สูตรสำหรับ Benjamini-Hochberg ปรับค่า p เป็นอย่างไร

ฉันเข้าใจขั้นตอนและสิ่งที่ควบคุม ดังนั้นสูตรสำหรับค่า p ที่ปรับในขั้นตอน BH สำหรับการเปรียบเทียบหลายรายการคืออะไร

เพียงแค่ตอนนี้ฉันรู้เดิม BH ไม่ได้ผลิตปรับ P-ค่าปรับเท่านั้น (ไม่ใช่) เงื่อนไขการปฏิเสธ: https://www.jstor.org/stable/2346101 Gordon Smyth ได้แนะนำค่า p BH ที่ปรับปรุงใหม่ในปี 2002 อย่างไรก็ตามคำถามยังคงมีอยู่ มันนำมาใช้ในการวิจัยเป็นด้วยวิธีการp.adjustBH

กระดาษBenjamini & Hochberg (1995) seminal ที่มีชื่อเสียงได้อธิบายขั้นตอนในการยอมรับ / ปฏิเสธสมมติฐานตามการปรับระดับอัลฟ่า ขั้นตอนนี้มีการปฏิรูปที่เทียบเท่ากันอย่างตรงไปตรงมาในแง่ของการปรับค่าแต่ก็ไม่ได้กล่าวถึงในเอกสารต้นฉบับ ตามที่กอร์ดอนเบิร์นเขาแนะนำปรับ -values ในปี 2002 เมื่อการดำเนินการในอาร์ แต่น่าเสียดายที่ไม่มีการอ้างอิงที่สอดคล้องกันจึงได้เสมอไม่ชัดเจนให้ฉันสิ่งหนึ่งที่ควรกล่าวถึงถ้าใครใช้ BH-ปรับ -values$p$พีพี$p$p.adjust$p$

กลับกลายเป็นว่ามีการอธิบายขั้นตอนในBenjamini, Heller, Yekutieli (2009) :

อีกทางเลือกหนึ่งในการนำเสนอผลลัพธ์ของขั้นตอนนี้คือการนำเสนอค่าปรับค่าแล้ว ปรับค่า BH ถูกกำหนดเป็น$p$$p$

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

สูตรนี้ดูซับซ้อนกว่าที่เป็นจริง มันบอกว่า:

1. ก่อนอื่นสั่งทั้งหมดตั้งแต่เล็กไปหาใหญ่ จากนั้นคูณค่าแต่ละค่าด้วยจำนวนการทดสอบทั้งหมดและหารด้วยลำดับการจัดอันดับ$p$$p$$m$
2. ประการที่สองตรวจสอบให้แน่ใจว่าลำดับผลลัพธ์ไม่ได้ลดลง: ถ้ามันเริ่มลดลงให้ก่อนเท่ากับลำดับถัดไป (ซ้ำ ๆ จนกระทั่งลำดับทั้งหมดไม่ลดลง)$p$
3. หากค่า -val ใด ๆ มีค่ามากกว่า 1 ให้ทำเท่ากับ 1$p$

นี่คือการปฏิรูปขั้นตอนการ BH ดั้งเดิมจากปี 1995 ที่ตรงไปตรงมาอาจมีบทความก่อนหน้านี้ที่นำแนวคิดของ BH ที่ปรับค่าใช้อย่างชัดเจนแต่ฉันไม่ทราบเลย$p$

ปรับปรุง @ Zenit พบว่าYekutieli & Benjamini (1999)อธิบายสิ่งเดียวกันแล้วในปี 1999:

ก่อนอื่นให้ตอบคำถาม พิจารณาว่าคือค่า (การทดสอบเดี่ยว)เชื่อมโยงกับค่าของสถิติการทดสอบ Benjamini-Hochberg FDR คำนวณได้ในสองขั้นตอน ( = # pvalues , = # pvalues):$p_0$$p$$z_0$$N_0$$\le$ $p_0$$N$

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

ทีนี้มาทำความเข้าใจกัน แนวคิดพื้นฐาน (Bayesian) คือการสังเกตมาจากการผสมผสานของการแจกแจงสองแบบ:

• $\pi_0 \: N$การสังเกตจากความหนาแน่นของ$f_0(z)$
• $(1-\pi_0) \: N$ข้อสังเกตจากความหนาแน่นของทางเลือก(z)$f_1(z)$

สิ่งที่สังเกตได้คือส่วนผสมของสองสิ่งนี้:

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

คำจำกัดความ (Bayesian) คือ:

• $\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$ (เศษของพื้นที่หาง)
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$ (เศษเสี้ยวของความหนาแน่นหาง)

ดังที่แสดงด้านล่าง Fdr เทียบเท่ากับ Benjamini hocherg FDR เมื่อ (ซึ่งเป็นกรณีของการศึกษาชีวสารสนเทศส่วนใหญ่)$\pi_0 \approx 1$

(อิงจากการอนุมานทางสถิติของ Efron & Tibshirani ของคอมพิวเตอร์อายุ )