การกระจายตัวของตัวอย่างหมายถึงการกระจาย Cauchy คืออะไร?

14

โดยทั่วไปแล้วเมื่อหนึ่งใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างแบบสุ่มของการกระจาย (ที่มีขนาดตัวอย่างมากกว่า 30) หนึ่งได้รับการกระจายปกติอยู่ตรงกลางรอบค่าเฉลี่ย อย่างไรก็ตามฉันได้ยินว่าการแจกจ่าย Cauchy นั้นไม่มีคุณค่า การกระจายแบบใดที่ได้รับเมื่อได้รับค่าเฉลี่ยตัวอย่างของการแจกแจงโคชี

โดยทั่วไปสำหรับการแจกจ่าย Cauchyไม่ได้ถูกกำหนดดังนั้นคืออะไรและการกระจายของคืออะไร? $\mu_x$ $\mu_{\bar{x}}$ $\bar{x}$

cauchy

— Steven Stewart-Gallus
แหล่งที่มา

1

จากหน้า Wikipediaดูเหมือนว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างของตัวแปร iid Cauchy จะมีการแจกแจงแบบเดียวกับตัวอย่าง

— GeoMatt22

19

หาก $X_1, \ldots, X_n$ เป็น iid Cauchy $(0, 1)$ จากนั้นเราสามารถแสดงให้เห็นว่า $\bar{X}$ เป็น Cauchy $(0, 1)$ โดยใช้อาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันลักษณะ:

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{i t \bar{X}}) \\ = E (\prod_{j = 1}^{n} e^{i t X_{j} / n}) \\ = \prod_{j = 1}^{n} E (e^{i t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{i t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นลักษณะของการกระจาย Cauchy มาตรฐาน หลักฐานสำหรับกรณี Cauchy ทั่วไปนั้นเหมือนกันโดยทั่วไป $(\mu, \sigma)$

— dsaxton
แหล่งที่มา

8

เพื่อช่วยเหลือผู้ที่อาจมีปัญหาในการเชื่อมต่อรายละเอียดบางอย่างขั้นตอนจากบรรทัดที่สองถึงสามใช้ความเป็นอิสระคนถัดไปใช้ "กระจายตัวเหมือนกัน" คนต่อไปสามารถทำได้หลายวิธี แต่วิธีที่ง่ายที่สุดคือดู ความคาดหวังในพลังนั้นเป็นส่วนสำคัญเดียวกับ Cauchy cf แต่ในดังนั้น (ถ้าคุณรู้ cf สำหรับ Cauchy แล้ว) คุณจะได้แล้วนำกำลังที่ลงมาให้ยกเลิกเงื่อนไข

t / n

$t/n$

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$

n

$n$

n

$n$

— Glen_b -Reinstate Monica

ฉันชอบที่คำตอบอื่น ๆ ยังอธิบายว่าวิธีนี้จะเป็นการจัดจำหน่ายที่มีเสถียรภาพ

— Apollys รองรับ Monica

5

โดยทั่วไปเมื่อมีการสุ่มตัวอย่างเฉลี่ยของการแจกแจง (ที่มีขนาดตัวอย่างมากกว่า 30) จะได้รับการแจกแจงแบบปกติโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ค่าเฉลี่ย

ไม่แน่นอน คุณกำลังความคิดของทฤษฎีบทเซ็นทรัล จำกัด ซึ่งระบุว่าให้ลำดับของตัวแปร IID สุ่มที่มีความแปรปรวน จำกัด (ที่ตัวเองหมายถึงค่าเฉลี่ย จำกัด ) การแสดงออกลู่เข้าสู่การแจกแจงเป็นการกระจายตัวแบบปกติเมื่อไปที่อนันต์ ไม่มีการรับประกันว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างของเซตย่อยใด ๆ ของตัวแปรจะกระจายตามปกติ $X_n$ $μ$ $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

อย่างไรก็ตามฉันได้ยินมาว่าการกระจาย Cauchy ไม่มีค่าเฉลี่ย การกระจายแบบใดที่ได้รับเมื่อได้รับค่าเฉลี่ยตัวอย่างของการแจกแจงโคชี

เช่นเดียวกับ GeoMatt22 กล่าวว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะเป็น Cauchy ที่กระจายตัว ในคำอื่น ๆ Cauchy กระจายเป็นกระจายมั่นคง

โปรดสังเกตว่าทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางใช้ไม่ได้กับ Cauchy ตัวแปรสุ่มแบบกระจายเพราะมันไม่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่แน่นอน

— Kodiologist
แหล่งที่มา

ความคิดเห็นของฉันก็ตั้งใจจะเป็นบิตที่แข็งแกร่งกว่า "ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างยังเป็น Cauchy" เพราะค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างจะมีพารามิเตอร์เดียวกัน นั่นคือเช่นเดียวกับการแจกแจงปกติพารามิเตอร์ตำแหน่งจะเหมือนกัน แต่ไม่เหมือนกับกรณีปกติพารามิเตอร์มาตราส่วนก็จะเหมือนกัน (ในขณะที่สำหรับกรณีปกติมาตราส่วนจะลดลงเป็น ) . อย่างน้อยนี่คือการตีความของฉันเกี่ยวกับคุณสมบัติการแปลงสภาพ 2 รายการแรกที่ลิงก์ของฉัน

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

— GeoMatt22

1

คุณพูดว่า: " ค่าเฉลี่ยตัวอย่างขององค์ประกอบ n ตัวแรกที่บรรจบกันในการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปกติเมื่อ n ไปที่อนันต์ " ... ไม่แน่นอน ภายใต้เงื่อนไขที่อ่อนแอกว่าที่คุณต้องการสำหรับ CLT ค่าเฉลี่ยนั้นจะแปรเปลี่ยนเป็นค่าคงที่ (ตามกฎที่อ่อนแอของจำนวนมาก) คุณต้องสร้างมาตรฐานค่าเฉลี่ยเพื่อให้ลู่เข้าสู่การแจกแจงแบบปกติ

μ

$\mu$

— Glen_b -Reinstate Monica

@DilipSarwate แก้ไขแล้ว อย่าลืมว่าคุณสามารถแก้ไขคำตอบของคนอื่นได้

— Kodiologist