวกับขนาดตัวอย่างและความสัมพันธ์กับการประมาณที่ได้รับ นอกจากนี้ประมาณเป็นกลางมีไม่เคยมีและไม่เคยที่นิยมกว่าคนลำเอียง ตัวอย่างเช่นหลังจากพิจารณาการแลกเปลี่ยนความแปรปรวนแบบอคติคุณอาจเต็มใจพิจารณาการใช้ตัวประมาณที่มีความลำเอียงมากกว่า แต่ความแปรปรวนน้อยลงดังนั้น "โดยเฉลี่ย" มันจะอยู่ไกลจากมูลค่าที่แท้จริง แต่บ่อยครั้งกว่า (ความแปรปรวนน้อยกว่า) จะใกล้เคียงกับมูลค่าที่แท้จริงจากนั้นในกรณีของการประเมินที่เป็นกลาง

ก่อนอื่นคุณต้องแยกแยะอคติที่เข้าใจผิดออกจากอคติเชิงสถิติโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับคนธรรมดา

ตัวเลือกการพูดโดยใช้ค่ามัธยฐานค่าเฉลี่ยหรือโหมดเป็นตัวประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรมักประกอบด้วยอคติความเชื่อทางการเมืองศาสนาหรือวิทยาศาสตร์ การคำนวณว่าตัวประมาณตัวใดเป็นรูปแบบค่าเฉลี่ยที่ดีที่สุดคือชนิดที่แตกต่างกันของเลขคณิตที่มีผลต่ออคติทางสถิติ

เมื่อคุณผ่านอคติการเลือกวิธีแล้วคุณสามารถแก้ไขอคติที่อาจเกิดขึ้นได้ในวิธีการประเมิน ก่อนอื่นคุณต้องเลือกวิธีที่มีอคติและกลไกที่นำไปสู่อคตินั้นได้ง่าย

มันง่ายกว่าที่จะใช้มุมมองแบบแยกส่วนที่ชัดเจนเมื่อขนาดตัวอย่างเล็กลงการประมาณลำเอียงจะชัดเจนขึ้น ตัวอย่างเช่นปัจจัย n-1 (เทียบกับปัจจัย 'n') ในตัวประมาณค่าสเปรดตัวอย่างจะชัดเจนเมื่อ n ลดลงจาก 3 เป็น 2 ถึง 1!

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับว่า 'วาง' คน ๆ นั้นเป็นอย่างไร