AR (1) เป็นกระบวนการของมาร์คอฟหรือไม่?


13

กระบวนการ AR (1) เช่น เป็นกระบวนการของมาร์คอฟหรือไม่?yt=ρyt1+εt

ถ้าเป็นเช่นนั้น VAR (1) เป็นเวกเตอร์ของกระบวนการมาร์คอฟหรือไม่

คำตอบ:


18

ผลลัพธ์ต่อไปนี้จะเก็บ: ถ้าเป็นค่าที่เป็นอิสระในและเป็นฟังก์ชั่นแล้วด้วยกำหนดแบบเรียกซ้ำE f 1 , f 2 , f n : F × E F X nϵ1,ϵ2,Ef1,f2,fn:F×EFXn

Xn=fn(Xn1,ϵn),X0=x0F

กระบวนการในเป็นกระบวนการมาร์คอฟเริ่มต้นที่x_0กระบวนการนี้ใช้เวลาเหมือนกันหากมีการกระจายตัวเหมือนกันและฟังก์ชันทั้งหมดของ functions เหมือนกัน F x 0 ϵ f(Xn)n0Fx0ϵf

AR (1) และ VAR (1) เป็นทั้งกระบวนการที่ให้ไว้ในแบบฟอร์มนี้ด้วย

fn(x,ϵ)=ρx+ϵ.

ดังนั้นพวกเขาจึงเป็นกระบวนการมาร์คอฟที่เป็นเนื้อเดียวกันหากเป็นไอดอลϵ

ในทางเทคนิคช่องว่างและต้องมีโครงสร้างที่สามารถวัดได้และฟังก์ชัน functions ต้องสามารถวัดได้ มันค่อนข้างน่าสนใจที่ผลการสนทนาถือถ้าพื้นที่เป็นพื้นที่โบเรล สำหรับกระบวนการมาร์คอฟใด ๆบน Borel spaceมีตัวแปรสุ่มแบบสุ่มของ iidในและฟังก์ชั่นเช่นนั้นที่มีความน่าจะเป็นหนึ่ง ดูข้อเสนอที่ 8.6 ใน Kallenberg, ฐานรากของความน่าจะเป็นโมเดิร์นF F F ( X n ) n 0 F ε 1 , ε 2 , ... [ 0 , 1 ] n : F × [ 0 , 1 ] F X n =EFfF(Xn)n0Fϵ1,ϵ2,[0,1]fn:F×[0,1]F

Xn=fn(Xn1,ϵn).

6

กระบวนการเป็นกระบวนการ AR (1) ถ้าXt

Xt=c+φXt1+εt

โดยที่ข้อผิดพลาดคือ iid กระบวนการมีคุณสมบัติมาร์คอฟหากεt

P(Xt=xt|entire history of the process)=P(Xt=xt|Xt1=xt1)

จากสมการแรกการแจกแจงความน่าจะเป็นของชัดเจนขึ้นอยู่กับดังนั้นใช่กระบวนการ AR (1) เป็นกระบวนการมาร์คอฟ X t - 1XtXt1


3
-1 เช่นเดียวกับโปสเตอร์อื่น คำตอบก็หมายความว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบคุณสมบัติมาร์คอฟที่อ้างถึง มันไม่ได้เว้นแต่จะแสดงให้เห็นเป็นอย่างอื่น โปรดทราบด้วยว่ากระบวนการ AR (1) สามารถกำหนดได้ด้วยที่ไม่ใช่แบบ iid ดังนั้นจึงควรใช้วิธีนี้เช่นกัน εt
mpiktas

1
ปัญหาหลักคือเราสามารถเขียนแล้วประโยคสุดท้ายจะบอกว่า{t-2}) P ( X t = x t |ประวัติทั้งหมด) = P ( X t = x t | X t - 2 = x t - 2 )Xt=c+ϕc+ϕ2Xt2+ϕεt1+εtP(Xt=xt|entire history)=P(Xt=xt|Xt2=xt2)
mpiktas

ดีกระบวนการมาร์คอฟไม่ขึ้นอยู่กับเมื่อคุณไม่ได้ยังปรับอากาศใน{t-1} ฉันคิดว่าข้อโต้แย้งที่เป็นทางการมากขึ้นจะถือว่าคุณมีเงื่อนไขแบบต่อเนื่อง (เช่นคุณไม่ได้รวม เว้นแต่ว่าคุณได้กำหนดเงื่อนไขไว้ที่ ) Xt2Xt1Xt2Xt1
มาโคร

และสิ่งที่คุณเขียนมีขึ้นอยู่กับทั้งและ (ผ่านข้อผิดพลาดคำว่า ) บรรทัดล่างคือความเป็นไปได้ร่วมกันสามารถเขียนได้ง่าย ๆ ว่าเป็นผลิตภัณฑ์ที่มีความเป็นไปได้ตามเงื่อนไขซึ่งจำเป็นต้องมีการปรับสภาพในจุดเวลาก่อนหน้านี้เท่านั้น คุณสามารถทำให้มันดูเหมือนว่าการกระจายของขึ้นอยู่กับแต่เมื่อคุณมีเงื่อนไขในแล้วมันก็ไม่ได้ชัดเจน (ps ฉันใช้นิยามมาตรฐานของกระบวนการ AR (1) ต่อหนังสือชุดเวลาของ Shumway และ Stoeffer)Xt2Xt1εt1XtXt2Xt1
Macro

หมายเหตุฉันไม่ได้บอกว่าคำตอบนั้นไม่ถูกต้อง ฉันแค่เติมรายละเอียดนั่นคือความเท่าเทียมกันครั้งที่สองเห็นได้ชัด แต่ถ้าคุณต้องการพิสูจน์อย่างเป็นทางการมันไม่ง่ายเลย IMHO
mpiktas

2

กระบวนการมาร์คอฟคืออะไร (speeking คับ) กระบวนการสุ่มเป็นกระบวนการมาร์คอฟลำดับแรกถ้าเงื่อนไข

P[X(t)=x(t)|X(0)=x(0),...,X(t1)=x(t1)]=P[X(t)=x(t)|X(t1)=x(t1)]

ถือ เนื่องจากค่าถัดไป (เช่นการกระจายของค่าถัดไป) ของกระบวนการจะขึ้นอยู่กับค่าของกระบวนการปัจจุบันเท่านั้นและไม่ได้ขึ้นอยู่กับประวัติที่เหลือจึงเป็นกระบวนการของมาร์คอฟ เมื่อเราสังเกตสถานะของกระบวนการตอบโต้อัตโนมัติประวัติที่ผ่านมา (หรือการสังเกต) ไม่ให้ข้อมูลเพิ่มเติมใด ๆ ดังนั้นนี่ก็หมายความว่าการกระจายความน่าจะเป็นของค่าถัดไปจะไม่ได้รับผลกระทบ (ไม่ขึ้นกับ) โดยข้อมูลของเราเกี่ยวกับอดีตAR(1)

การถือครองเช่นเดียวกันสำหรับ VAR (1) เป็นกระบวนการ Markov หลายตัวแปรในลำดับแรก


หืมถ้าไม่ใช่ iid ฉันไม่คิดว่าจะเป็นเช่นนั้น นอกจากนี้คุณไม่ได้ให้หลักฐานเพียงอ้างถึงคุณสมบัติมาร์คอฟ εt
mpiktas

ฉันคิดว่ากระบวนการมาร์คอฟหมายถึงกรณีอย่างต่อเนื่อง อนุกรมเวลา AR ปกตินั้นไม่ต่อเนื่องดังนั้นจึงควรสอดคล้องกับห่วงโซ่มาร์คอฟแทนกระบวนการมาร์คอฟ
joint_p

ดังนั้นเราสังเกตสถานะของกระบวนการอัตX_tประวัติศาสตร์ที่ผ่านมาเป็น... นี้ไม่ได้ให้ข้อมูลเพิ่มเติมหรือไม่ เอ็กซ์ที- 1 , X T - 2 , . .XtXt1,Xt2,...
mpiktas

@ joint_p คำศัพท์ไม่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์ในวรรณคดี ในอดีตที่ฉันเห็นมันการใช้ "โซ่" แทน "กระบวนการ" มักจะอ้างอิงถึงพื้นที่รัฐของกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่อง แต่บางครั้งก็เป็นเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง วันนี้หลายคนใช้ "ลูกโซ่" เพื่ออ้างถึงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง แต่อนุญาตให้มีพื้นที่รัฐทั่วไปเช่นเดียวกับในมาร์คอฟเชนมอนติคาร์โล อย่างไรก็ตามการใช้ "กระบวนการ" นั้นถูกต้องเช่นกัน
NRH

1
-1 เนื่องจากไม่มีการพิสูจน์คุณสมบัติของ Markovian อาร์กิวเมนต์การโบกมือนั้นไม่สอดคล้องกับสูตรที่กำหนด ปัจจุบันรัฐ =หมายถึงที่ผ่านมาหมายความว่าต่อไปแต่สูตรไม่เกี่ยวข้องกับ 1 ที- 1 , T - 2 , . . t + 1 t + 1tt1,t2,...t+1t+1
mpiktas
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.